基于時域分析法的黏滯阻尼器消能減震結構設計與分析

孫寧樂 關 群

（合肥工業大學土木與水利工程學院，合肥230009）

0 引 言

實際地震作用是水平和豎直的多維振動，其對建筑物的破壞較單向水平振動對建筑物的破壞更為嚴重［1］。《建筑抗震設計規范》［2］中，對框架結構的抗震驗算主要沿主軸方向，但是由于實際設計要求和隨機因素的影響，實際結構各層的質量中心與剛度中心不重合，實際地震作用的方向與主軸也不重合。因此在雙向水平地震下，結構的振動表現為平移和扭轉的形式，加速結構抗震性能退化和破壞［3］。消能減震結構是給結構層間、節點等位置設置了消能器的結構，黏滯阻尼器為結構提供附加阻尼，在地震發生時就能發揮減震作用，減小發生共振時的振幅峰值，對結構構件的二次損傷小，被廣泛運用在消能減震結構上。但是由于建筑結構布局和功能的要求，阻尼器難以均勻布置［4］，規范［2］給出在不同阻尼比下的反應譜曲線，并考慮等效附加阻尼比的反應譜，進而計算結構的地震響應［5］。因此，附加阻尼參數的確定是消能減震結構設計的關鍵。

在阻尼器選擇方面，國巍等［7］對比了三類阻尼器對結構抗倒塌性能的控制效果，認為速度型黏滯阻尼器控制效果最優，位移型摩擦阻尼器和防屈曲支撐次之。基于時程分析，丁永君等［6］使用層間模型，推薦了能量比法和平均減震系數法。從能量的角度作為減震效果量化的指標，其精度很高但是計算不便。從工程實際的角度出發，結構的質量中心和剛度中心不重合，實際結構的節點破壞特征比較復雜，以簡化的串聯鋼片模型進行結構動力分析，用位移、速度等易于測量和計算的指標進行減震設計更為準確、方便。

本文將黏滯阻尼器消能減震結構簡化為串聯鋼片體系，在線彈性階段將簡化的地震分析模型視為控制系統，結合狀態空間法，根據傳遞函數模型和狀態空間控制模型相互轉化的原理，對黏滯阻尼器消能減震結構進行時域分析，確定附加阻尼的最優參數，對其進行減震設計。

1 結構控制系統的建立

在雙向水平地震下，結構的振動一般表現為兩個方向的水平位移和一個水平轉動位移。本文將實際結構簡化為串聯鋼片體系。附加阻尼器結構振動分析計算模型如圖1所示，各層質量為mi，轉動慣量Ji，以各層質心為坐標原點，各層水平位移分別為xi、yi，各層轉角為θi。第i層質心坐標為xci、yci。第i 層 剛 心坐標為xmi、ymi。第i 層 質心與剛心沿x、y 方向的距離分別為exi、eyi，第i 層與第i+1 層之間的質量中心距離分別為。ai、bi為第i層樓板的等效長寬。黏滯阻尼器的計算模型采用線性模型，其表達式為

式中：fa為附加阻尼力；ca為阻尼系數；x?為阻尼器運動的速度。

根據結構動力學原理，附加阻尼器結構的運動微分方程為

對于質心和剛心不重合的結構，其中，

式中：Kxx、Kyy分別表示結構在x、y方向上的平動剛度，Kxθ、Kyθ分別表示結構在x、y 方向的平扭剛度；Kθθ為結構的扭轉剛度矩陣。

本文將黏滯阻尼器消能減震結構視為一個控制系統。如圖2 所示，將地震波視為干擾信號輸入，各層產生位移、速度和加速度為輸出響應，阻尼器提供的附加阻尼對輸入信號響應的影響，可視為對系統的反饋控制，所以由結構和附加阻尼器組成的結構控制系統是一個閉環控制系統。

圖1 計算模型Fig.1 Calculation model

圖2 結構控制系統Fig.2 Control system of the structure

結構運動微分方程一般采用Wilson-θ 法、Newmark-β 法、中心差分法、振型疊加法等方法進行求解，求解過程中通常需要解決高階線性方程組數值解不收斂于精確解的問題。運用狀態空間理論，可以將結構運動微分方程轉化為時域一階微分方程組，該方法具有無條件穩定和精度高的特點。狀態空間模型是以時域分析為主的數學模型，反映了控制系統內部狀態和內部聯系，揭示了系統內部狀態和外部輸入和輸出變量的聯系，對于多輸入與輸出，狀態空間模型具有表達直觀的優勢［8］。對于線性系統，傳遞函數模型以拉普拉斯變換為基礎，在基于參數對系統進行調節等方面具有明顯優勢［9］。傳遞函數和狀態空間是一個問題的兩種表達形式，因此可以運用傳遞函數模型的參數控制思想對狀態空間模型構成的控制系統進行控制和調節。結構輸出響應包含位移、速度和加速度等多個參數，所以結構控制系統中M、C、K 模塊應采用具有多輸入、多輸出特性的狀態空間模型進行建模，M、C、K 模塊亦可視為反映原結構特性的前向傳遞函數。其狀態空間模型的數學表達式為

