矩陣奇異值分解算法及應用研究

韓孝明

(呂梁學院 汾陽師范分校,山西 汾陽 032200)

0 引言

矩陣奇異值分解是線性代數中一種十分重要的矩陣分解，在信號處理和統計學等領域具有十分廣泛的應用.對于方陣而言，特征值分解是提取矩陣特征值的有效手段，但在現實生活中絕大部分的矩陣不是方陣，這使得用特征值分解的方式去提取矩陣的特征值不再適用.奇異值分解(SVD)可以有效地解決這一問題，是對一般矩陣進行特征值提取的有效措施[1].基于此，本文對矩陣奇異值分解算法進行分析，討論了奇異值分解算法在實測滾動軸承信號降噪處理中的應用.對于實測的滾動軸承信號而言，由于測試的過程中受到測試儀器、環境等因素的影響，這使得實測的滾動軸承信號常常包含有大量的噪聲.通過對實測滾動軸承信號的分析來完成滾動軸承的在線狀態監測.故障診斷的基礎是消除實測滾動軸承信號中的噪聲，避免軸承運轉狀態信息被淹沒在噪聲中.由于信號和噪聲的奇異值存在明顯的差別，因此通過科學地選擇實測振動信號所構造的Hankel矩陣H的奇異值，最終達到信號降噪處理的目的.

1 矩陣奇異值分解

SVD是一種正交化的方法，對一個行或者列線性相關的矩陣，通過在矩陣的左右分別乘以一個正交的矩陣來對原矩陣進行變換，這樣就可以將原矩陣中線性相關的行或者列變為線性獨立的行或者列.對任意矩陣Am×n，其秩為r，那么存在兩個標準化的正交矩陣Um×m、Vn×n和對角矩陣Dm×n，滿足

A=UDV，

(1)

其中：

對角矩陣Dm×n為

(2)

其中，

σ1≥σ2≥…≥σk≥…≥σr，

σk為矩陣A進行SVD分解得到的第k個奇異值.

矩陣的奇異值具有良好的穩定性，同時奇異值也是矩陣所固有的特征，通過矩陣的奇異值分解可以達到對信號降噪處理的目的，在信號處理方面具有十分廣泛的應用[2].

2 奇異值分解在信號降噪中的應用

2.1 Hankel矩陣

(3)

其中：1

實測振動信號常常包含有大量的噪聲，對實測信號降噪的目的就是要實現信號和噪聲的分離.借助于SVD對實測振動信號中真實信號與噪聲進行分離，就要求所構造的Hankel矩陣的行數m與列數n乘積盡可能大.結合高中數學知識，可以確定矩陣的行數m，具體為

(4)

2.2 奇異值分解降噪原理

對實測的振動信號X按照2.1的辦法構造Hankel矩陣H，則

Hm×n=Dm×n+Wm×n，

(5)

其中，Dm×n和Wm×n分別為真實信號的子空間和噪聲信號的子空間.

對矩陣H進行SVD分解，保留前K個奇異值，其他的奇異值置為零.按照SVD分解的逆過程就可以得到重構矩陣HΔ，將HΔ按照重構的方法進行逆變換，就可以得到降噪后的信號.采用奇異值分解進行信號降噪處理的辦法是考慮到真實信號和噪聲的不同特征，以奇異值去衡量這種特征的差別，通過不同的奇異值選擇辦法對奇異值矩陣進行處理，同時對處理后的矩陣再重構信號，進而達到對實測振動信號降噪的目的.采用奇異值分解對實測振動信號降噪的一般步驟如下[4].

(1)構造H矩陣：實測信號的長度N為奇數時，H矩陣的行數m為(N+1)/2；實測信號的長度N為偶數時，H矩陣的行數m為N/2，H矩陣的列數n=N-m+1.

(2)SVD分解：對H矩陣進行SVD分解，可以得到兩個標準化的正交矩陣Um×m、Vn×n和對角矩陣Dm×n.

HΔ=UD′V.

(6)

(5)獲得降噪后信號：選擇HΔ第一行的所有元素和第二行第n列到第m行第n列的m-1個元素，這樣就可以獲得降噪后的信號.

2.3 奇異值選擇的方法分析

通過對采用奇異值分解算法對實測振動信號降噪處理流程的分析可知,影響實測振動信號降噪效果的關鍵是如何去選擇奇異值.奇異值的選擇是否科學、恰當，這直接關系到最終的降噪效果.如果在信號降噪的過程中所選擇的奇異值個數比較多，那么采用該方法進行降噪所得到的降噪后的信號往往依舊包含比較多的噪聲，即信號降噪的目的并沒有達到.如果在信號降噪的過程中所選擇的奇異值個數比較少，那么采用該方法進行降噪后所得到的降噪后的信號將原始信號中的真實信息濾除，造成信號的失真，這樣就失去了降噪的意義.結合前人的研究成果，目前對奇異值選擇共有3種方法，分別為奇異值差分譜法、特征均值法和奇異值中值法[5].

