基于三階蛇形機動模型的跟蹤算法分析研究*

邱曉波，許乾坤，單東升

（1.陸軍裝甲兵學院兵器與控制系，北京 100072；2 解放軍66133 部隊，北京 100144）

0 引言

運動模型是地面裝甲車輛火控系統解命中問題中的重要理論基礎，隨著未來信息化戰爭的不斷發展，以及在未來戰場上多樣式的任務需求而迫切需要對其進一步深入研究［1］。當前，singer 模型［2］、Jerk 模型［3］、當前統計模型［4］、交互多模型及其改進模型［5-8］大都得到了迅猛發展和廣泛應用，它們在單方向數據處理上有一定精度，但對于蛇形運動來說，其精度和適用性還存在不足。文獻［9］中以角度為觀測值，通過加權誤差獲得的活化函數，實現對當前統計模型參數的調節，實現了對目標轉彎機動的位置跟蹤，但角速度和角加速度的估計精度還需要進一步提高。文獻［10］建立了雙層交互多模型，內層為當前統計模型和勻速模型組合，外層為轉彎模型，該模型雖然相對于一般交互多模型的精度有所提高，但需要平衡轉彎速率變化和濾波角速度偏差之間的關系。文獻［11-12］通過交互多模型構建多種特征向量，并利用神經網絡實時估計平均轉彎率，在一定程度上提高了穩定精度。當前圓周模型通過引入加速度的概念，建立了二階圓周模型［13］，本文在其基礎上，通過引入加加速度的概念提出了三階圓周模型，并在蛇形機動轉換點處設計了基于轉換因子的新息數據閾值檢測算法和基于新息數據的假設檢驗算法，有效提高了轉換點處的收斂速度和濾波精度。

1 蛇型運動假設與分析

在真實戰場上，目標為了躲避炮彈，常常會急加速、急減速以及做轉彎機動，給命中目標增加難度。當目標做蛇型機動時，按照現行解命中方法解算，命中概率會大幅降低。在加上射手的心理影響，跟蹤精度會下降，留給模型的誤差閾量更小，使命中難度進一步加大。建立蛇型運動軌跡如圖1 所示。

圖1 假定蛇形運動軌跡圖

根據勻速圓周運動規律，設其線速度為v，角速度為ω，運動周期為T，跟蹤時間為t，α 為雙圓圓心連線與x 軸的夾角（0≤α≤π），目標從原點O 逆時針出發做蛇型運動。列出目標在x 軸上的速度和加速度公式如下：

2 二階圓周模型離散化分析

由于蛇型運動模型是在圓周模型上的進一步發展，因此，蛇型運動模型的離散狀態方程推導是在圓周模型的基礎上進行的。本文首先分析逆時針圓周模型。

根據圓周模型物理運動規律，可得出其幾何關系式：

式中，ω 表示圓周運動的角速度，列出狀態方程可得：

進行離散化可得：

同理可得順時針圓周模型。

3 三階圓周模型離散化分析

常規二階圓周模型在卡爾曼濾波狀態中只涉及到位置和速度，不涉及加速度，如果僅僅按照對速度求導的方式進行求解加速度，會使得加速度數據引入噪聲，產生波動。為此，本章在二階圓周模型的基礎上引入了加加速度概念，從原理上對圓周運動加加速度進行了推導與論證。

圖2 加加速度分析圖

如圖2 所示，設A 點為t 時刻目標位置，B 為△t 時間后位置，R 為半徑，弦長AB 為l，va為A 點切向速度，vb為B 點切向速度，aa為A 點加速度，ab為B 點加速度，a 為圓周運動標量加速度，v 為圓周運動標量速度，ω 為角速度，σ 為AB 兩點加速度之間夾角。將B 點矢量加速度平移到圖中虛線位置，使其起始端與A 點重合，故存在以下矢量關系：

