基于熱力學原理的爐溫曲線調控模型

王明泉 周心如 李博文

（1、南京信息工程大學數學與統計學院，江蘇 南京210044 2、南京信息工程大學大氣科學學院，江蘇 南京210044 3、南京信息工程大學計算機與軟件學院，江蘇 南京210044）

1 問題重述

1.1 問題背景

回流焊過程是集成電路板等電子產品生產制造中重要的工藝環節之一，它是通過回焊爐加熱從而達到自動焊接電子元件。此過程對回焊爐的各部分溫度保持工藝要求極高，可以說焊接質量將直接影響到高精度電子產品的可靠度。目前，這方面工藝的關鍵即設定回焊爐的爐溫曲線大多通過實驗測試來進行調控的。

從回焊爐截面角度進行觀察，其內部設置分為4 個功能區，包括預熱區、恒溫區、回流區和冷卻區。傳送帶勻速將電路板送入回焊爐內進行加熱焊接。回焊爐也可以分為11 個長度為30.5cm 的小溫區，相鄰小溫區間隔5cm，在加熱區外有爐前、爐后兩長度為25cm 的區域。生產車間溫度保持250C 不變，回焊爐內空氣溫度也會在短時間內達到穩定，以保證正常的焊接過程。

1.2 需解決的問題

通過建立合適的數學模型，在設定的各溫區溫度和傳送帶速度確定下，給出焊接區域中心的溫度變化情況，并列出具體小溫區的焊接區域中心溫度。

2 問題分析

在已知各溫區溫度設定值的條件下，要求相應焊接區域中心的溫度變化情況。考慮到幾個溫區的相互影響、相互關聯，以及傳送帶運送電子板勻速過爐經過溫度不同的大溫區過程可看作是爐內空氣與集成電子板焊接區域的熱傳導過程，可以以此建立熱傳導偏微分方程解釋該過程焊接區域中心溫度變化情況。依據題中給出某次實驗的小溫區設定溫度及附件中在該條件下的焊接區域中心溫度隨時間變化數據，可以求出傳送帶經過各小溫區的時間及位置。通過分析得出此類情況為第三類邊界條件，基于傅里葉熱傳導方程和牛頓冷卻定律建立不同外界溫度下的熱傳導模型。未知參數可以通過反演求得，針對問題中題設數據求解電子板的焊接中心的溫度分布曲線，則需要應用已經建立的熱力學模型對電路板焊接區域中心的溫度進行正向解。

3 模型假設

3.1 爐內充滿同種空氣（如氮氣）且分布均勻。

3.2 回焊爐內若干個小溫區規格完全相同，焊接過程中不存在設備損壞問題。

3.3 焊接區域的質量可靠，即不存在焊接區域出現故障。

4 問題模型的建立與求解

4.1 模型的建立

（1）建立坐標系各小溫區可根據溫度劃分為7 各大區域，在這些區域中，焊接區域的外界環境定，以回焊爐前端為坐標原點，沿傳送帶運送方向為y 軸建立一維坐標系Oy。

小溫區對焊接區域的傳熱可看作是一維的熱傳導，以電路板焊接區域的上表面為坐標原點，沿焊接中心建立一維的坐標系Ox。

（2）建立方程

熱量的傳遞通過溫度反映，焊接區域由表面到中心的溫度變化過程與焊接區域經過小溫區對應時間相關，以小溫區1-5為例，在小溫區1-5 中溫度恒定1750C，如圖2 將焊接區域由上往下分成不同的層面，每個層面取面積微元dS，各層之間間隔為 Δx ，溫度傳導由x 往 x +Δx方向，溫度變化由u(x,t)變為u(x,t+dt)，由傅里葉熱傳導定律可得：

由熱量公式 Q = cmΔ u可得：

其中L 為焊接區域厚度為0.15mm,t1為傳送帶經過小溫區1-5 的時間。

關于傳送帶過爐時間t 的描述，考慮如圖1 建立時間軸。

圖1 傳送帶過爐時間軸

上式即為傳熱二維偏微分方程。

(3)初始條件及邊界條件

由于外界環境即小溫區1-5 的溫度設置為1750C，且電路板過爐的溫度最初是250C。所以初始條件為：

利用牛頓冷卻定律來確定邊界條件，流過第一層上邊界的熱流等于外部空氣和焊接區域之間交換的熱流，除第一層外的第i 層與與第i+1 層的熱量交換則通過熱傳導，應用第三類邊界條件有：

綜上所述，可以得到1-5 小溫區段的非穩態熱傳導模型如下：

因此小溫區1-5、6、7、8-9、10-11 的熱傳導模型如下（其中i=1,2,3,4,5）：

（4）不同大溫區的間隙的模型

此前建系時對小溫區人為分段，應用溫度相同的準則劃分，相同溫度的小溫區合并溫度段，不同溫度的溫區之間留有間隙，這些間隙分別存在小溫區5 與小溫區6 之間、小溫區6 與小溫區7 之間、小溫區7 與小溫區8 之間、小溫區9 與小溫區10之間，共四個間隙，每個間隙長5cm。這些間隙中熱傳導模型與上述大溫區段有所區別。

