提防解三角形中的幾類易錯點

◇ 福建 吳明庭

“會而不對,對而不全”是解答數學問題時的常見現象,為了避免出現這種情況,最有效的方法就是弄清錯誤的根源．解三角形問題在高考中難度不大,是同學們易得分的點,但解題時不可大意,造成無謂失分．本文對解三角形問題中的易錯點進行舉例分析．

1 利用余弦定理出現增解

在解三角形問題中,如果已知兩邊和其中一邊的對角,利用余弦定理求第三邊時,會得到以第三邊為變量的一元二次方程,若解方程得到的兩根一正一負,同學們都知道將負根舍去,但兩根均為正根時,往往就會忽視對結論的檢驗．

例1在銳角△ABC 中,角A,B,C 所對的邊分別為a,b,c,且

(1)求角A;

(2)求△ABC 的面積．

錯解(1)在△ABC 中,利用正弦定理又因為因為△ABC是銳角三角形,所以

剖析本題出錯之處在第(2)問,利用余弦定理得出c 的兩個值后,沒有進行檢驗．檢驗的方法主要是利用題目所給條件及三角形的邊或角的性質．

條件中給定△ABC 是銳角三角形,當c＝1時,最大邊b＝3,故只判斷B 是否為銳角即可．

2 利用正弦定理出現漏解

因為三角形的內角和為π,每個內角均在(0,π)內,若sinA＝m,則角A 的值可能有兩個,且這兩個值互補．同學們在處理此類問題時,容易產生漏解．

例2在△ABC 中,若

(1)求角B;

(2)求△ABC 的面積．

錯解(1)由正弦定理

剖析在利用正弦定理得出后,角C的值可能是也可能是所以進而可得△ABC 的面積也有兩種結果,另一種為S△ABC＝

3 忽視角范圍的限制條件造成錯解

解三角形問題中涉及的角的范圍,除了三角形的內角和條件外,還包括由三角形的形狀所確定的角的范圍,如在銳角三角形中,若,為使得B 也為銳角,則C 的范圍是而部分同學認為C 的范圍是從而造成錯解．

例3(2019年全國卷Ⅲ理18)在△ABC 中,其內角A,B,C 所對的邊分別為a,b,c,已知

(1)求B;

(2)若△ABC 為銳角三角形,且c＝1,求△ABC面積的范圍．

錯解(1)由及

剖析△ABC 為銳角三角形,從表面上看0＜但已求得為保證A 也為銳角,所以所以△ABC 面積的取值范圍為

除了上述幾類典型的易錯問題以外,還有因忽視三角形的性質造成的失分現象,如忽視三角形兩邊之和大于第三邊、大邊對大角等．錯誤并不可怕,只要我們認真歸納錯題類型,探究錯誤根源,就能有效避免同類錯誤再次發生．