進行離散化可得：

同理可得逆時針圓周模型。

4 基于三階蛇形機動模型的轉換檢測算法設計

4.1 基于轉換因子的新息數據閾值檢測算法

在典型算法中，卡爾曼濾波算法中狀態參數矩陣A 是固定的，當目標機動狀態和運動模型不相符時，連續使用該狀態矩陣進行實時解算，會使誤差迭代擴大。為了解決此問題，需找到目標機動的轉換點，及時對狀態參數進行更新，以提高適應性，為此，本文提出了基于轉換因子的新息數據閾值檢測算法。在實時解算過程中，當新息值ρ 大于機動目標檢測閾值σmin時，就會進行模型轉化。轉化因子公式如下：

矩陣A 更新公式如下：

其中，（i，j） 的取值分別為（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（4，1）和（4，2）。

當新息值超出閾值時，順逆時針狀態參數矩陣會進行轉換，實現蛇型機動模型反向切換。閾值設置過大，會使局部偏差增大和偏差持續時間延長，設置過小，會使虛警率提高，為此需要找到一個平衡值。隨著目標狀態參數的迭代，從目標真實機動狀態轉變到閾值突破點，再到自適應尋優結束，該段時間內會在轉換點附近產生一段誤差。通過改變閾值的大小，本質就是對濾波值實時性和準確性的折中處理，所以該方法具有一定的局限性。

4.2 基于新息數據的假設檢驗算法

若要破解或者進一步優化解決實時性和準確性這一難題，需要從方法層面進行優化，在保證實時性的基礎上提高準確性。針對該問題，在三階算法的基礎上，提出了基于新息數據的假設檢驗算法。

在仿真實驗中，假設自動跟蹤抖動誤差符合正態分布，其他系統誤差也符合正態分布，總體誤差也是符合正態分布的，因此，新息也是符合正態分布規律的，可以以此為突破點，利用假設檢驗的方式，對機動狀態進行快速檢測。其中，假設檢驗的顯著性水平為α，時間窗口為n。H0：機動模型沒有發生改變；H1：機動模型發生了改變。

上述檢驗問題的拒絕域為：

其中，s2是σ2的無偏估計，當H0 成立時，s2與σ2的比值一般在1 附近波動，不會遠大于1 或遠小于1。

5 仿真結果與分析

在仿真實驗中，本文認為模型跟蹤誤差為零，即認為觀察軌跡為真實軌跡，假設某機動目標按照圖1 所示的軌跡進行炮彈規避運動，線速度為v=10 m/s，角速度ω=0.05πrad/s，運動周期T=80 s，炮彈出膛時間為t，雙圓圓心連線與x 軸的夾角α 為45°（0≤α≤π），目標從原點O 逆時針出發做蛇型運動。

圖3 x 向位置誤差對比圖1

圖4 x 向速度誤差對比圖2

圖5 x 向加速度誤差對比圖3

通過對比仿真分析，結果表明，基于三維圓周模型的卡爾曼濾波算法，優于基于二維圓周模型的卡爾曼濾波算法，基于新息數據的假設檢驗檢測算法，優于基于轉換因子的新息數據閾值檢測算法。從結果分析，改進算法精度更高，能為戰車戰斗力提升提供更多理論支撐，具有一定的實用價值。

6 結論

針對水平橫向單方向參數的局限性，提出了加入水平縱向狀態參數信息，形成雙向參數交互方案，進一步提高濾波精度和目標狀態間斷點的自適應性。在當前已有的二階圓周模型的基礎上，通過引入加加速度的概念，創新性地推導出了三維圓周模型，有效提高全程的濾波精度。針對蛇形機動換向問題，在基于三階圓周模型的卡爾曼濾波的基礎上，提出了基于轉換因子的新息數據閾值檢測算法和基于新息數據的假設檢驗檢測算法，提高了狀態間斷點處的檢測，即蛇形機動模型轉換處的檢測靈敏性，并在一定程度上相對提高了收斂速度。

表1 算法誤差標準差值對比表