合理設置情境和問題,引領學生學習數學建模

◇ 安徽 王志剛 劉蘭梅

2019年11月,筆者有幸參加了由北京師范大學出版社組織的“中小學數學教材交流研討會”,會上北師大版高中數學教材副主編李延林老師親自執教了一節數學建模初始課——學校班車設站問題,這節課使筆者感觸很大、深受啟發．

1 教學過程分析

1.1 設置問題情境

上課伊始,教師在黑板上畫了如圖1所示的圖,這是一段路,路旁有6 位學生的家,學校有班車接送學生,為方便集中接送6 位學生,決定在路上設置一站,這個站設在哪兒好呢?

這是一個貼近學生生活的現實情境,要解決的問題對學生來說是非常熟悉的,也是學生渴望得到答案的．能從這熟悉的情境中,從數學的視角發現問題、提出問題是發展學生數學建模核心素養的過程．

1.2 從現實情境中抽象出具體問題

針對這一現實情境,引導學生清晰表達這一現實問題．首先請同學們思考:這里“好”的意義不明確,怎么辦呢?

這時,學生立刻意識到要對“好”做出表達,也就是為“好”下定義．

通過學生交流討論,約定了4個“好”的定義．

定義1:所有人走的路程之和最少;

定義2:所有人走的時間之和最少;

定義3:站點離每個人都盡量近;

定義4:走得最遠者路程最短．

通過這一教學環節,學生在熟悉的實際情境中,對模糊的概念進行了解釋,完成了由現實情境到實際問題的抽象．

1.3 嘗試研究定義1下的問題解決

1)用數學的語言表達實際問題

接下來,要將具體的實際問題用數學語言表達出來．

圖1

定義1涉及距離,實際問題中的距離是沿路行走的長度,而數學中的距離是線段長度,學生通過小組合作,逐步認識到可以“化曲為直”,把曲線“拉直”,再將直線設為數軸,即可將實際問題轉化成數學問題．

直線上的點A1,A2,A3,A4,A5,A6分別對應數軸上的坐標x1,x2,x3,x4,x5,x6(如圖2所示)．令點P 為站,它對應的坐標為x,則求“所有人走的路程之和最小”的站點的數學語言表示就是求函數F(x)＝|x－x1|＋|x－x2|＋|x－x3|＋|x－x4|＋|x－x5|＋|x－x6|的最小值點．這一教學過程就是在建立數學模型．

圖2

2)用數學的思想方法解決數學問題

上面的函數是學生既熟悉又陌生的數學表達式,說它熟悉,一看就知道是一個函數模型,說它陌生,是沒有研究過這類函數的性質,沒有求過這類函數的最小值．

由圖2進行直觀的分析:當點x 由最左側逐漸向右移動,越靠近x1,則F(x)的值越小;同理,根據數學的對稱性,點x 由最右側越靠近x6,則F(x)的值越小;當x 進入x1與x2之間后,越靠近x2,則F(x)的值越小;如此分析下去,發現,當x 位于x3與x4之間時,F(x)取得最小值,于是得出最小值點就是閉區間[x3,x4]上的任一點．

至此,在“所有人走的路程之和最少”意義下的設站問題就解決了．

1.4 進一步研究其他定義下的問題解決

定義2是“所有人走的時間之和最小”,若在行走速度差異不大的情況下,就可轉化為在定義1下進行研究．

定義3是“站點離每個人都盡量近”,這個說法有點模糊,沒有體現數學的準確性,可以不研究．

定義4是“走得最遠者路程最短”,其數學模型為求集合M ＝{|x－x1|,|x－x2|,|x－x3|,|x－x4|,|x－x5|,|x－x6|}中元素的最大值的最小值．

至此,似乎根據提出的所有的“好”的定義,問題都解決完了．教師又提出了一個問題:在每一個解決方案中,學生走的路有多有少,難道你們沒有想到這樣不夠公平,應當找一個公平的方案嗎? 這應當是首先想的事啊,也就是說,應當在開始就有這樣一個“好”的定義,即每個學生走到站點的路程一樣多．

一個學生馬上發言:這是不可能的．

教師微笑著說:“怎么不可能?”教師將黑板上的曲線由一端出發延長了很長很長的彎彎曲曲的“路”,在很遠的地方點了一個點,說“這就是站”．同學們稍愣片刻,一下笑了起來．這是釋然的笑,是會心的笑．一個學生說:“走這么遠,就感覺不到差別了．”教師說:這就是近似,實際生活中幾乎沒有絕對相等,所有的相等幾乎都是近似的．當然,這種方案勞民傷財,不會被采納,但是能夠實現,它對應的數學模型是求方程的解,其中的近似程度依實情而定．

教師帶著學生簡要回顧了解決這個設站問題的數學建模過程,突然問學生,咱們做了重要的一件事,但沒有寫在黑板上,是什么呢? 學生你看看我,我看看你,搖搖頭．“這段路每一點都一樣嗎? 6個學生的身體狀況無差異嗎?”隨著這樣的問話,教師在寫過好的定義下邊的空白處寫下假設:假設沒差異,如果不這樣假設,數學模型就會變化,問題就會復雜．“建立數學模型之前,要先進行相關因素分析,再對這些因素進行假設．”之后,教師歸納了數學建模的一般過程,并指明教材中這一內容的相應頁碼,讓學生課后閱讀理解．

