具有毒素的兩競爭魚群的最優(yōu)稅收問題

楊海霞，吳應琴

(1.蘭州文理學院 教育學院，甘肅 蘭州 730010；2.中國科學院西北生態(tài)環(huán)境資源研究院，中國科學院油氣資源研究重點實驗室，甘肅 蘭州 730000)

0 引言

許多可再生資源(如漁業(yè)資源、林業(yè)資源以及各種野生動植物等)的可持續(xù)性受人類利用方式的影響,如何積極保護、合理開發(fā)利用這些自然資源,使它們能持續(xù)發(fā)展,成為當今社會普遍關注的焦點問題.對于可再生資源的最優(yōu)管理問題,加拿大著名生態(tài)經濟學家Clark C W在文獻[1]中從生物學和經濟學方面做了詳細的討論.鑒于環(huán)境的惡化和資源規(guī)模的減少,生物資源開發(fā)的管理問題成為當今世界關心的問題.國家管理機構為了從自然資源開發(fā)中得到公共積累,通常采用的辦法為征稅.經濟學家認為把稅收作為一種控制工具是因為它的靈活性，能夠較好地被管理機構使用.在以往的文獻中[2-3],大多都是把捕撈努力量作為控制變量,使用稅收作為控制工具對漁業(yè)資源的動力性態(tài)進行研究的文獻相對較少.一些學者研究了以稅收作為控制工具的最優(yōu)捕獲策略[4-5].

生態(tài)毒理學問題在海洋環(huán)境中的數學研究已經開始,學者們對由海洋生物種群自己釋放的毒物產生的生態(tài)毒理學效應很感興趣[6-10],它成為水生態(tài)中的一個主要研究方向.本文將建立有關生態(tài)毒理學問題的數學模型,把捕撈努力量作為一個動態(tài)變量,利用稅收作為控制變量,討論如何制定政府的稅收策略,使得在保證種群持續(xù)生存的前提下,使資源擁有者獲得最大利潤.

1 模型的建立

在文獻[8]中,Maynard Smith在一個兩種群競爭的Lotka-Volterra系統(tǒng)中加上了毒素物質作用這一項,并且假設為了食用同一個食物資源,只有當對方存在時每個種群就會向對方釋放一種毒物來阻止對方的競爭,從而建立了如下模型：

(M1)

其中：x(t)、y(t)代表兩競爭種群在任一時間t時刻的種群密度；a1、a2分別表示兩種群的內稟增長率；b1、b2分別表示兩種群的種內作用系數；α1、α2分別代表兩種群的種間作用系數；β1、β2分別是y種群對x種群和x種群對y種群的毒素作用系數.

Chattopadhyay[9]對以上系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了研究.在文獻[10]中,Kar等受文獻[8]的啟發(fā),建立了一個商業(yè)開發(fā)的微分方程模型,把捕撈努力量作為控制變量,對Maynard Smith的模型進行了修改,證明了兩競爭種群彼此釋放的毒素會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

本文將Maynard Smith的思想進一步推廣到海洋魚群中去,且假設兩競爭魚群都遵守logistic增長規(guī)律,魚群的增長方程為

(M2)

其中:r1、r2、α1、α2、β1、β2、k1、k2都是正常數.這里r1、r2代表兩種群的內稟增長率.k1,k2是它們的環(huán)境容納量.兩種群為了一個外部食物資源的食用而相互競爭,在沒有對方時每個種群都按Logistic增長規(guī)律增長.r1/k1和r2/k2是種內競爭系數.β1x2是y種群對x種群密度的一種功能反應,它來自于由y種群為阻止x種群食用共同的食物資源而產生的一種毒素物質.因為

d(β1x2)/dx=2β1x>0，

d2(β1x2)/dx2=2β1>0,

因此當競爭對手越多時,種群釋放毒素的速率會增大.β2y2可以類似地解釋.