式中：x、y、u 分別表示狀態向量、輸出向量和輸入向量；A、B、C、D 分別表示狀態矩陣、控制矩陣、輸出矩陣和聯系矩陣。

E、0分別表示n×n維單位矩陣和零矩陣。當原結構構件產生相對位移時，黏滯阻尼器提供一定的附加阻尼Ca，Ca模塊在結構控制系統可視為反饋傳遞函數，起到控制狀態的作用。因此狀態矩陣A在考慮Ca模塊應為

矩陣分離后得到Ca模塊的控制矩陣，即M、C、K模塊的反饋矩陣為

2 控制系統的時域分析

運用狀態空間法所建立的結構控制系統，是基于結構動力分析模型的運動微分方程轉化為狀態方程所建立的。以振型疊加法為基礎，振型為坐標基，就可以得到一組非耦連的多自由度體系運動方程，模態坐標X(t)是一種廣義的唯一坐標，與自然坐標x(t)之間的關系為

在時間域內研究控制系統在一定輸入信號的作用下，其輸出信號隨時間的變化稱為系統的時域分析。控制系統的時域分析以拉普拉斯變換為工具，從傳遞函數出發，建立在系統輸入信號的基礎上，在輸入信號的作用下得到系統的各項性能指標。單位階躍信號在物理上比較容易實現，可以使系統既能有明顯的瞬態反應和穩態反應，同時相對于其他多數信號，階躍信號對結構往往是最不利情況。本文建立的控制系統實際輸入信號是地震波，具有突變性質，因此本文在系統試驗階段選用單位階躍信號來評價系統的瞬態和穩態特性，測定系統的性能指標典型的單位階躍響應信號如圖3所示。

欠阻尼（0<ξ<1）系統屬于標準二階系統，其單位階躍響應表達式為

圖3 典型單位階躍響應Fig.3 Typical unit step response

ωn為固有頻率。通過采集二階系統單位階躍響應曲線圖上相隔p 個周期的波峰值，利用式（8）由階躍響應曲線對數衰減率計算各層阻尼比ξxi、ξyi。

3 結構減震設計

由動力學原理可知，在原結構抗側剛度一定的情況下，附加阻尼不僅可以使結構在地震作用的瞬間吸收地震能量，降低結構的固有頻率，減小發生共振時的振幅大小，同時對于某些存在疲勞破壞風險的結構來說，附加阻尼會起到增加疲勞壽命的作用。附加阻尼過多會使結構產生動剛度同時也會造成經濟浪費。本控制系統對外界激勵的響應要達到及時、穩定的效果，需要使附加阻尼后的每個樓層都達到臨界阻尼狀態。

根據自然坐標和模態坐標之間的關系，將每個樓層的單位階躍響應視為獨立的二階欠阻尼系統的響應，根據每條響應曲線圖中相隔p 個周期的振動峰值，計算出每層樓被視為獨立二階系統響應分析時的阻尼比。附加阻尼后的每個樓層基于單位階躍響應分析時的附加阻尼比的計算式為

根據阻尼比和阻尼系數的關系可以得到：

Ca(xx)、Ca(yy)，分別表示結構在x、y 方向上附加阻尼。Ca(xθ)、Ca(yθ)分別表示結構在x、y 方向上的平扭附加阻尼。

從線性變換的角度，實際結構附加阻尼矩陣Ca和基于獨立二階系統響應分析時所需附加的阻尼矩陣Ca若要產生一致的效果，則矩陣Ca要相似于對角陣C'a，由此關系可解出矩陣Ca中的每個附加阻尼系數ca(i)，進而確定各層結構所需附加阻尼系數值。

根據以上方法確定的黏滯阻尼器參數對結構進行動力分析，檢驗是否可以達到對輸入或產生的擾動能快速穩定的結構減震設計目標。

4 計算實例

4.1 基本參數

某6 層鋼筋混凝土建筑物，層高均為3.3 m，抗震設防為八度。xm、ym分別表示結構的質量中心坐標。第1 至5 層的集中質量為7.10×105kg，x向側向剛度為50×107N∕m，y 向側向剛度為45×107N∕m，質量中心坐標為（5.1，5.1），轉動慣量為1.1×108kg·m2。第6層集中質量為6.0×104kg，質量中心坐標（7.55，7.45），轉動慣量為1.0×106kg·m2，x向側向剛度為11×107N∕m，y 向側向剛度為10×107N∕m。原結構的一階阻尼比為ξ1=0.05。采用本文的減震設計方法，為該結構選定設置在每一層的黏滯阻尼器的附加阻尼值。輸入地震波為雙向Elcentro波，峰值加速度為0.2 g。

