基于概率輸出彈性凸包的滾動軸承故障診斷方法

楊路航 李寶慶 王 平 王 健 楊 宇

1. 湖南大學機械與運載工程學院，長沙，410082 2. 中國航發湖南動力機械研究所，株洲，412002 3. 中國航空發動機集團航空發動機振動技術重點實驗室，株洲，412002

0 引言

滾動軸承故障智能診斷在本質上都是模式識別問題，最常用的就是反向傳播神經網絡[1](back propagation neural network，BPNN)和支持向量機[2](support vector machine，SVM)。基于深度學習的故障診斷模型[3-4]能直接從原始信號中提取特征并具有自適應學習能力，但是它們都有共同的缺陷，即網絡結構參數需要人為設定并需要大量訓練樣本和較長的訓練時間，限制了這些方法在工程實際中的應用。SVM作為一種簡單有效的分類方法，有著良好的泛化能力，其本質可以看作基于凸包的最大邊距分類算法[5-8]，即用凸包逼近每個類區域，根據兩個凸包之間最近的點來構造分類超平面，只不過這類凸包的邊界趨于無窮，以一個分類超平面將兩個凸包分開。ZENG[6]對凸包邊界進行約束，提出了彈性凸包(flexible convex hull，FCH)分類方法，通過改變彈性因子對凸包進行緊致或寬松的估計來提高凸包的分類精度。但該方法在進行分類超平面優化時，忽略了凸包內部大部分樣本點的決策貢獻，導致測試集分類精度降低。因此，筆者對彈性凸包輸出進行改進，提出了概率輸出彈性凸包 (probability output flexible convex hull，POFCH)分類方法。該方法使用凸包頂點優化分類超平面，然后計算所有樣本點到超平面的距離，借助于概率輸出的思想[5,9]進行稀疏映射，最小化交叉熵極大似然函數，將分類器的距離輸出轉化成對正負類的概率估計輸出，形成比距離更為合適的類別判斷方法。該方法在處理多分類問題時，采用一對一原則，同時對多個分類器的輸出概率進行成對耦合，進一步提高了多分類的精度和魯棒性。

滾動軸承故障的識別精度不僅受模式識別方法有效性的影響，還與故障特征提取的準確性有關。傳統時域或頻域分析方法所能獲得的信息比較有限[10]，而滾動軸承原始振動信號構成的時頻圖像包含不同條件下滾動軸承的豐富特征信息。振動信號時頻圖的紋理信息不僅可以保留振動信號的周期特性，還能夠保留時域和頻域聯合作用信息。軸承發生故障時，其時頻圖包含了豐富的紋理特征。灰度共生矩陣(gray level co-occurrence matrix，GLCM)可充分描述圖像紋理信息，廣泛用于圖像識別[11-12]和故障診斷[13-15]。本研究使用比較成熟的連續小波變換[16-17]來獲得時頻分布，通過計算時頻圖的灰度共生矩陣，選取灰度共生矩陣統計參數來構造特征集，以充分反映時頻圖紋理特征(time-frequency image texture，TFIT)。然后，將紋理特征集作為概率輸出彈性凸包的輸入樣本，識別滾動軸承的不同故障。實驗結果表明基于概率輸出彈性凸包和紋理特征的滾動軸承故障診斷方法具有較高的準確性和魯棒性。

1 概率輸出彈性凸包

在實數向量空間H中，空間中任意一點用x表示，給定的樣本集X={x1，x2，…，xn}在空間H的凸集C稱為X的凸包，可以表示為

(1)

式中，αi為第i個樣本的組合系數。

引入彈性因子λ∈(1, ∞)并結合樣本數n，給凸包的組合系數設定新的上下限，形成新的模型——彈性凸包：

F(X)=

(2)

通過簡單推導得出樣本集X的彈性凸包可以等價地表示為新的樣本集:

(3)

彈性凸包分類的原理就是尋找一個最優超平面，該平面垂直平分兩個凸包最近點連接線段，使得該平面在正負類樣本凸包之間產生最大的間隔。

正類樣本集的所有點滿足〈w,x〉+b>0，負類樣本集的點滿足〈w,x〉+b<0，其中，w為分類超平面的法向量，x為樣本點，b為偏置。分類超平面的確定就是兩個凸包最近點的求解問題：

(4)

i=1,2,…,n+j=1,2,…,n-

式中，n+、n-分別為正類樣本和負類樣本的個數;λ+、λ-分別為正類凸包和負類凸包的彈性系數。

展開式(4)得到：

(5)

式(5)是一個凸二次規劃問題，本文采用標準的優化算法進行求解，同時借助核函數進行核空間映射，將輸入空間的線性不可分問題轉化為特征空間的線性可分問題。本文采用高斯核作為核函數：

(6)

其中，σ為高斯核函數的寬度參數，控制函數徑向作用范圍。記式(5)的最優解為α*，根據α*可確定最優分類超平面的法向量w*和偏置b*：

(7)

