線性代數教學的反思與改進

楊淑英

（山東女子學院，山東 濟南 250300）

一、學生學習的現狀

（一）教材狀況

目前的線代教材大多數都是基于考研寫的教材，內容篇理論，抽象，題目偏應試，不太注重形象理解和理論的應用，還有些教材的擴充材料里有些簡單有趣的例子的因應用以及matlab 實現，還有些教材使用二維碼的視頻教學，而這些都改變不了線代理論抽象和枯燥的事實。

（二）學生學習興趣：

不管是高年級學習過的學生的了解還是目前學生學習的情況了解，學生學習興趣僅僅體現在考試和做題上。從學習的效果上看，對線代的了解僅僅是幾種題目的算法，對線代的本質理解的不夠。

二、線代學習的核心

從知識的運用的角度，知識融合的角度，學以致用不是空話，作為基礎課線性代數，在飛速發展的今天也應該有很多的應用，這些都是學生應該了解的。

對知識理解本身的渴求，從哪里來的，必須是從它的發展的過程來看，讓學生知道數學是開放的，是容錯的，是形象的是有實際背景的。線代從生活中來，到生活中去。

線代的學習首先要了解從哪里來，然后了解理論本身，然后才是應用，缺一不可。

三、線代的教學改革

在這樣的背景下，學生學習線性代數的過程中，不管是從知識的來源，理論本身，還是最終的應用過程，都需要很好的引導和疏通，所以課堂教學應該是教學的主戰場，是教育的關鍵。課下的反思和討論也是學習很好的補充，下面從課堂教學和課下討論兩個方面來談課程的改革。

（一）課堂教學

首先是講解思路改革：把整個線代的內容做成四個專題，第一個專題為線性方程組的求解，可以作為整個線代的基礎，第二個專題為線性變換，作為了解矩陣的特性，價值和作用，重在理解線性代數里的輸入和輸出；第三個專題為行列式，找到前面兩個內容的結合點，得到另外的解釋；第四個專題為矩陣特征值的應用，重在應用；

第一個專題為線性方程組的求解和線性方程組解的結構：首先是線性方程組的求解，通過線性方程組的高斯消元法引入矩陣行初等變換的概念，把高斯消元的求解過程轉化矩陣的初等變換，從矩陣的行階梯型觀察解的情況，從行最簡形寫出與其同解方程的最簡單形式；其次鑒于解作為向量，考慮向量的線性表示和線性無關性的概念，并轉化為前面的線性方程組的求解問題；再次，介紹線性空間的概念，通過極大無關組建立線性空間的基和維數的概念，說明張成空間、列空間、齊次線性方程組的解空間都是線性空間，并可以找到它們的基，構建齊次線性方程組的解的結構，通過維數概念把幾個空間聯系起來；最后，找到非齊次線性方程組的解和齊次線性方程組的解的關系，從而得到非齊次線性方程解的結構！

整個專題以求解線性方程組為主線，為了更好了解解的結構問題，引入線性空間，為了把線性空間的結構搞清楚，引入線性相關、線性表示，為了把求解過程及結果敘述清楚，引入了矩陣的初等變換，矩陣的秩的概念。整個過程讓學生感受到一條清晰的主線，明白各種概念脈絡，并能把這些概念用于表述問題，建立起知識體系。

第二個專題為線性變換：首先介紹線性變換，如果把線性變換看成函數的話，那么就有輸入和輸出，定義矩陣乘以向量，證明線性變換都可以寫成以為輸入以為輸出的函數；其次從線性變換的角度理解矩陣，旋轉矩陣，投影矩陣，放縮矩陣，傾斜矩陣，反射矩陣，恒等矩陣等等；最后定義矩陣的乘法，從不同的角度理解矩陣相乘的含義，進而定義矩陣的逆，利用初等變換和矩陣乘以初等矩陣的關系求解矩陣的逆。