4.2 附加阻尼系數計算

首先，由工況數據計算結構的質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣，并建立結構控制系統。然后向該控制系統輸入x方向和y方向的單位階躍信號，計算得到各樓層的和阻尼比ξxi、ξyi和附加阻尼比，并由式（10）計算得到各樓層所需附加的阻尼系數，如表1、表2所示。

表1 x方向各層 參數計算表Table 1 Calculation table for parameterof each layer in the x direction

表1 x方向各層 參數計算表Table 1 Calculation table for parameterof each layer in the x direction

表2 y方向各層參數計算表Table 2 Calculation table for parameterof each layer in the y direction

表2 y方向各層參數計算表Table 2 Calculation table for parameterof each layer in the y direction

由表1-2 的計算結果以及矩陣Ca和對角陣相似關系，得到各樓層x、y 方向附加阻尼系數cax(i)、cay(i)，如表3所示。

表3 x、y方向各層所需附加的阻尼系數表Table 3 Table for added damping of each layer in need

4.3 結構減震設計分析和結果

圖4 和圖5 分別表示算例在未附加阻尼和附加阻尼后的兩種情況下，在輸入單位階躍信號后各層結構x 向的相對位移隨時間變化的趨勢。圖6 和圖7 分別表示算例在未附加阻尼和附加阻尼后的兩種情況下，在輸入單位階躍信號后各層結構y 向的相對位移隨時間變化的趨勢。從曲線圖中可以看出，在附加阻尼后，不僅消除了結構的自振響應，而且由結構自振引起的振動響應部分在附加阻尼后迅速達到臨界穩定狀態。

圖8 為算例結構第6 層在未附加阻尼和附加阻尼的情況下輸入雙向地震波后的位移響應曲線。從響應曲線中可以看到結構頂層的位移大幅度減少，兩種情況下x 方向上的最大位移分別為13.41 mm、4.12 mm，y 方向上的最大位移分別為14.97 mm、1.34 mm。

圖4 原系統x向的單位階躍響應曲線圖Fig.4 Unit step response curves of the original system of the structure in the x direction

圖5 附加阻尼后的x向單位階躍響應信號曲線圖Fig.5 Unit step response curves of the condition of adding damping later in the x direction

圖6 原系統y向的單位階躍響應信號曲線圖Fig.6 Unit step response curves of the original system of the structure in the y direction

圖9 和圖10分別為算例結構頂層在未附加阻尼和附加阻尼情況下，輸入雙向地震波后結構各層的轉動位移與時間的關系曲線圖。以頂層為例，在8 度罕遇地震作用下，原系統結構的最大轉動位移為1.423×10-5rad，附加阻尼后的系統結構的最大轉動位移為9.873×10-7rad，附加阻尼后的結構轉動位移的峰值大幅減小。同時對比兩張曲線圖可以得出，附加阻尼后結構的振動頻繁程度大大降低。通過本文的設計方法得到的阻尼參數，可以使結構的轉動位移迅速減小，充分發揮阻尼體系的抗震作用。

圖7 附加阻尼后的y單位階躍響應信號曲線圖Fig.7 Unit step response curves of the condition of adding damping later in the y direction

圖8 結構頂層位移-時間圖Fig.8 Displacement x∕y-time t of top layer of structure

圖9 原系統結構轉動位移時程曲線圖Fig.9 The rotational displacement time history curves of the original system

5 結 論

圖10 附加阻尼后系統結構轉動位移時程曲線圖Fig.10 Time-history curves of rotational displacement of system structure after additional damping

本文針對實際結構剛度中心和質量中心不重合的情況，把結構簡化為串聯鋼片體系，在多維地震下，將簡化的地震分析模型視為控制系統，對其進行減震設計，確定附加阻尼參數的最優設置。得出結論如下：

（1）將結構轉化為控制系統，利用狀態空間法進行時域分析。在構建結構的總體剛度矩陣時，不僅需要考慮兩個水平方向的平動剛度，而且還要考慮平扭剛度，才能夠對應得到附加阻尼矩陣的平動附加阻尼和扭轉附加阻尼。

（2）運用模態坐標與物理坐標的線性變換關系，基于物理坐標采用時域分析法設計的結構臨界阻尼體系可以讓各層動力響應迅速達到臨界阻尼狀態。

（3）運用本文的方法，計算得到的附加阻尼值可以準確快速地使各層結構達到臨界阻尼狀態，而且可以抑制結構自振產生的擾動，最大限度地優化結構的阻尼體系，對質量中心和剛度中心不重合結構的減震設計具有借鑒意義。