法向量和偏置確定后，凸包上的點x與最優分類超平面的距離為

f(x)=〈w*,x〉+b*

(8)

決策函數定義為

y=sgn(〈w*,x〉+b*)

(9)

如圖1所示，凸包邊界點可以實現對一類樣本集的凸估計，分類超平面的優化求解過程只考慮凸包頂點的決策貢獻，忽略了凸包內部大部分點，因此不宜直接采用距離輸出決策。

圖1 彈性凸包分類原理Fig.1 Classification principle of flexible convex hull

(10)

(11)

當F的梯度為零向量時，對應式(11)的解為最優解。

圖2 凸包樣本分布不均勻Fig.2 Uneven distribution of convex hull samples

參數A和B的優化求解實際上可以看做分類超平面的平移。對于二分類問題，可以獲得x屬于正類和負類的概率估計P+和P-(P++P-=1)。改進后的決策函數定義為

(12)

rij+rji=1

(13)

rij≈Pi(Pi+Pj)

對式(13)變換求和得

(14)

為使式(14)的等價誤差盡可能小，對式(14)移項求最小值，則式(14)轉化為以下模型：

(15)

將式(15)展開寫成矩陣形式：

(16)

式中，P為樣本屬于某一類的概率；[Qij]n×n為二次型矩陣。

對式(16)的求解是一個凸二次規劃問題，本文采用標準算法進行求解，得到樣本所屬第i類的概率Pi。概率輸出彈性凸包多分類的決策函數定義為

y=argmax{P1,P2,…,Pn}

(17)

概率輸出彈性凸包多分類采用概率輸出決策，原始的彈性凸包多分類采用投票原則進行決策。

2 時頻圖紋理特征提取

2.1 灰度共生矩陣

灰度共生矩陣Pd(m,n)表示從灰度等級為m的點沿水平方向向右移動dx、豎直方向向下移動dy，到達灰度等級為n的點的概率，其中，m,n=1，2，…，L-1；L為灰度級，如圖3所示。灰度共生矩陣的生成方向記為θ，常取角度為0°、45°、90°和135°。一般來說，d確定后，θ也確定，且存在

(18)

圖3 灰度共生矩陣生成原理圖(dx=1, dy=0)Fig.3 Generating principle diagram of gray level co-occurrence matrix (dx=1, dy=0)

2.2 特征提取步驟

基于概率輸出彈性凸包和紋理特征的滾動軸承故障診斷的流程如下：首先對加速度傳感器采集到的滾動軸承原始振動信號進行連續小波變換，得到小波時頻圖；然后根據時頻圖的灰度共生矩陣獲得對應的紋理特征，并把特征集劃分為訓練集和測試集；最后根據訓練集訓練概率輸出彈性凸包模型對測試集進行識別驗證，實現故障診斷。特征提取的詳細步驟如下：

(1) 故障信號通常伴有較強的沖擊，根據morlet小波的沖擊適應性[18]，將morlet小波作為小波基函數進行連續小波變換，獲得時域振動信號的時頻圖，并將時頻圖轉化為256像素×256像素的灰度圖。

(2) 將時頻圖分成4個128像素×128像素的圖像，它們分別對應2個高頻區域和2個低頻區域。

(3) 分別求出時頻圖每個區域4個方向(0°、45°、90°和135°)上的灰度共生矩陣。

(4) 綜合考慮4個方向的特征，按照2.1節計算出4個區域不同方向上的紋理特征，并求其對應的均值和方差，形成32維特征向量，記為TFIT。

3 實驗分析

實驗1數據來自美國凱斯西儲大學軸承數據中心。軸承為型號6205-2RS的SKF深溝球軸承，采樣頻率為48 kHz，每12 000個采樣點劃分為一個樣本，得到1 400個樣本。故障狀態類型如表1所示。

表1 軸承數據樣本

按照2.2節步驟提取時頻圖紋理特征，并與文獻[3]的特征提取方法進行對比，文獻[3]提取22個時域和頻域統計參數作為特征，記為TTF(traditional time frequency)；將概率輸出彈性凸包分類器與原始彈性凸包和支持向量機進行對比。數據集A用來識別故障類型及故障程度，數據集B用來識別故障類型。對于概率輸出彈性凸包，需要優化的參數有高斯核參數σ和彈性因子λ。采用5折交叉驗證進行網格搜索最優參數，σ的搜索范圍為2-8～28，指數步長為0.2，λ搜索范圍為20～24，指數步長為0.2。圖4所示為采用紋理特征和概率輸出彈性凸包方法的網格搜索準確率分布，實驗數據集為B，得出最優的σ、λ分別為1.136和2。

圖4 TFIT+POFCH網格搜索最優參數Fig.4 Grid search optimal parameters based on TFIT and POFCH

