數列教學中應把握的幾個核心

◇ 山東 寧俊平

數列的有關內容是考查考生觀察分析、化歸轉化、推理論證等能力的有效載體,因此數列成為高考試題的主干內容．本文對數列教學應把握的“核心”進行舉例說明．

1 核心知識

數列模塊中的核心知識主要包括:等差和等比數列的定義、通項公式、求和公式、數列的性質等．

1){an}為等差數列,m,n,p,q,t∈N?,若m ＋n＝p＋q＝2t,則am＋an＝ap＋aq＝2at．同理,若{an}為等比數列,則有aman＝apaq＝

2){an}為等差數列,即an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d),當d＞0 時,{an}單調遞增;當d＜0 時,{an}單調遞減．若{an}為等比數列,當a1＞0,q＞1,{an}單調遞增;當a1＜0,q＞1,{an}單調遞減．當a1＞0,0＜q＜1,{an}單調遞減;當a1＜0,0＜q＜1,{an}單調遞增．

2 核心問題

問題1求數列的通項公式

1)已知數列類型(等差或等比)求通項公式,可采用基本量法求解,即通過所給關系列出方程或方程組求解即可．

2)已知數列的前n 項和求通項公式,可利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解,注意對n＝1進行檢驗．

3)給出遞推關系求通項公式,主要是用迭代、構造等方法將一般數列轉化為特殊數列(等差或等比)．

例1設{an}的前n 項和為且當n≥2時,4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1．

(2)求數列{an}的通項公式．

(1)將4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1進行拆項構造可得

即4an＋2＋an＝4an＋1,再進行拆項構造得

問題2求數列前n 項和的方法

1)對于“等差±等比”型,利用分組求和法．分別利用等差、等比數列求和公式求和,再相加或相減即可．對于“等差×(÷)等比”型,利用錯位相減法．

2)若所求和的數列滿足a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…,可用倒序相加法求和．

例2已知{an}的前n 項和Sn＝3n2＋8n,{bn}是等差數列,且an＝bn＋bn＋1．

(1)求數列{an},{bn}的通項公式;

解析(1)an＝6n＋5,bn＝3n＋1(求解過程略)．

(2)由(1)可知

由①－②,可得

所以Tn＝3n·2n＋2．

例3已知{an}的通項公式為an＝n2,設的前項和為Sn,求證

證明因為an＝n2,所以則

3 核心思維

因數列的規律性較強,所以在處理數列問題時,所涉及的核心思維是關注數列的項數、準確判斷數列的屬性．另外由于數列中的各項與其項數之間存在一一對應的關系,因此在處理某些數列問題時,可利用函數的思想來認識、理解數列,進而解決問題．

例4已知數列{an}的通項公式為an＝lnn,若存在p∈R,使得an≤pn 對任意的n∈N?都成立,則p 的取值范圍是_____．

解析因為n∈N?,所以an≤pn,即因此問題轉化為求的最大值．設求導得令f′(x)＝0,得x＝e．所以在(0,e)內,f′(x)＞0,f(x)單調遞增;在(e,＋∞)內,f′(x)＜0,f(x)單調遞減．的最大值在n＝2或n＝3處取得,進而只需比較的大小即可．由的單調性可知所以p 的取值范圍是