基于線性規劃建模的投資組合問題研究

周聞野 黃瀚元 徐邵陽

1.人大附中朝陽分校； 2.北京海淀外國語實驗學校； 3.橘郡美高

一、引言

投資理財是現代人增加收入的重要方式。在購買理財產品或者投資的過程中，需要投資人進行抉擇。在本金一致的前提下，不同的組合會帶來不同的收益。我們希望通過線性規劃的方式，以建模的思想嘗試預測投資組合中最優的投資組合選擇，以達到收益最大化的目的。

投資組合問題的優化建模已在文獻[1,2,3,4]中做過研究,可以看出純粹的線性規劃在簡單的金融投資問題時適合使用，而在建模多目標，投資項目間不獨立，或市場波動大的較復雜情況中需要進行特定變化。本文將研究線性規劃在單一目標，平穩的市場中的應用。

據調查統計，我國國民中已有許多家庭購買儲蓄理財及債權等投資產品，全國比例中少部分人選擇股票，極少數人選擇投資古玩、黃金等。可以看出，投資在國民中，尤其是較富有的國民中占有很重要的地位。我們認為，作為國民經濟生活的重要組成部分，投資組合以求利益最大化的主題是被長期關注與探討的。以符合現實的條件進行統籌規劃，并且獲得具有正確性的指導性投資建議是許多國民十分需要的。因此，研究投資組合的利益最大化具有重要的現實意義及應用價值。

二、問題描述

我們引用了9個國際上較為熱門的理財和投資項目，設定每個項目的投資金額百分比作為決策變量。出于現實中投資者對于平衡性的要求，我們考慮了項目方差、投資品類等因素，并對這些因素做出了限制。為了使模型具有可操作性，我們以一些假設限制了市場上可能出現的狀況。最終，我們的優化目標則是在以上條件下最大化年回報率。

這一模型中的數據均為真實信息，涉及到的可選項目、考慮因素及其約束均可以作為參數，就個人判斷作調整，因此該模型的框架具有可拓展性及現實意義，可以協助解決實際問題。

三、模型假設和符號聲明

（1）市場上只有9個投資項目。（1-9）

（2）所有投資項目沒有最小投資額度。

（3）過去十年的股票趨勢會持續到將來。

變量xi為投資項目i的資金量，以占總資金的百分比來計算。

四、模型建立和求解

（一）數據列表

平均年回報率項目方差地區投資品類投資金額（%）最大回撤（%）S&P MidCap 400 9.60 15.50 North America Equity X1 42.2 S&P 500 12.59 12.96 North America Equity X2 33.7 SPDR S&P 600 Small Cap 9.91 17.35 North America Equity X3 42.5 iShares 20+ Year Treasury Bond 9.58 15.11 North America Bond X4 15.7 SPDR Gold Trust 2.98 14.32 Global Commodity X5 12.5 Vanguard Real Estate 8.29 14.22 North America Real estate X6 42.2 iShares TIPS Bond 3.45 6.12 North America Bond X7 11.2 iShares JP Morgan USD Em Mkts Bd 5.17 8.33 Emerging Markets Bond X8 26.5 Vanguard Total World Stock 8.19 13.80 Developed markets Equity X9 34.2

＊該數據來自雅虎財經從2010.7.19到2020.7.17的每日股價

“最大回撤”指描述投資者可能面臨的最大虧損，衡量資產價格從最高值到最低值的跌幅。用來衡量股票風險。（如：股票最高值為1000，最低到過500，最大回撤為50%）

最大化目標為平均年回報率，其中我們做了以下限制：

每類資產至少投資百分之五；

每類資產至多投資百分之四十；

最大回撤小于百分之三十；

在北美的投資不能超過百分之七十；

投資金額不超出總金額。

（二）線性規劃模型

Maximize: 0.096X1 + 0.1259X2 + 0.0991X3 + 0.0958X4 +0.0298X5 + 0.0829X6 + 0.0345 X7+ 0.0517X8 +0.0819X9

S.t.

