一種基于協同近似的多學科設計優化方法

易永勝 李 偉 高 亮 肖 蜜 邱浩波

1. 華中科技大學數字制造裝備與技術國家重點實驗室，武漢，430074 2. 湘電風能有限公司風電研究院，湘潭，411100

0 引言

現代復雜工程系統的設計優化通常涉及一些復雜耦合的學科或子系統。多學科設計優化(multidisciplinary design optimization, MDO)作為一種整體設計方法[1]，在飛機設計[2]、再入飛行器設計[3]、小衛星系統設計[4]等方面得到了廣泛的關注。現代工程系統日益復雜，對這些系統性能的仿真分析，如有限元分析和計算流體動力學，需要大量的計算資源。雖然計算機技術已經取得了很大的進步，但是仍然不能滿足仿真分析的計算量要求。另一方面，仿真分析程序通常呈現黑盒函數的特征，其對應的設計變量與系統響應之間的關系完全是未知的，這進一步增加了工程系統設計優化的難度。同時，為避免求解復雜工程系統多學科設計優化問題時需要反復調用復雜耗時的多學科分析和進行繁瑣的靈敏度計算，尋求一種高效的方法來求解MDO問題成為了當前MDO研究的重點。

針對上述問題，本研究提出了一種基于協同近似(collaboration model surrogate optimization，CMSO)的多學科設計優化方法，闡述了CMSO方法的流程和主要步驟。通過一個數學算例和圓柱螺旋壓縮彈簧設計案例，并與已有的單學科可行法(individual discipline feasible, IDF)進行對比，驗證了CMSO方法的有效性。

1 協同模型

為了獲得滿足系統分析或多學科分析(systems analysis/multidisciplinary analysis, SA/MDA)的可行樣本，構建一個協同模型(collaboration model, CM)作為過濾器[5-6]。為了便于解釋和保持通用性，考慮一個具有兩個相互耦合狀態變量的簡單例子。耦合狀態方程表示為

(1)

將求解這個耦合狀態方程的過程稱作系統分析或多學科分析。式(1)中，Y1是一個顯式函數，它反映了Y1、xs、x1和y2之間的物理關系，同時Y1也是一個隱式函數，反映了xs、x1和x2之間的數學關系。協同模型通過構造兩個近似模型的相同耦合狀態變量來構建：一個是反映物理關系的顯式關系模型，另一個是反映數學關系的隱式關系模型。顯式函數和隱式函數具體如下：

(2)

給定一組設計變量x，定義D表示學科一致性/不一致性，具體表達如下：

(3)

其中，n為耦合狀態變量的個數。與對應大D值的樣本點相比，對應小D值的點更有可能滿足SA/MDA。

該協同模型能夠有效地剔除不符合設計要求的樣本點，從而加快優化過程，提高求解效率。構建近似模型有多種選擇，如多項式響應面(RSM)模型[7]、徑向基函數(RBF)模型[8]和克里金(Kriging)[9]模型。然而，這些近似模型只是一個“篩子”，僅篩選出更能反映多學科問題本身屬性的樣本點，而不是優化目標函數的近似模型，因此，不需要很高的精度。本研究利用徑向基函數建立協同模型。給定一組實驗點{xk,k=1, 2, …,N}對應的N個值{y(xk)},RBF模型的構造如下：

(4)

式中，a(·)為一個線性多項式函數；λk為每個樣本點的權重系數；φ(·)為徑向基函數；‖·‖為歐幾里德范數。

最常用的徑向基函數包括三次函數、薄板樣條函數、線性函數、二次函數和高斯函數。由于式(4)只是一個指導抽樣模型，故本研究采用一個簡單的線性徑向基函數來構造協同模型。線性徑向基函數表示為

(5)

代理模型技術主要包括實驗設計(DOE)和代理模型的構建兩部分。DOE方法有多種，如均勻設計(UD)[10]、中心復合設計(CCD)[11]、拉丁超立方體抽樣(LHS)[12-13]。LHS抽樣是代理模型中最常用的DOE方法之一，LHS抽樣在保證分層抽樣的同時，提供了多種樣本量，每個輸入變量可以覆蓋其范圍的所有部分，得到的訓練樣本可以很好地填充設計空間。由此，本研究采用LHS抽樣對設計域空間進行抽樣，并抽取104個樣本點構建協同模型。