采用網格搜索算法確定原始彈性凸包分類器和支持向量機分類器的參數。通過網格搜索算法確定最優參數后，在最優化參數下進行20次五折交叉驗證，得到故障識別準確率，見表2，其中，模型為通過不同的特征集和不同的分類器進行組合得到的故障分類模型

表2 識別準確率

通過特征不變和分類器不變的比較可以看出，本文方法比原始的彈性凸包分類方法和支持向量機有更高的識別精度。在故障識別上，時頻圖紋理特征比傳統時頻特征有更高的識別精度。觀察數據集A上分類模型的識別精度，以支持向量機為例，采用TFIT的故障識別精度較TTF有很大的提高，這說明時頻圖紋理特征能很好地反映各類故障。這是因為時頻圖像同時保留了時域和頻域的聯合作用信息，對滾動軸承的故障特征保留更加完全。

為使本文方法更具說服力并驗證概率輸出彈性凸包的泛化能力，在數據集B上以時頻圖紋理特征為故障特征進行實驗。采用不同數量的樣本作為訓練集，并將其余樣本作為測試集，隨機獨立重復實驗20次，分類結果如圖5所示。

圖5 試驗1的測試集識別準確率與訓練集占比關系Fig.5 Curve of test set-recognition accuracy-proportion of training set of test 1

由圖5可以看出，TFIT特征在訓練樣本較少的情況下仍保持93%以上的準確率；當訓練集樣本僅占10%時，概率輸出彈性凸包也能保證測試集準確率接近95%，說明概率輸出彈性凸包有良好的泛化能力。從識別精度變化曲線也可以看出，概率輸出彈性凸包的分類精度最高。

實驗2的數據為湖南大學旋轉機械故障試驗臺的滾動軸承數據。試驗臺架如圖7所示，滾動軸承型號為6205-2RS SKF，通過激光切割獲得內圈故障、外圈故障和滾動體故障，每類故障的切割深度都為0.2 mm。電機轉速為986.1 r/min，采樣頻率為10 kHz。獲取的樣本如表3所示。

圖6 旋轉機械故障試驗臺Fig.6 Rotating machinery failure test device

表3 軸承數據樣本

采用實驗1的方法在最優化參數下進行20次5折交叉驗證，將時頻紋理特征作為故障特征，概率輸出彈性凸包分類器的最優參數為σ=2.2129，λ=1.7411。實驗過程中，記錄每個模型的訓練時間和測試時間。實驗平臺的處理器型號為Intel Xeon E3-1231 v3@3.40GHz，軟件環境為MATLAB2018b。實驗結果如表4所示。

表4 識別準確率及平均運行時間

由表4可以看出，基于概率輸出彈性凸包的分類方法依舊表現出了最高的準確率，并在兩個特征集上提高了原始彈性凸包的分類精度，雖然訓練時間和測試時間相較于原始彈性凸包和SVM有所延長，但均在0.1 s以內，能夠滿足實時診斷的要求。進行20次隨機獨立重復試驗，觀察測試集準確率隨訓練集樣本量變化的曲線。由圖7可以看出，概率輸出彈性凸包有著最好的分類效果，并且測試集的識別精度隨著訓練樣本的增多而提高。在紋理特征集上，概率輸出彈性凸包分類器在僅有10%的樣本作為訓練集時，測試集的識別精度超過96%，而原始彈性凸包識別精度不到94%。概率輸出彈性凸包分類方法提高了原始彈性凸包的識別精度，能夠較好地識別故障。

圖7 試驗2的測試集識別準確率與訓練集占比關系Fig.7 Curve of test set recognition accuracy-proportion of training set of test 2

為了驗證POFCH的魯棒性，對數據集B和C先按照8∶2比例拆分為訓練集和測試集，對于每種類型的訓練集，從其他類別的訓練集中選擇2個樣本(作為當前類別的離群點)添加到當前類別的訓練集中，再進行訓練，驗證測試集的準確率，隨機獨立重復20次，實驗結果如表5所示。

表5 魯棒性測試準確率和識別精度下降率

表5中計算識別精度下降率的計算公式為

(19)

其中，c1為不加離群點時的識別精度，即表2和表4中20次五折交叉驗證(即訓練集和測試集按8∶2劃分)的結果，c為添加離群點后的識別精度。可以看出在不同的數據集上，概率輸出彈性凸包的準確率依舊最高，并且從識別精度下降率來看，離群點對概率輸出彈性凸包的影響最小，說明概率輸出彈性凸包有更好的抗噪性和魯棒性。

4 結論

本文提出的概率輸出彈性凸包分類方法在處理多分類時，對不同分類器的輸出概率進行成對耦合，以概率輸出彌補距離輸出的不足，消除了原始彈性凸包的缺點；利用數字圖像處理技術，以振動信號時頻圖紋理特征為故障特征來構建故障診斷模型。實驗結果表明，概率輸出彈性凸包的分類精度和魯棒性高于距離輸出彈性凸包，且能準確區分滾動軸承的不同故障，有較高的魯棒性。