基于終端滑模及預設性能控制的水下航行器軌跡跟蹤研究

張國光，楊沖

(昆明船舶設備研究試驗中心，云南 昆明 650000)

0 引 言

近幾年自主水下航行器（AUV）在水下探測、作業領域扮演了越來越重要的作用，如水下巡查、海洋油氣勘探、水下設備檢修等。全驅動AUV 在水下可以實現動力定位、控制靈活，因此在海洋工程領域得到了大量的應用。六自由度AUV 是全驅動AUV 常用的類型，其彈道跟蹤是水下保持自主航行控制的一個關鍵問題，尤其是存在水下環境干擾以及AUV 模型的不確定性時，控制系統在6-DOF 的AUV 彈道跟蹤中面臨著相當大的挑戰。

預設性能控制是指將跟蹤誤差收斂到一個預先設定的一個任意小的區域內，同時在這個過程中可以保證一個較快的收斂速度以及可控的超調量滿足預先設定的條件，同時滿足瞬態性能以及穩定性的要求。文獻[1]首次提出預設性能控制，闡述了預設性能控制的基本原理，證明了預設性能控制的穩定性及收斂性。文獻[2 - 3]研究了欠驅動的AUV 的三維路徑跟蹤問題。在沒有任何AUV 模型參數的先驗知識情況下，設計了平滑控制方案，在洋流和波浪的外部干擾下也能保證預設性能跟蹤。其控制特色在于控制方案中僅采用期望的軌跡而不使用其高階導數，此外，在不將相應的測量值結合到控制信號中的情況下確保了欠驅動自由度的穩定性，從而簡化了實現并提高了對測量噪聲的魯棒性。預設性能控制由于其優異的性能被廣泛應用于各類航行器控制中[6-8]。

文獻[9]介紹了滑模控制（SMC）是處理具有不確定性、擾動和有界外部干擾的非線性系統最有效方法之一。這主要是由于其對系統不確定性和外部干擾的強大魯棒性。由于上述優點，SMC 已被廣泛應用于水下航行器的軌跡跟蹤控制問題。文獻[10]將滑模控制應用于航行器的路徑追蹤，然而這些SMC 方法是基于線性滑模（LSM）設計的，它只能保證由于LSM 的漸近收斂，無法獲得有限時間誤差收斂。

文獻[11]提出的終端SMC（TSMC）旨在實現系統的有限時間收斂。終端滑模（TSM）是跟蹤誤差及其導數的非線性函數，可以實現有限時間收斂。與傳統的SMC 相比，TSMC 可以提供更快的收斂速度、更好的干擾抑制能力和更好的抗不確定性的魯棒性。然而，TSMC 的主要缺點是它存在奇點問題。為了解決TSMC 的奇異性問題，文獻[12]提出了一些非奇異TSMC（NTSMC）方法，即通過結合新的非奇異TSM（NTSM）和不連續的達到定律，完全避免了奇點問題。

本文提出一種基于預設性能函數的用于AUV 六自由度路徑跟蹤控制。將預設性能控制與有限時間收斂的非奇異終端滑模控制結合起來，利用預設性能控制的瞬態性能以及穩定性能優勢以及終端滑模的快速收斂性，實現了在AUV 路徑跟蹤中快速的收斂速度，增強了干擾抑制能力和提升了抗不確定性的魯棒性。

1 AUV 動力學模型

全驅動AUV 在慣性坐標體系下運動學和動力學模型如下式：

其中： M 表示慣性矩陣和附加質量，M= MRB+MAM；C(v)∈R6×6為是科氏力、向心力矩陣以及附加質量的轉動慣量，C(v)=CRB(v)+CAM(v) ，D(v)∈R6×6為非線性阻尼矩陣，D(v)= Dl+Dq(v) ； g (η)∈R6表示恢復力和力矩向量， τ表示航行器在航行器坐標系下的推力輸出， τE為航行器中未建模的部分； η =[x,y,z,φ,θ,φ]T表示水下機器人姿態和位置向量，也是系統輸出向量，v=[u,v,w,p,q,r]T為水下機器人在載體坐標系下的速度向量， τ∈R6表示在水下機器人載體坐標系下的控制向量，向量 η 和ν的轉換關系，可以通過如下矩陣表示為

有水流擾動下水下航行器的運動學模型為：

式中： vf為廣義坐標下的水流速度； vr為航行器坐標下相對流體的廣義速度。

假設2： νf相對于AUV 的速度為小量，因此近似為C(ν)ν ≈C(νr)νr，

假設3：航行器未建模的變量為 τEM 。

2 控制系統設計

控制系統的性能指標通常包括瞬態性能和穩態性能。目前在非線性控制領域，研究的成果主要側重于系統穩態性能，對于系統控制中的瞬態性能研究不多。近年來，隨著科技的不斷發展，控制對象要求精度高、實時性強，因此對系統瞬態性能的研究逐漸受到研究者的關注，正是在這種背景下，預設性能控制應運而生，其為解決性能控制問題提供了一種全新的思路。希臘學者Bechlioulis 于2008 年首次提出了預設性能控制的概念，預設性能要求跟蹤誤差收斂到一個預先設定的任意小的區域內。同時，收斂速度和超調量滿足預先設定的條件。由于這種方法是直接以提高系統的性能為目標，兼顧了穩態性能和瞬態性能。

