采用新鹽度邊界條件的海洋動力學方程組整體弱解的存在性

張燕玲，張博冉，連汝續

(華北水利水電大學 數學與統計學院，河南 鄭州 450046)

0 引言

針對正壓模式、斜壓模式、準地轉模式及非地轉模式等多種大氣環流模式，曾慶存[1-2]提出了符合物理意義的大氣上下邊界條件，大氣海洋耦合動力學方程組及海氣界面上的邊界條件. 在此基礎上，穆穆和曾慶存[3]研究了準地轉模式和準平衡模式的適定性. 而Lions，Teman和汪守宏[4-6]等也進一步證明了簡化的原始方程整體弱解的存在性理論等. 在1998年和2002年，曾慶存[7-8]針對大氣和海洋原始方程進行了改進，并給出了大氣和海洋環流模式的動力學方程組以及符合物理意義的邊界條件. 隨后，黃海洋和郭柏靈[9-10]分別證明了未考慮地形因素和考慮地形因素下大氣動力學方程組吸引子的存在性.在 González[11]，Temam和Ziane[12]等對原始方程以及海氣耦合方程局部強解的存在性證明的基礎上，Cao和Titi[13]在初始能量不要求足夠小的情況下，驗證了原始方程整體強解的存在性.在考慮水汽相變過程時，文獻[14-16]得出了大氣動力學方程組整體強解的適定性理論.進而，Cao，李進開和Titi[17-19]研究了只考慮部分方向耗散的原始方程強解的整體存在性.因此，在考慮地形因素影響下，連汝續和曾慶存[20-21]得到了大氣動力學方程組整體弱解的穩定性以及整體強解的存在性.基于此，本文對于鹽度方程給出了具有一定物理意義的新鹽度邊界條件，進而研究了考慮地形因素的海洋動力學方程組，并利用能量估計方法，證明了海洋動力學方程組整體弱解的存在性.

1 模型的提出

下面給出文獻[22-23]中在新鹽度邊界條件下考慮地形因素的海洋動力學方程組，包括如下幾個方程.

運動方程：

(1)

其中：ω為地球的自轉角速度；g為重力加速度；khof，kzof是擴散系數.

溫度方程：

(2)

鹽度方程：

(3)

其中:S′是鹽度偏差;k0等于0或1.

海平面高度方程：

(4)

其中，zso′是海表高度偏差.

準靜力平衡方程：

(5)

其中，ρ′是密度偏差.

類似地，文獻[20]給出相應的算子形式為

I(U)t+N(U)(U)+B(U)=F.

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

非線性項(V*·)V和中的是修正的速度場. 令

(11)

令式(11)中的函數φ滿足:

(12)

其中κ0*等于0或1，則

(13)

(14)

將式(14)關于ζ∈[-1,ζ]積分，在ζ=0時有

(15)

則可以給出海洋動力學方程組(6)的邊界條件：所有狀態變量都是關于余緯和經度的周期函數，且

(16)

f(x)∈C(R+),C1xα≤f(x)≤C2(1+xα),0<α<1,

(17)

其中：P，R和E是正常數，分別代表降水作用，徑流作用和蒸發作用；γ|V10|3S′為實鹽通量擾動量.

2 整體弱解的存在性結論

定義1對任意M>0，若U滿足:

U∈L(0,M;L2(O))∩L2(0,M;H1(O)),

且在積分意義下滿足I(U)t+N(U)(U)+B(U)=F，即對任意的

有φ(M,·)=0，使得

其中：(·,·)表示L2(O)的內積.類似文獻[19]定義e(U,φ)為耗散項與試驗函數的內積；c(U,φ)為邊界函數與試驗函數φ的內積；g(U,U,φ)為其余項與試驗函數φ的內積.U稱為海洋動力學方程組(6)在O×[0,M]上的弱解.

定理1(整體弱解的存在性)對任意M>0，假定下列條件成立：

(18)

(19)

Ψ(θ,λ,ζ,t)∈L([0,M];H-1(O)).

(20)

若U0(θ,λ,ζ)∈L2(O)，則海洋動力學方程組(6)在區間[0,M]上具有整體弱解，

且滿足能量不等式：

(21)

其中：C,C(M)>0都是常數.

3 整體弱解存在性的證明

首先給出兩個引理及證明.

引理1對?U∈L(0,M;L2(O))∩L2(0,M;H1(O)),有下述不等式成立：

(22)

另外

(23)

由跡定理和Sobolov嵌入定理可知

(24)

(25)

引理2對?U∈L(0,M;L2(O))∩L2(0,M;H1(O)),?ε:0<ε<<1,有

(26)

(27)

則有

(28)

(29)

其中：C>0；ε是一個常數，且滿足0<ε<<1.則

(30)

基于引理1和引理2及Galerkin方法證明海洋動力學方程組(6)整體弱解的存在性.

(31)

(32)

由常微分方程解的存在性理論可知在區間[0,M]上近似解Un(t)存在.

取檢驗函數為

(33)

根據邊界條件可得近似解Un(t)滿足

(34)

由Young不等式和Poincaré不等式可得,

(35)

(36)

(37)

其中:C是正常數;ε是一個足夠小的正常數. 綜上可得

(38)

再由Gronwall不等式可得Un∈L([0,M];L2(O))∩L2([0,M];H1(O)). 因此Un存在一個子列，記為Un，且存在函數U∈L([0,M];L2(O))∩L2([0,M];H1(O))，使得

(39)

由方程(6)、(22)和(26)可得

(40)

其中lt>1是一個正常數.則由Lions致密性引理得

Un→U∈L2([0,M];L2(O)).

(41)

下證函數U在積分意義下滿足海洋動力學方程組(6).首先，取檢驗函數

由(39)和(41)可驗證

Un|ζ=0→U|ζ=0∈L2([0,M];L2(OS)),

(42)

f(Vn)Vn|ζ=0→f(V)V|ζ=0∈L1([0,M];L1(OS)),

(43)

則

(44)

(45)

綜上所述，U在積分意義下滿足海洋動力學方程組(6)，故U是方程組(6)的整體弱解，此外利用文獻[12]中的方法還可證明U滿足能量不等式.