2 自適應代理模型

復雜工程系統往往包含復雜和耦合的學科或子系統，系統性能的仿真分析(如有限元分析和計算流體動力學)需要大量的計算資源，代價非常昂貴。代理模型技術作為一種易于處理的廉價工具，在復雜系統設計的優化過程中得到了廣泛的應用。由上文可知，代理模型的構建方法常用的有RSM模型、RBF模型和Kriging模型等。其中RSM模型是一種廣泛使用的代理模型，對于N個輸入變量的問題，需要確定(N2+3N+2)/2個系數，且隨著變量數量的增加，三階和更高階的模型需要確定的系數太多，因而不是很常用。一般來說，RSM模型適用于非線性程度較低的近似問題；RBF模型不需要指定目標函數表達式或導數信息，它只需要選擇一個徑向基函數，就可以有效地用較少的設計點構造一個相對精確的模型；Kriging模型對各種非線性函數具有較高的逼近精度，在優化領域得到了廣泛的應用。

對MDO優化模型進行近似，如果代理模型精度太低，那么優化的實現就沒有意義。為了選擇一個合理的模型，本研究使用了一些常用的度量方法來評估代理模型的準確性，包括中位數絕對偏差(MAD)、最大絕對誤差(MAE)、均方根誤差(RMSE)[14]。

MAD定義為預測值絕對值的中位數，其表達式為

(6)

MAE表示局部誤差，越小越好，其表達式為

(7)

RMSE表示預測值與觀測值之差的樣本標準差，其表達式為

(8)

分別計算代理模型的MAD、MAE和RMSE，對比代理模型的精度，選擇最佳的代理模型來構建MDO優化模型。

3 基于協同近似的多學科設計優化

本研究提出的CMSO方法的基本思想是：通過一種協同模型來選擇滿足多學科可行的樣本點，本研究中稱為協同抽樣(collaboration sampling, CS)，然后通過這些樣本點構建3種代理模型，并進行代理模型的驗證和確認，之后選擇最佳的代理模型，并使用序列二次規劃(SQP)法來進行優化求解。

圖1描述了CMSO法求解的具體流程。運用CMSO方法求解工程產品MDO問題的主要步驟如下：

(1)構建協同模型，進行協同抽樣。①采用拉丁超立方均勻抽樣n=104個初始樣本點；②利用核函數是線性函數的徑向基函數構建協同模型；③利用協同模型篩選出m個滿足多學科可行的樣本點，并按D值的大小升序排列，m值可以根據設計變量的多少而取不同的值，一般取值是設計變量個數的10倍。

(2)構建代理模型并驗證和確認。①利用協同模型篩選出的m個樣本點分別構建響應面模型、徑向基函數模型和Kriging模型；②使用代理模型的評價準則來判斷和確定最優代理模型；③通過計算得到各個樣本點處的響應值。

(3)構建MDO問題的優化模型并求解。①利用得到的相關數據和選定的最優代理模型構建MDO問題的優化模型；②使用基于梯度的優化方法求解MDO問題，本研究中采用SQP法。

圖1 CMSO方法流程圖Fig.1 Flow chart of the CMSO method

4 實例驗證

4.1 數學算例

為了測試CMSO法的效果，選取了一個非常經典的MDO數學算例[15]，該算例是評估MDO方法性能的常用算例之一，這里對目標函數f和耦合狀態變量y2進行了適當的修改。該算例包括兩個互相耦合的子系統，每個子系統都有一個耦合狀態變量和一個約束條件，子系統劃分如圖2所示，其數學表述如下：

s.t.g1=y1/3-1≥0g2=1-y2/30≥0 0≤x1≤10 0≤x2≤10 0≤x3≤10

圖2 數學算例子系統劃分Fig.2 Mathematical example system division

利用CMSO法求解這個優化問題，首先采用LHS隨機生成104個樣本點來構建協同模型，選取100個D值較小的樣本點并升序排列，把這100個點分為三部分，第1～80是訓練集，第81～90是驗證集，第91～100是測試集。協同抽樣的樣本點分布如圖3所示。前80個樣本用于y1和y2的RSM、RBF和Kriging模型的構建，驗證集用于評估代理模型，采用交叉驗證法對模型的性能進行了估計。最后10個點用于計算代理模型的MAD、MAE和RMSE，代理模型的交叉驗證誤差如表1所示。表2給出了代理模型的測試結果，可以看出，RSM方法比其他兩種方法具有更高的精度。本研究采用RSM模型來構建MDO優化模型。