又假設對系統(tǒng)(M2)中的兩魚群之一進行商業(yè)開發(fā).為了保護魚群,假定管理機構對收獲每單位魚群征收的稅金為τ>0(τ<0代表的是給漁民們的補貼),此時,種群資源和收獲主體所投入的努力量之間的動態(tài)關系模型為

(1)

其中：q是對x種群的捕獲能力系數；E為捕獲努力量；qEx為捕獲率函數；p為單位種群的價格；c為單位捕獲努力量的成本,p和c都為常數,且p>τ.

常數α0是用來衡量努力量對利益流的反應強度系數,漁民們的純經濟收入(利益流)是[(p-τ)qx-c]E,模型(1)意味著收獲努力量變化率與私人的利益流成正比．

2 平衡點及其性態(tài)分析

2.1 平衡點的存在性

從生物意義上來說,在收獲的情形下,為了保持生物的多樣性,人們希望兩種群能夠共存.因此,文中只討論系統(tǒng)(1)的正平衡點P(x*,y*,E*).這里,假設x*,y*和E*是以下方程組的正解,

(2)

解方程組得

若

且

則E*>0.

其中:

a=k1r2q2(r1-k2α1);

(3)

b=cqk1k2(r1β2-r2β1+α1α2)-cqr1r2;

(4)

m=k2c2(k1α2β1-r1β2).

(5)

結合以上的這些討論結果,可得到下面的定理.

則系統(tǒng)(1)存在唯一正平衡點P(x*,y*,E*).其中a,b和m由方程(3)、(4)、(5)給出.

2.2 正平衡點的定性分析

定理2動態(tài)系統(tǒng)模型(1)的生物經濟平衡點P(x*,y*,E*)是局部穩(wěn)定的充分條件，為

證明根據常微分方程定性理論知識,討論生物經濟平衡點P(x*,y*,E*)的局部穩(wěn)定性[11].

為了確定生物經濟平衡點P(x*,y*,E*)的局部穩(wěn)定性,模型(1)關于(x*,y*,E*)的線性化系數矩陣為

V(x*,y*,E*)=

變量矩陣V(x*,y*,E*)對應的特征方程為

λ3+m1λ2+m2λ+m3=0.

其中：

α0q2(p-τ)E*x*-

(α2y*+β2y*2)(α1x*+β1x*2)；

要使P(x*,y*,E*)為穩(wěn)定的平衡點,根據常微分方程定性理論知識可知[11],只需m1m2-m3>0.而

m1m2-m3=

在生物經濟平衡狀態(tài)下有

[p-τ(t)]qx-c=0，

p-τ(t)=f[x(t)].

上式的生物經濟學意義為:在任一時刻t對種群資源征收稅收τ(t),使收獲者的純收益不斷被消除.

對上式進行求導可得

由種群的收獲增長模型：

得

由上式知道,t時刻的捕獲努力量不僅與當時的種群密度有關,還與當時的收獲稅額度有關.也就是說,可以通過改變當時的稅收額度來調節(jié)社會投入的捕獲努力量.

下面討論系統(tǒng)(1)的全局穩(wěn)定性.

通過構造Lyapunov函數來考慮系統(tǒng)(1)的全局穩(wěn)定性.

定義如下的一個Lyapunov函數.

其中d0是待定的正常數.

Lyapunov函數V關于系統(tǒng)(1)的全導數為

d0(E-E*)α0[(p-τ)qx-c].

d0[α0(p-τ)q(x-x*)(E-E*)].

(α1+α2+β1x*+β2y*)(x-x*)(y-y*)+

等式右邊是關于變量(x-x*)和(y-y*)的二次型.如果下列矩陣.

因此,如果

即

(α1+α2+β1x*+β2y*)2

(6)

不等式(6)可以化為這樣的形式:Axy+Bx+Cy+D>0.

其中

同一般的二次方程相比,Axy+Bx+Cy+D=0代表的是一條漸近線平行于坐標軸的直角雙曲線.

現在,令x=0，有

同理,令y=0時，有

因此,如果

因此,由Lyapunov穩(wěn)定性定理知[11]：生物經濟平衡點(x*,y*,E*)是全局漸近穩(wěn)定的.