X1+x2+x3+x9>=0.05

x5>=0.05

x6>=0.05

X4+x7+x8>=0.05

X1+x2+x3+x9<=0.4

x5<=0.4

x6<=0.4

X4+x7+x8<=0.4

0.422X1+0.337X2+0.425X3+0.157X4+0.125X5+0.422X6+0.112X7+ 0.265X8+ 0.342X9<= 0.3

x1+x2+x3+x4+x6+x7 <= 0.7

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9 <=1

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 >= 0

標準形式

Minimize: -0.096X1 - 0.1259X2 - 0.0991X3 - 0.0958X4 -0.0298X5 - 0.0829X6 - 0.0345 X7- 0.0517X8 -0.0819X9

S.t.

-X1-x2-x3-x9<=-0.05

-x5<=-0.05

-x6<=-0.05

-X4-x7+-x8<=-0.05

X1+x2+x3+x9<=0.4

x5<=0.4

x6<=0.4

X4+x7+x8<=0.4

0.422X1+0.337X2+0.425X3+0.157X4+0.125X5+0.422X6+0.112X7+ 0.265X8+ 0.342X9<= 0.3

x1+x2+x3+x4+x6+x7 <= 0.7

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9 <=1

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 >= 0

（三）Python求解結果

使用python中的Linprog函數求解上線性規劃模型。Linprog包是python語言中Scipy優化算法包中利用單純形法解決線性規劃問題的函數。函數求解形如：

Min cTx

s.t.Ax <= b

Aeqx = Beq

L <=x<=u

的線性規劃問題，c,b,beq,l,u為向量，A為矩陣。算法使用的單純形法由1947年丹齊克提出，是一個通過從可行解集的一個頂點出發沿著函數值下降的方向移動的迭代算法，能保證求出最優解，得到:

投資金額（%）X1 1.09 x 10-10 X2 0.15 X3 1.19 x 10-10 X4 0.4 X5 0.05 X6 0.15

X7 5.27 x 10-11 X8 3.37 x 10-10 X9 0.25

因為0.15+0.4+0.05+0.15+0.25=1,可以認為X1,X3,X7,X9的投資數額為計算偏差，則最佳策略為：

百分之15總金投資S&P 500，百分之40資金投資iShares 20+Year Treasury Bond，百分之5資金投資SPDR Gold Trust，百分之15資金投資Vanguard Real Estate，百分之25資金投資Vanguard Total World Stock，最大年收益率為百分之9.16。

五、模型解釋

如上所述，項目1、3、7、8的結果可以作誤差考慮，直接忽略。而2、4、5、6、9則（取近似）分別以15%、40%、5%、15%、25%投入資金，即可在限制條件下取得最大回報率。

根據以上結果我們可以看出，在對品類、地區、安全性都有限制的情況下，模型得出1、3、7、8不可選。現實意義上，1、3明顯地具有較大的最大回撤（一日中最大的下降幅度），這意味著這兩項投資項目有較大的可能出現意外，故不可選。7的年回報率過小，不適宜用于最大化收益，故不可選。8與4同屬債券品類，但回報率與最大回撤均劣于4，故而4完全有理由占有絕大多數份額。

如果暫時拋開人為對投資品類做的最低要求，我們不難看出：總體上，總回報率更高，最大回撤更低的項目（大盤股、國債等）更值得多投入資金；反之，則不適合投資。這符合人們對市場的認識和生活經驗。

除以上結論之外，模型還給出了優化后的最大年收益率。此項數據必須由算得的比例進行投資得到，這是一般人僅靠經驗估測難以做到的，這意味著此模型對現實生活仍有特別的意義。并且，對個人資產的精準估計有利于對財產進行進一步精算，能夠進一步擴大財政收益。

該模型也具有一些明顯的不足。比如，我們在設定模型時所做的假設，例如未來的股票趨勢與過去十年相同，不一定符合現實。模型一定會涉及到對實際情況的簡化，如果需要在現實生活中使用，應盡量保證設定的假設符合實際，以提高預測的準確性。