圖3 協同抽樣的樣本點分布圖Fig.3 Distribution of collaboration sampling points

表1 代理模型的交叉驗證誤差

表2 代理模型的測試結果

為了更好地體現CMSO法對該問題求解的準確性和高效性，分別采用了CMSO法和IDF法對該算例進行了優化計算，求得的結果列于表3。從表3中可以看出，CMSO法和IDF法都能求得該問題的最優解7.982 4，體現了CMSO法擁有與IDF法一樣的求解精度，設計變量和狀態變量的值也是一樣，說明求得的解完全滿足多學科一致性。CMSO法對目標函數的計算次數是46，而IDF法需要153次，CMSO法相對于IDF法需要對目標函數的計算次數明顯要少，并且更快收斂，由圖4迭代收斂曲線也同樣可以看出CMSO法比IDF法更快收斂到最優滿意解，這體現了CMSO法在求解這個問題上比IDF法更高效。通過對這個經典的MDO數學算例的成功求解驗證了CMSO法的準確性與高效性。

表3 CMSO與IDF求解數學算例的優化結果對比

圖4 CMSO與IDF求解數學算例迭代收斂曲線Fig.4 Iterative convergence curve of CMSO and IDF solving mathematical examples

4.2 圓柱螺旋壓縮彈簧設計

為了驗證CMSO法對求解工程實例的有效性，選取圓柱彈簧設計[16-17]這個工程應用案例進行測試與分析。圖5為圓柱螺旋壓縮彈簧的結構示意圖。該優化問題的設計目標是在滿足實際使用中對強度和剛度的要求下使其質量最小，3個設計變量分別為：彈簧絲的直徑d0、彈簧的中徑D0、彈簧的總圈數n0。

圖5 圓柱螺旋壓縮彈簧結構示意圖Fig.5 Schematic of cylindrical spiral compression spring

將該優化問題劃分為質量、剛度和強度3個子系統，優化模型表述如下：

其中，r(x)為剛度子系統目標函數；s(x)為強度子系統目標函數；m(x)為質量子系統目標函數；g1為旋繞比約束；g2～g5分別為彈簧的穩定性約束、無共振約束、剛度條件約束和強度條件約束；其他螺旋壓縮彈簧設計的相關參數取值或范圍如表4所示。

表4 圓柱螺旋壓縮彈簧設計的相關參數取值或范圍

圖6 圓柱螺旋壓縮彈簧優化框架圖Fig.6 Optimization frame diagram of cylindrical spiral compression spring

利用CMSO法求解這個工程應用實例，求解的流程與前文數學算例相同，這里就不再贅述。針對這個實例，本研究采用協同抽樣同樣抽取100個點，得到的樣本點分布見圖7，同時采用RSM模型來構建MDO優化模型。為了驗證CMSO法對求解工程實例的有效性和更好地體現CMSO法對該問題求解的準確性和高效性，同樣分別采用了CMSO法和IDF法對該實例進行了優化設計，求得的結果列于表5。從表5中可以得到，CMSO法求得該問題的目標函數值是2.051 3，比IDF方法求得的目標函數值2.068 2小，表明CMSO法在求解這個問題上比IDF法更加準確，驗證了CMSO法對求解工程實例的有效性。CMSO法收斂時對目標函數的計算次數是118，而IDF法需要127次，CMSO法相對于IDF法對目標函數的計算次數也要少，并且更快收斂，從圖8中迭代收斂曲線也同樣可以看出CMSO法比IDF法更快收斂到最優滿意解，從而體現了CMSO法在求解這個問題上比IDF法更高效。通過對這個工程實例的求解，不僅驗證了CMSO法求解工程實例的有效性，同時也成功驗證了CMSO法的準確性與高效性。

圖7 協同抽樣的樣本點分布圖Fig.7 Distribution of collaboration sampling points

表5 CMSO與IDF求解圓柱彈簧設計的優化結果對比

圖8 CMSO與IDF求解圓柱彈簧設計迭代收斂曲線圖Fig.8 Iterative Convergence Curve Diagram of CMSO and IDF Solving Column Spring Design

5 結論

本研究提出了一種基于協同近似的多學科設計優化方法，主要是通過一種協同模型來選擇滿足多學科可行的樣本點，然后通過這些樣本點構建3種代理模型，并進行代理模型的驗證和確認，之后選擇最佳的代理模型來進行優化求解。本研究提出的CMSO方法具有以下特點：①通過協同模型篩選出更能反映多學科問題本身屬性的樣本，保持多學科的一致性；②通過構建代理模型并驗證和確認，避免了復雜耗時的多學科分析，從而提高計算效率。實例計算結果表明，和IDF法相比，CMSO法求解精度高、迭代次數少和收斂快，是一種有效的MDO方法。

進一步的工作是對CMSO法的性能進行更加全面的研究，考慮與其他典型的MDO方法(MDF、CSSO、CO等)作比較，體現CMSO法的高效性。