1.5 用數學,學數學

臨近下課了,教師又帶著學生回到了第一種方案的數學模型．問如果有7個學生,站設在哪里? 有n 個學生的站點問題如何解決．隨著模型的推廣,得出一個數學結論,留給學生課下探究．

2 感悟與體會

這節內容充實、結構新穎、一氣呵成的數學建模課給筆者留下了深刻印象,之后,筆者在學校上了類似的數學建模課．

2.1 用數學的眼光觀察和研究身邊的問題

平時與學生談起用數學,往往是“眼睛向上看”,什么大氣污染、金融市場、生產與消費等,但是力所不能及．而對身邊的平常事情,發現不了問題,更看不出數學的應用．這個校車設站問題,是學生非常熟悉的事情,從這里開始學習數學建模不僅讓學生感興趣,而且把學生的視角拉回來,關注身邊的生活,在生活中發現問題,用數學解決這些問題．《普通高中數學課程標準(2017年版)》的課程目標中明確指出要提高學生從數學角度發現和提出問題、分析和解決問題的能力．

這也是一種方向的引導,學生自己研究問題的時候,選題應當立足自己熟悉的問題,即身邊的問題、小的問題、具體的問題．

2.2 設置明暗兩線,經歷數學建模活動的主要過程

皮亞杰認為:認知發展可分為內化建構和外化建構．學生建模素養的發展過程應該是內化建構和外化建構同時得以發展的過程．本節課設計了明暗兩條線,整體上并行推進．明線是圍繞學校班車站設在哪兒“好”展開,從討論如何設置站點“好”這一現實問題出發,得出4種建模方案,通過確定參數把模型方案數學化再求解模型、檢驗結果、改進模型,最終解決實際問題,這實質是數學建模素養的外化建構過程．暗線是圍繞“實際問題—數學模型—實際問題”之間的轉化,貫穿本節課的是模型準備、模型假設、模型構成、模型求解、模型分析、模型檢驗和模型應用等數學建模一般步驟,這是數學建模素養內化建構的過程．以問題為驅動,通過明暗兩條線,使學生親身經歷知識的形成和發展過程,讓學生體會到從感性到理性、從特殊到一般、從具體到抽象的思維方法,促進學生對數學建模過程和主要表現形式的理解和掌握．

2.3 突出數學建模的主要環節和特點

學生對數學建模是陌生的．長期以來,學生解決的數學問題都條件清楚、可丁可卯,而實際問題不是這樣,在最初的校車設站的問題情境中,只提到了“好”,但沒說什么是“好”．俗話說:蘿卜白菜,各有所愛,這就是實際問題的特點．學生們七嘴八舌說出了自己認為的“好”,所建的數學模型是不同的．實際上,給出“好”的定義,是在表述問題,明確研究的問題．

公平往往是在群體活動中遵循的一個原則,然而,這個想法在“好”的定義中卻沒有出現,原來學生們認為這是不可能實現的．而教師制造了一個公平的方案,盡管這個方案“勞民傷財”,不會被采納,但確實存在,而且這個公平是近似的．這種近似的觀點非常重要,在實際問題的解決過程中,幾乎沒有絕對的相等、絕對的公平,誤差是存在的,近似是常見的．

“假設”是數學建模的重要環節,學生對此也非常陌生,教師為此做了特殊的設計,開始沒有直接講假設,當問題解決后設立了一個懸念:“咱們做了重要的一件事,但沒有寫在黑板上,是為什么呢?”之后,在黑板的預留空白處補上了假設．這是非常藝術的處理,用這種方式突出了假設．另外,也讓學生感受到假設的自然和必要,不進行假設,問題的條件就不明確,就無法進行數學建模．

2.4 引導學生做數學建模

雖然在數學建模教學的開始要講解數學建模,但是仍然要讓學生參與進來．這似乎挺難,但學生在這節課里真正參與了．從開始對“好”的討論,到模型的建立,再到模型求解,學生始終積極參與,這是因為情境好理解,經驗用得上,模型能駕馭．在一個一個子問題的引導下,學生逐步將數學建模向前推進,在自己的思考基礎上,得到一步步相應的結論．

營造良好可行的參與式、體驗式的學習環境是對數學建模教師的考驗．有賴于教師對實際問題的選擇、問題的設計和教學的把控．

2.5 在數學建模的學習中深入理解數學

數學建模是用數學解決實際問題的過程,凸顯了數學的價值,可以在用數學的過程中更加喜歡數學,更加愿意學習數學,其使用數學的過程也是深入理解數學的過程．

在這節課的最后,教師提出了問題:“如果有7個學生站設在哪里?”這樣的問題必然帶來對數學模型一般化的思考,對于求函數F(x)＝|x－x1|＋|xx2|＋…＋|x－xn|的最小值點,便得到可視為定理的數學的一般性結論．

由于這節課的主題是數學建模,所以這一研究留在了課下,但這一段教學過程實實在在地讓學生感受到了數學源于生活,生活實際是數學發展的重要源泉之一．