“講”出本質,“評”出優劣
———一道導數題講評的三個視角

◇ 河北 孫秀河

在每次考試后任課教師都要進行“試卷講評”,若講評的內容及方式、方法不當,往往達不到預期的效果．筆者教學實踐中發現從解題的通法、命題根源以及變式探究等多角度進行講評,可收到事半功倍之效．下面以一道導數題為例進行說明．

例已知f(x)＝aex－lnx－1．

(1)設x＝2是f(x)的極值點,求a,并求f(x)的單調區間;

本題是以導數應用為背景的函數不等式的證明問題,是高考命題的常考題型,第(1)問是基礎題,本文不再探究．下面從幾個視角講評第(2)問．

1 講評問題通法

證明不等式問題的通法是求函數的最值,本題證明f(x)≥0,即求函數f(x)的最小值,判定其大于或等于0．

證法1函數f(x)＝aex－lnx－1的定義域為(0,＋∞),對其求導得對f′(x)求導得所以f′(x)為(0,＋∞)內的增函數．又因為x→0 時,f′(x)＜0,x→＋∞時,f′(x)＞0,所以存在x0∈(0,＋∞),使得f′(x0)＝且在區間(0,x0),f′(x)＜0,f(x)單調遞減;在區間(x0,＋∞),f′(x)＞0,f(x)單調遞增．所以

將式②兩邊取對數得

將式②③代入式①得

點評本解法直接求函數的最小值,因為導函數的零點無法求解,故可利用零點的存在定理對零點的存在性進行說明．

證法2由f(x)≥0,得aex－lnx－1≥0,分離參數得所以只需要證明即ex－1－lnx－1≥0．

設g(x)＝ex－1－lnx－1,求導得g′(x)＝ex－1－由g′(x)＝0,得x＝1,故在區間(0,1),g′(x)＜0,g(x)單調遞減;在區間(1,＋∞),g′(x)＞0,g(x)單調遞增．gmin(x)＝g(1)＝e1－1－ln1－1＝0,因此,當時,f(x)≥0．

點評本題通過對原不等式進行等價變形后,構造函數并求最值．對于方程g′(x)＝0的求解,利用了觀察法．從解題過程來看,比證法1更簡捷．

2 講評命題根源

在解題之余,學生總會有這樣的想法:考題是怎么命制出來的,命題的依據是什么? 如果在試卷講評時,教師能講清這一問題,不僅可使學生明確問題的本源,并能站在更高的視角來分析問題．

導數應用中所涉及的函數均為我們最熟悉的冪函數、指數函數、對數函數等．學習中不僅要熟悉各類函數的圖象、性質,還要準確判斷這些函數之間的關系,如y＝ex與y＝x＋1之間的關系,y＝lnx(x＞0)與y＝x－1之間的關系．利用導數不難證明ex≥x＋1,lnx≤x－1(x＞0)．從圖象的位置關系來看y＝x＋1是y＝ex在點(0,1)處的切線,y＝x－1是y＝lnx(x＞0)在點(1,0)處的切線．

將不等式ex≥x ＋1 中的x 換為x－1,可得ex－1＞x,所以證明ex－1－lnx－1≥0可通過證明xlnx－1≥0來實現,而這個不等式就是lnx≤x－1(x＞0)．

找到了命題的根源,簡捷的解題思路就呼之欲出了．當然在證明不等式ex－1－lnx－1≥0時,也可利用lnx≤x－1(x＞0)進行放縮,即ex－1－lnx－1≥ex－1－(x－1)－1＝ex－1－x,故只需要證明ex－1－x≥0即可．

3 講評題目變式

在解答完一道題目后,通過對題目條件或所求結論進行變式,可有效檢驗學生的掌握程度．

變式已知f(x)＝ex－ln(x＋m)．

(1)設x＝0是f(x)的極值點,討論f(x)的單調性;

(2)當m≤2時,證明f(x)＞0．

解析(1)略．

(2)因為m≤2,所以ln(x＋m)≤ln(x＋2),所以問題可轉化為證明ex－ln(x＋2)≥0．

設g(x)＝ex－ln(x＋2),求導得g′(x)＝ex－所以g′(x)在(－2,＋∞)單調遞增．而g′(－1)＜0,g′(0)＞0,所以g′(x)＝0在區間(－2,＋∞)有唯一實根x0,且x0∈(－1,0),使得在區間(－2,x0),g′(x)＜0,g(x)單調遞增;在區間(x0,＋∞),g′(x)＞0,g(x)單調遞增．

將②③代入①得

點評本題也可利用放縮法處理,即將不等式lnx≤x－1中的x 換為ln(x＋2)≤x＋1(x＞－2),從而證明不等式ex－ln(x＋2)≥0,只需要證明ex－(x＋1)≥0．

綜上所述,在試卷講評時,作為教師不應僅停留在問題的解答上,還要從命題根源的探究、解法的簡化、問題的變式等視角進行拓展,這是切實提升學生分析、解決問題能力的重要保證．