這個專題主線是通過線性變換的角度理解各種矩陣的運算，解釋各種運算的意義。專題的重點和難點是矩陣的乘法和矩陣的逆的運算，從特殊的矩陣出發增加對矩陣的逆的感性認識，從一些實際的例子出發增加對矩陣的乘法的感性認識。

第三個專題為行列式：首先給出行列式的遞推定義和行列式的性質，通過這兩個方法計算行列式；其次，說明行列式的幾何意義，行列式在線性變換引起的度量的變化；最后，說明行列式和矩陣可逆的關系，行列式和線性方程組的關系，進而得到行列式和向量的相關性的關系。

這個專題的基礎是行列式的計算，通過行列式把前面的矩陣的秩，線性方程的求解，線性相關性等問題做另外的解釋。對前面兩個專題的內容有個很好的統一。

第四個專題為矩陣的特征值的應用：首先給出矩陣特征值的概念和幾何解釋，以及計算方法，并簡單介紹特征值的計算機算法；其次，從線性變換的角度理解矩陣的對角化中特征向量和特征值起到的作用，最后，建立二次型的標準化和矩陣的特征值、特征向量之間的關系！

這個專題從線性變換的角度出發，圍繞二次型的標準化這個主題展開，解決了二次型化標準形的問題，對于線性無關向量組的正交化的過程可以作為一個小的子專題講授。

其次是講課的要點：首先注重概念闡述的形象化，突出幾何解釋，讓學生形成對線性代數的形象認識；其次，注意算法推理過程中的思考，引導學生主動完成推理過程，形成自己的思考體系，注重概念的符號表達，讓學生能夠自己進行獨立準確推理和思考；最后，布置的課后題目能夠引起學生的主動嘗試和思考，形成自己的理解。注意同一個問題的不同理解和闡述。

最后是學生的思與做：注重結合學生以前的知識，構建聯系和共鳴，注意學生的不同做法，鼓勵學生用準確的數學符號表達自己的想法，用自己的專業背景出發理解問題。主線介紹內容，重點是讓學生形成知識體系。

（二）課堂教學的補充

除了主線教授之外，把一些內容的擴展和延申，設計成思考題，提供給學生基本的知識，指定教學內容通過學生課下討論，然后通過課上解答的方式講解。

比如矩陣方程的求解問題，向量組的等價問題，已知一組向量的線性相關性，考慮由它線性表示的一組向量的線性相關性，矩陣的冪運算以及圖形的旋轉和平移等等

四、線代內容改革的幾個特例：

1.矩陣的乘法：矩陣的乘法是個難點也是重點，一般的講解思路為首先給出乘法的定義，學生練習，然后講解先前的線性方程組可以寫成矩陣的形式。而我們先給出矩陣乘以一個向量的定義，可以從學生對以前點乘的角度理解，也可以從向量的線性表示的角度理解，還可以從線性變換的角度理解，都是在原來的知識基礎上的理解，然后再把矩陣相乘定義為矩陣乘以向量，這樣由易到難，由形象到抽象，化解知識的難度，增加知識的前后聯系，增加知識的廣度，另外課后題的布置上可體現循環比賽的成績排名這樣的例子引起學生對這個乘法的興趣和深度理解，教學的重點除了計算還有更多的對乘法的感性認識。

2.矩陣的秩：一般的矩陣的秩是通過k 階子式的定義給出的，通過初等變換化成階梯型矩陣，通過初等變換不改變矩陣的秩的事實，從階梯型矩陣看到矩陣的秩為階梯型矩陣的非零行的行數。這種講解思路，對于習慣了理性思考以及理論推導的數學系同學們來說不是難事，但是對于偏向感性思維的同學們來說，這種對秩的理解完全變成了一種記憶，沒有太多的感性認識，而我們的這個講解過程，從線性方程組的求解出發，求解過程為初等變換，這樣再求解線性方程組中積累了太多對秩的感性認識，因此得到列秩、行秩的概念就是自然而然的了，定義行秩和列秩為矩陣的秩也就順理成章了。在行列式中，我們把秩的概念用另外的方式闡述，對起到知識的融匯貫通的目的并能夠更好的理解了三秩合一。