傳統的預設性能函數由文獻[1]表述：

其中：ρ∞, ρ0, l為預先設定的正常數， ρ∞表示預先設定的穩態誤差的上限，ρ(t)的衰減速度為跟蹤誤差e(t)收斂速度的下界，同時跟蹤誤差的最大超調量不會大于mρ∞。因此，對輸出誤差暫態和穩態性能的限制，可通過選擇合適的性能函數ρ(t)以及常數 m實現。從式（4）和式（5）可以看出，原始跟蹤誤差 e (t)是受限的，受限的跟蹤誤差轉變為無約束的信號并對此信號進行控制，引入誤差變換函數：

圖 1 預設性能函數的模型示意Fig. 1The model of prescribed performance function

預設性能控制誤差函數為：

快速Terminal 滑模控制可使系統狀態在有限時間內收斂為0，突破了普通滑模控制在線性滑模面條件下狀態漸近收斂的特點。系統的動態性能優于普通滑模控制相對于線性滑模控制。Terminal 滑模控制無切換項可有效地消除抖振，快速Terminal 滑模控制為滑動模態控制理論帶來了新的發展方向。為了解決普通Terminal 滑模控制的奇異問題，文獻[12]提出了非奇異下Terminal 滑模控制方法，該方法可很好地解決控制奇異問題。

利用有限時間收斂的非奇異終端滑模控制方法：

其中e=η-ηd， e ˙= η˙- η˙d， β＞0， p ＞q 且p,q 為正奇數。

預設性能與終端滑模結合，給出控制率，模型中加入AUV 未建模動力學模型以及定常的水流干擾。預設性能控制將滑模控制中的誤差變化量 s進行再次的誤差變換：

3 控制系統穩定性證明

預設性能控制要求設計的趨近律能使系統在任意初始狀態下到達滑模面。基于Lyapunov 穩定性理論，對式（10）穩定性進行證明。

設誤差的能量函數為：

將式（19）中的控制輸出 τ代入式（1），可以得到 v˙r的表達式，然后將 v˙r代入式（19）得到 e¨的表達式，最后代入式（18）以及式（17）得到下式：

因此系統是漸進穩定的。

4 仿真模擬

跟蹤路徑設計為：

AUV質量為117kg，浮力為1158N；重心與浮心位置相同，浮心位置為rb=[-0.0170 -0.115]T。

AUV 系統未建模部分：

終端滑模函數的參數為：β=0.6， p=5，q =3。預設性能函數設置：k=0.1，mmax=8,mmin=-10,t0=0.6,ρ0=1.8s,ρ∞=0.01。

圖2 為PPFNTSM 算法跟蹤路徑的效果圖，其中線1 為AUV 運動軌跡，線2 為跟蹤路徑。

圖3～圖6 為4 種算法用于AUV 控制的對比仿真，線1 為預設性能與非奇異終端滑模結合控制（PPFNTSM），線2 為預設性能與線性滑模結合控制（PPFSM），線3 為非奇異終端滑模控制（NTSM）。

圖 2 AUV 運動軌跡及跟蹤路徑Fig. 2The AUV trajectory tracking

圖 3 50 s 位置誤差收斂對比Fig. 3Comparison of 50s position error convergence

圖 4 50 s 控制推力輸出對比Fig. 4Comparison of 50s thrust output

圖3 為3 種算法的位置誤差收斂圖。在同樣的反饋函數下，采用預設性能算法的收斂速度明顯高于非奇異終端滑模控制，實現了快速控制。

圖4～圖6 為3 種算法的控制推進器輸出圖。由圖4 可以看出，NTSM 由于收斂速度最低，所以NTSM算法控制力輸出很低。在控制的后期，由于水流的存在，NTSM 算法的魯棒性較差，產生了較大的推力波動。PPFSM 算法的控制力波動最大，尤其是在控制初期產生了較大的超調以及控制方向的切換，在實際AUV 控制過程中會產生很大的困難。PPFNTSM 算法控制收斂速度最快，也最為平穩。

圖 5 5 s 控制推力輸出對比Fig. 5Comparison of 5s thrust output

圖 6 控制起始段推力輸出對比Fig. 6Comparison of control thrust output in initial stage

5 結 語

本文研究全驅動水下航行器的六維軌跡跟蹤控制問題。將新型預設性能控制與有限時間收斂的非奇異終端滑模控制相結合，用于控制有海流擾動以及有未建模部分的航行器。利用預設性能控制提高了軌跡跟蹤中的誤差收斂速度，增加了控制系統魯棒性。通過理論分析證明了系統的穩定性，再利用理論分析和數值模擬，驗證了該控制算法的有效性。