基于漸開線展成原理的刮齒刀數學模型與三維實體建模

王遠慶

（長安大學工程機械學院，陜西 西安 710016）

0 引言

強力刮齒技術從提出開始，便廣泛吸引了齒輪加工行業的重視， 國內外學者也為強力刮齒技術的突破進行著不斷地努力， 西安交通大學金精等從事車齒法的研究工作，分述了車齒的工作原理是基于螺旋齒輪嚙合原理，著有車齒法一書[1-2]；毛世民認為車齒齒輪齒面是車齒刀刀刃曲線雙自由度包絡形成的[3]；陳新春、李佳等從齒面形成出發，研究剮齒過程，切削刃上各點處切削速度的變化情況，從而明確切屑的形成過程[4-6]；Guo 等對車齒加工方法進行了深入研究， 根據空間交錯軸齒輪副嚙合原理對加工直齒輪的斜齒車齒刀切削刃進行了計算， 并對車齒刀的結構進行了設計[7-8]；Chung-Yu 提出了一個基于共軛表面重磨刮齒刀的方法[9]；Tsukasa 等提出了一種用于內齒輪刮削的切削刃連續變化工作的評價方法[10]；Fumihiro 等研究了刮齒刀尺寸對切削負荷的影響， 發現可以通過調節前刀面和設定后角來減小切削負荷[11]。

由國內外研究現狀可知，目前對強力刮齒研究主要集中在刮齒刀具的設計上，在加工時，強力刮齒刀和被加工齒輪屬于空間交錯軸齒輪副嚙合運動， 考慮到加工所必需的條件，如必要的前角、后角及刀具刃磨等因素，刀具表面輪廓實際上為空間螺旋面，刀具結構十分復雜，因此如何設計出一款合理的強力刮齒刀， 是一個十分具有挑戰的研究方向。 因此， 本文提出一種強力刮齒刀設計方法，并建立相應的刀具齒面數學模式，并對所提出的數學模型進行數值求解和三維實體建模。

1 刮齒加工原理

刮齒加工和傳統滾齒、插齒加工方式不同，在加工過程中，刮齒刀具既相當于滾齒刀，又相當于插齒刀，如圖1所示，分別為刮齒刀加工內、外齒輪的原理示意圖，刀具和工件按照一定比例做對滾運動產成工件端面漸開線齒廓；同時，刀具還有沿著工件軸向的進給運動，從而加工出整個工件， 這種加工方式結合了滾齒和插齒加工的特性， 使得加工效率得到很大的提高， 特別是對于無退刀槽、結構復雜的內齒輪加工，刮齒加工的優勢十分明顯。

圖1 刮齒加工原理示意圖

由加工原理可知， 刮齒加工時有兩個加工自由度，工件和刀具的角速度不再是簡單的齒數比， 且有：ω1=(z2/z1)ω2-fa/p, 其中，ω1為工件角速度，ω2為刮齒刀角速度，z1為工件齒數，z2為刮齒刀齒數，fa為刮齒刀沿著工件軸向的進給速度，p 為工件螺旋參數。

2 齒面方程

圖2 所示，為刮齒刀結構示意圖，刮齒刀主要由前刀面、后刀面和切削刃等組成，前刀面與后刀面相交可得到切削刃。 為了保證加工時切屑可以順利排出且不發生干涉，刮齒刀具需要沿著軸線方向進行連續變位，從而形成后角，如圖3 所示，ζ 為刮齒刀端面齒廓位置參數，變位系數xlt從刀具前端面（ζ0處）沿著自身軸線方向逐漸減小，且有

其中，x0t為最大變位系數，α0為刀具頂刃后角，mn為模數，ζ 的取值范圍為0~B（B 為刀具齒寬）。

圖2 刀具結構示意圖

圖3 變位齒廓示意圖

在不同軸向位置處，刀具齒廓可由式（2）、（3）給出，其中，Ra為漸開線齒廓的齊次坐標表示，rbt為刀具基圓半徑，u 為漸開線參數，η 為對應不同變位系數的轉角，zt為刀具齒數，βt為螺旋角，αtt為端面壓力角，±號分別對應左右兩側漸開線齒廓，坐標原點oa在刀具軸線上。

將端面漸開線齒廓Ra沿著軸向經過螺旋變換， 可得到刀具齒面上任意一點的齊次坐標Rf，二者滿足

其中，Mh為轉換矩陣，θ=2πζi/Lt，Lt 為刀具的螺旋導程。

為了求解切削刃，需要對前刀面進行定義，由空間幾何原理可知，刀具前刀面可由面上一點（參考點m）和前刀面法矢唯一確定，參考點m 的位矢rm和前刀面法矢nm由式（6）給出，其中，γ 為刀具前角。

聯立前刀面和刀具齒面，求解方程組(8)可解得指定參考位置處的切削刃，方程組（8）中第一個等式為平面法向量約束，第二個等式為齒面上一點到軸線的距離約束，其中，xf、yf、zf分別為Rf的前三個分量，xm、ym、zm分別為前刀面參考點m 的三個坐標分量。

3 網格劃分和逆向建模

在第2 節中， 推導得到了刀具齒面方程和切削刃方程， 并且知道刀具齒面和切削刃均是雙參數u 和ζ 的函數，為了對刀具齒面進行數值求解，需要對刀具齒面進行網格劃分，如圖4 所示，為刀具齒面的旋轉投影面，橫坐標hl 為漸開線的位置參數， 縱坐標vl 為齒面上任意一點到刀具軸線的距離， 在MATLAB 中使用fsolve 函數求解非線性約束方程組（9），則可得到對應數值解。

圖4 齒面網格劃分

表1 為刮齒刀基本參數， 代入求解得到齒面網格圖和切削刃如圖5 所示。

表1 刮齒刀基本參數

圖5 刮齒刀齒面網格圖

CATIA 是法國達索系統公司的CAD/CAE/CAM 一體化軟件,在CAD/CAE/CAM 領域中處于領導地位，廣泛應用于航空航天、汽車制造、造船、機械制造、電子、電器、消費品行業和通用機械制造，主要有“創成式曲面設計”“數字化外形編輯器”“快速曲面重建”和“逆向工程實例”等功能模塊。逆向建模具體步驟如下：

1）利用軟件MATLAB 編寫齒面方程程序，生成齒輪離散點云，此步驟在第3 節程序中實現；

2）將齒面離散點云導入到CATIA 中，如圖6 所示，為導入后的點云數據，通過‘Freestyle’或者‘Quick Surface Reconstruction’等模塊擬合出單齒模型；

3）根據齒輪副的參數，通過旋轉、拉伸等操作建立齒坯模型，最后通過陣列操作，得到全齒模型如圖7 所示。

圖6 齒面點云

圖7 三維模型

4 結論

1） 本文提出了一種強力刮齒刀齒面數學模型， 并詳細推導了齒面方程和切削刃方程；

2） 在刀具的旋轉投影面上對齒面進行了網格劃分，并給出了求解齒面網格點的約束方程，實現了刮齒刀齒面的數值求解；

3） 結合CATIA 三維造型軟件，實現了刮齒刀具的逆向建模，得到了符合設計要求的刀具模型。