圖2 間隙表示圖

以間隙1（小溫區5 與小溫區6 之間間隙）為例，間隙左邊為小溫區5 的溫度1750C，間隙右邊為小溫區6 的溫度1950C，間隙兩側溫度不一，為更好的過渡該區域溫度，采用線性方程對間隙溫度進行描述，間隙中，用一次多項式插值：

其中， y =vt，已知焊接區域過間隙的時間t1，t2，代入方程：

可以解得參數a，b 的值，確定線性方程：

u (t )= avt +b 。

另外，大溫區 I1, I2, I3, I4,I5；小間隙 D1, D2, D3, D4,D5。間隙溫度確定后，其區域所帶有的熱量傳遞給焊接區域，可以代入方程求解：

此模型即為回焊爐對焊接區域的熱傳導模型。

4.2 模型的求解

（1）熱傳導方程的處理

上述建立的模型是一系列偏微分方程組，無法求得它們的解析解。所以此處考慮求得方程的數值解。此處偏微分方程組中控制方程的形式是拋物方程，邊界條件是線性的。所以對數值解的求解考慮采用有限差分法。

時間方向作向前差分，步長△t, 空間方向中心差分，步長△x。

其中，M表示傳送帶過爐最長時間，N 表示電路板焊接區域厚度。

由差分方程組可知

圖3 向前差分格式

對微分方程作向前差分格式后，整理得:

上述迭代式表示為差分格式的矩陣：

對上述矩陣以及邊界條件求解即可得到離散后的所有時間- 空間節點上對應的溫度值。由此即可求得一維熱傳導方程組的數值解。

（2）參數的計算

（3）爐溫曲線模型的校對

根據附件所給某次實驗中爐溫曲線的數據，對數據進行可視化處理后，初步觀察發現，預熱區溫度為焊接區域中心溫度至1500C；為防止焊接區域熔化，恒溫區溫度大致穩定在1500C-1700C；回流區的溫度會在到達2170C 后繼續上升一段時間至溫度峰值；溫度一旦達到峰值，立即進入冷卻區，溫度最終降至1000C 左右[2]。將反演得到的參數帶入差分方程中，可以得到速度為78cm/min 時的溫度情況，與實際值進行對比，得到如圖4 所示的爐溫曲線對比圖。由于理論值溫度開始的時間為0s，所以在誤差允許的范圍內，該模型能夠較好地反映原始數據的溫度走勢，與實際真實數據較為接近，收斂性較好。差分的求解在峰值溫度附近出現與實際值較大的波動，原因是傳溫過程僅存在熱傳導而不存在熱對流。但這在實際情況中是不存在的，橫向空氣間溫差的存在一定會產生對流，也就是說最后的冷卻區溫度不可能保持在25?C，而模型中將其當做5 的250C處理顯然會在最后的冷卻階段產生較大的誤差。

圖4 過爐速度70cm/min 爐溫曲線實際與理論對比圖

4.3 結果分析

將從附件中計算得到的參數值帶入差分方程中，根據Fourier 熱傳導定律并結合電子板在經過各個小溫區的初始時刻、溫區之間間隔以及回焊爐的邊界熱量交換過程，采用有限差分法正向求得78cm/min 情況下的爐溫曲線。

在問題1 設定的過爐速度以及小溫區溫度值下，畫出的爐溫曲線走勢基本與實際爐溫曲線符合，焊接區域中心基本平緩升溫，在達到峰值后冷卻。由此得到題目指定焊接區域所在溫區位置點的溫度（表1）。

表1 小溫區3、6、7 中點、8 結束處的焊接區域中心溫度結果

根據上述爐溫曲線求出每隔0.5 s 焊接區域中心的溫度部分結果（表2）。

表2 過爐速度78cm/min 每隔0.5s 焊接區域中心的溫度（部分）

5 問題模型的建立與求解

5.1 模型的優點

5.1.1 用線性方式處理間隙溫度，更好地模擬回焊爐內工作溫區溫度變化。

5.1.2 運用熱傳導模型能夠很好地解釋回焊爐傳熱原理，能夠從機理分析的角度充分反映各小溫區設定溫度是如何影響焊接區域中心溫度的。

5.2 模型的缺點

5.2.1 忽略回焊爐內空氣橫向對流和維持一定溫度耗損能量，簡化熱量來源。

5.2.2 在運用有限差分時，遍歷步長選擇0.01，雖然足夠接近真實值，但與真實值之間仍存在差距。在誤差分析中，嘗試選擇不同步長以檢驗模型準確性，雖然能基本解釋步長對模型的影響，但是對于步長求解精度需要進一步分析研究。

5.3 模型的改進

5.3.1 在模型求解過程中對于偏微分方程的處理，選擇向前差分格式對傳熱過程進行描述，一定程度上能夠反映其中的機理，但對于精度更高要求的熱傳導模型，可能存在更好的方式如中間差分法、迭代法能夠更加準確地描述這一過程。

5.3.2 在模型的擬合過程中，從擬合結果來看，前半段的擬合較為貼合實際，后半段的擬合的誤差較大，這是因為焊接區域在傳送帶的最后階段接觸到的是空氣，存在熱量交換，所以要得到更加精確的結果，應該對邊界溫度作出更高的要求，即考慮空氣與焊接區域的熱量交換情況。