他山之石 可以攻玉
———平面幾何助力解析幾何

◇ 山東 孫 靜

幾何問題代數化是解答解析幾何問題的核心方法,具體問題的求解中常要利用坐標法、消元法、判別式法等,但解析幾何的問題往往可以結合平面幾何知識求解,常見的平面幾何圖形有三角形、平行四邊形、圓等．

1 三角形

三角形是最簡單的平面圖形,具有很多重要的性質．特殊地,等腰三角形底邊上的中線、高線、垂直平分線、頂角平分線四線合一．等邊三角形除了具有等腰三角形的性質外,高還是邊長的等．

例1已知橢圓(a＞b＞0)的離心率為過焦點且與x 軸垂直的直線被橢圓C 截得的線段長為2．

(1)求橢圓C 的方程;

(2)已知點A(1,0),Q(4,0),過點A 的任意一條直線l 與橢圓C 交于M,N 兩點,求證:|MQ|·|NA|＝|MA|·|NQ|．

解析(1)(求解過程略)．

圖1

(2)如圖1 所 示,證明|MQ|·|NA|＝|MA|·|NQ|,即 證由三角形角平分線性質定理的逆定理,可知需證明QA為∠MQN 的平分線,即證直線MQ 與NQ 關于x 軸對稱,所以兩條直線斜率之和為0．結合坐標法、消元法、判別式、根與系數關系進行證明即可．

2 平行四邊形

平行四邊形的性質:對邊分別平行且相等、對角線互相平分等．特殊地,菱形四條邊相等、對角線互相垂直平分等．

例2設橢圓直線l1經過點M(m,0),直線l2經過點N(n,0),l1∥l2,且l1,l2分別與橢圓E 交于A,B 兩點和C,D 兩點．若直線l1的斜率存在且不為0,且四邊形ABCD 為平行四邊形,求證:m＋n＝0．

解析本題求解中可利用平行四邊形的性質,即對邊平行且相等,因為l1∥l2,所以AB∥CD,只要|AB|＝|CD|即可,利用弦長公式表示出|AB|(其中含有m)與|CD|(其中含有n),由|AB|＝|CD|可得到m,n 的關系,問題即可得證．

3 矩形

矩形除了具有平行四邊形的性質外,還有四個角為直角、對角線相等的性質．

例3設橢圓直線l1經過點M(m,0),直線l2經過點N(n,0),l1∥l2,且l1,l2分別與橢圓E 交于點A,B 兩點和C,D 兩點．若直線l1的斜率存在且不為0,且四邊形ABCD 為平行四邊形,判斷四邊形ABCD 能否為矩形,說明理由．

解析在四邊形ABCD 為平行四邊形的條件下,只要讓對角線相等,即可證得ABCD 為矩形．由橢圓的對稱性,可知原點O 為平行四邊形的對稱中心,因此只要判斷|OA|與|OB|是否相等即可得出結論．

4 圓

圓有許多性質,如直徑所對的圓周角為直角、同弧所對的圓周角相等、割線定理等．

例4已知橢圓的一個頂點坐標為A(0,－1),離心率為

(1)求橢圓C 的方程;

(2)若直線y＝k(x－1)(k≠0)與橢圓C 交于不同的兩點P,Q,線段PQ 的中點為M,點B(1,0),判斷點M 是否在以AB 為直徑的圓上．

解析(1)(求解過程略)．

(2)根據圓的幾何性質,若點M 在以AB 為直徑的圓上,則MA⊥MB,從而可利用平面向量求解,即或利用直線MA,MB 的斜率(斜率存在)關系求解,即kMA·kMB＝－1求解．