奇異值差分譜法：對實測的振動信號構造Hankel矩陣H，對矩陣H進行奇異值分解，同時對奇異值按照從大到小的順序進行排列，分別為σ1、σ2、…、σr.構造奇異值的差分譜序列{bi}，i=1,2,…,r-1，具體的構造公式為

bi=σi-σi+1.

(7)

奇異值中值法：對實測的振動信號構造Hankel矩陣H，對矩陣H進行奇異值分解，同時對奇異值按照從大到小的順序進行排列，分別為σ1、σ2、…、σr.

如果r為偶數，那么中值為位置r/2和位置(r+2)/2之和的平均數；如果r為奇數，那么中值為位置(r+1)/2的數.

2.4 實測滾動軸承信號降噪

2.4.1 實測數據處理

滾動軸承是機械設備的關鍵零部件，對滾動軸承振動信號的降噪處理是實施滾動軸承運動狀態監測和故障診斷的基礎與關鍵.本文所采用的數據來源于美國凱斯西儲大學.實測的振動信號通過數據記錄儀采集獲得，信號的采樣頻率為120 kHz.分別采用奇異值差分譜法、特征均值法和奇異值中值法對奇異值進行選擇，從而對實測的振動信號降噪處理.采用矩陣奇異值分解算法對實測滾動軸承信號進行降噪處理的流程如圖1所示.

圖1 滾動軸承信號降噪處理流程

應用MATLAB軟件對實測的滾動軸承信號降噪處理，考慮到計算的時間和計算機的計算能力，截取一段實測信號，信號的長度為1024.結合公式(4)所構造的Hankel矩陣H為512×513.

(8)

對所構造的Hankel矩陣H進行奇異值分解，得到原始信號奇異值分布圖,如圖2所示.奇異值的個數為512個.同時對奇異值按照從大到小的順利排列，構造奇異值的差分譜序列，結果如圖3所示.

圖2 奇異值分布

圖3 奇異值構造的差分譜曲線

2.4.2 降噪效果分析

為了比較不同的奇異值選擇方法的降噪效果，本文通過信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)來做好衡量實測滾動軸承振動信號的降噪效果.信號的信噪比數值越大，均方根誤差越小，降噪后的信號和實測的信號越接近，該種降噪方法對信號降噪的效果也越好；反之，信號的信噪比數值越小，均方根誤差越大，降噪后的信號和實測的信號之間差別越大，該種降噪方法對信號的降噪效果也越差.信噪比和均方根誤差的定義為

(9)

(10)

其中:x為實測信號;y為降噪后信號；n為信號的長度.

分別采用奇異值差分譜法、特征均值法和奇異值中值法3種奇異值選擇方法對實測的滾動軸承信號進行降噪處理，比較3種方法的降噪效果，從而選擇對實測滾動軸承信號降噪處理最佳的方法.3種方法的降噪效果對比結果如表1所列.

由表1可見，通過3種降噪方法的信噪比與均方根誤差結果可知，對實測滾動軸承振動信號采用奇異值中值法的效果最佳，采用特征均值法的降噪效果一般，采用奇異值差分譜法的降噪效果最差.原始信號和3種降噪方法降噪后的信號時域波形圖如圖4所示.

通過對比發現，3種降噪方法對原始信號都有一定程度的降噪效果.對于奇異值差分譜方法而言，在對實測滾動軸承振動信號降噪的過程中，將一些信號中的真實信息當成噪聲給處理掉了，因此降噪后的信號出現了一定程度的失真.對特征均值法而言，因其對于原始信號中存在的突變成分也沒有給予很好的保留，造成了信號降噪的失真.對于奇異值中值法而言，其比較好地保留了原始信號中的突變成分，特別是在滾動軸承出現早期故障時，其所體現的主要是一些突變的成本.通過對3種降噪方法的對比可知，對實測滾動軸承信號的降噪處理采用奇異值中值法選擇奇異值所達到的降噪效果最優.

表1 三種降噪方法降噪效果對比

圖4 原始信號與降噪信號波形圖

3 結論

矩陣的奇異值分解在信號處理和統計學領域具有十分廣泛的應用.本文對矩陣奇異值分解算法進行了分析，指出了矩陣的奇異值分解是一種正交化的方法，同時矩陣的奇異值是矩陣的固有屬性，在此基礎上給出了采用矩陣的奇異值進行信號降噪處理的一般流程，并對比了奇異值差分譜法、特征均值法、奇異值中值法3種降噪方法對實測滾動軸承信號降噪的效果.通過對比指出采用奇異值中值法對實測滾動軸承信號進行降噪處理的效果最優.本研究對于更加客觀了解矩陣奇異值分解在信號降噪處理中的應用具有一定的參考價值.