定理3若條件

成立,則系統(tǒng)(1)的生物經濟平衡點P3(x*,y*,E*)是全局漸近穩(wěn)定的.

這個定理說明了當參數滿足某些條件時,兩種群最終將會保持在各自的平衡水平,持續(xù)生存,永不滅絕.

3 最優(yōu)平衡稅收策略

管理的目標是使社會由于捕獲行為而得到的純收入的總貼現值達到最大.因此,本節(jié)的目的是確定一個最優(yōu)稅收τ(t),得到 一個最優(yōu)生物經濟平衡點(x*,y*,E*),且平衡點是穩(wěn)定的,同時使得性能指標

取得最大值.其中：e-δt為貼現因子；δ為年瞬時貼現率.

這個問題可歸結為以下最優(yōu)控制問題:

滿足狀態(tài)方程(1)， 初始條件:x(0)=x0,y(0)=y0,E(0)=E0.約束條件:τmin≤τ≤τmax.

其中,τ(t)為控制變量.當τmin<0時,表示給收獲主體津貼補助.

首先構造Hamilton函數:

H=e-δt(pqx-c)E+λ1

λ3α0[(p-τ)qx-c]E,

其中λ1(t),λ2(t)和λ3(t)是伴隨變量.

由于H關于τ是線性的,當τmin<τ<τmax時,哈密頓函數H取得最大值的必要條件是?H/?τ=0.即

(7)

解(7)得λ3=0.

伴隨方程就是

(8)

(9)

(10)

由式(10)有

(11)

為了得到一個最優(yōu)平衡解,首先要求種群在生態(tài)意義上達到平衡,通過利用正平衡點和方程(11),將方程(9)重寫為

(12)

其中:

解方程(12),得

(13)

通過類似的方法,將方程(13)代入方程(8),可得

它的解為

(14)

其中：

將方程(11)中λ1的值代入方程(14)就得到了奇異軌線

(15)

現將方程(2)的平衡解x*,y*和E*的值代入方程(15),就得到了一個關于τ的方程.令τδ是這個方程的一個解(如果存在解),利用τ=τδ這個值,就可以由系統(tǒng)平衡方程(2)確定出最優(yōu)平衡解(xδ,yδ,Eδ).這就證明了滿足最大值原理必要條件的最優(yōu)平衡解是存在的.

通過這節(jié)的分析注意到以下的事實:

注1:由方程(7),(13)和(14)注意到，影子價格λie-δt(i=1,2,3)在最優(yōu)平衡處不隨時間而變化,因此它們滿足橫截條件,也就是,當t→∞時它們仍然有界.

注2:考慮正平衡點,方程(10)可以重寫為

這說明了每單位努力量收獲的總使用者成本等于在平衡努力量水平下努力量將來邊際利潤的現值.因此,可以得到這樣的結論:當總的使用者成本等于努力量邊際利潤的現值時就得到了最優(yōu)平衡解.

這說明了當貼現率無窮大時,社會的純利潤π(x∞,y∞,E∞)=0.因此,當種群有滅絕的危險時,管理機構可以通過增加稅收或貼現率來阻止捕撈公司對魚群的過度開發(fā).

4 結束語

本文主要研究了毒素存在的情況下兩競爭魚群的選擇性捕獲問題.把捕撈努力量作為一個動態(tài)變量,而將稅收作為控制工具組，建立了漁業(yè)中的動態(tài)反應模型.對所研究的系統(tǒng)找到了生物經濟平衡點是局部穩(wěn)定和全局漸近穩(wěn)定的充分條件,推出了當管理機構增加稅收或貼現率時,可以避免出現種群滅絕的結論.最后在保證種群可持續(xù)發(fā)展的前提下,利用最大值原理以長期資源開發(fā)獲得的經濟利潤為管理目標,求得了最優(yōu)平衡解、最優(yōu)的稅收及最優(yōu)稅收策略.