經(jīng)典試題的答案真的錯(cuò)了嗎？
——兼論理想化模型的建立問題

文∣劉大明 江秀梅

輕彈簧是一個(gè)典型的理想化對(duì)象模型，屬于輕物模型之一。輕物模型的核心特征是忽略質(zhì)量，從而與質(zhì)量有關(guān)的其他屬性(如重力、動(dòng)能、動(dòng)量等)也一并忽略了。在實(shí)際教學(xué)中，大多數(shù)教師都忽視了輕物模型的建立過程，其根本原因在兩個(gè)方面: 已有的課程資源(如教材)缺乏物理模型思想；教師自身對(duì)物理模型的理解十分有限[1]。由于對(duì)理想化模型思維方法認(rèn)識(shí)有限，面對(duì)理想化模型時(shí)極容易產(chǎn)生困惑。《輕彈簧彈性勢(shì)能憑空消失的困惑引發(fā)的再反思——兼談?shì)p彈簧理想化模型的條件》[2]就一道經(jīng)典試題的科學(xué)性提出了質(zhì)疑，質(zhì)疑“忽略彈簧質(zhì)量”是一個(gè)不恰當(dāng)?shù)念}設(shè)條件，繼而否定了試題答案的正確性。實(shí)質(zhì)上，《條件》從彈性勢(shì)能憑空消失這一不符合科學(xué)事實(shí)的情景中否定了輕物模型的一個(gè)普遍特征。殊不知，《條件》正是對(duì)理想化模型存在認(rèn)知缺陷而產(chǎn)生了認(rèn)知困惑，最終對(duì)一道經(jīng)典試題做出了個(gè)人認(rèn)為不太適合的評(píng)價(jià)。本文繼續(xù)以該經(jīng)典試題點(diǎn)評(píng)分析為例，與《條件》作者和其他同仁一并探討理想化模型的建立問題，以期通過更為廣泛的討論交流，為學(xué)科核心素養(yǎng)落地生根添磚加瓦。

一、經(jīng)典試題經(jīng)典性點(diǎn)評(píng)分析

【題目】如圖1所示，一重物m懸掛在彈簧下，再用一細(xì)繩固定于天花板上，整個(gè)裝置靜止后，用火焰燒斷細(xì)繩，在繩斷開的瞬時(shí)，m的加速度為a，(忽略彈簧質(zhì)量和空氣阻力)則( )

圖1

A.a

B.a=g，方向向下

C.a>g，方向向下

D.a

【答案】B

此題常見的解法有兩種。

【解法1】由于輕彈簧質(zhì)量忽略，繩斷開瞬間，彈簧形變立即消失，彈力為零，所以重物只受重力作用，加速度為a=g，方向豎直向下。

【解法2】設(shè)輕彈簧上下兩端分別受力為F1、F2，根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)輕彈簧有F1-F2=m0a，由于輕彈簧的質(zhì)量m0=0，則F1=F2，即輕彈簧兩端的力總是相等。繩斷開瞬間，輕彈簧上端沒有物體，上端不受力，即F1=0，從而F2=0。再根據(jù)牛頓第三定律，重物也不受彈簧拉力，只受重力作用，故加速度為a=g，方向豎直向下。

【點(diǎn)評(píng)】?jī)煞N解法在本質(zhì)上是一樣的，都運(yùn)用了“忽略彈簧質(zhì)量”條件，即輕彈簧模型的特點(diǎn)；只不過解法1更直接一些，而解法2給出了基于輕彈簧模型的解模分析，充滿了科學(xué)推理的魅力。根據(jù)題設(shè)條件，推導(dǎo)相關(guān)結(jié)論，已經(jīng)成為一種習(xí)慣性的“解題”思維了。當(dāng)今物理高考試題，絕大多數(shù)都以“科學(xué)推理”素養(yǎng)為核心進(jìn)行考查，故而形成前述習(xí)慣性解題思維似乎無可厚非。但從科學(xué)探究和實(shí)踐運(yùn)用而言，對(duì)所推導(dǎo)的結(jié)論進(jìn)行反思、討論、驗(yàn)證，最終確認(rèn)假設(shè)條件的正確與否，是不可或缺的活動(dòng)環(huán)節(jié)。就此意義來說，僅有解題思維是無法推動(dòng)科學(xué)進(jìn)步的，甚至可能在實(shí)踐中犯下錯(cuò)誤。

為了后續(xù)討論方便，我們先提供一種非常規(guī)解法：

【解法3】繩斷開瞬間，對(duì)輕彈簧和重物組成系統(tǒng)運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，因?yàn)橄到y(tǒng)只受重力作用，所以質(zhì)心加速度為aC=g，方向豎直向下。由于輕彈簧質(zhì)量忽略不計(jì)，質(zhì)心就在重物上，所以a=aC=g，方向豎直向下。

【點(diǎn)評(píng)】解法3運(yùn)用了大學(xué)物理中的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，推理嚴(yán)密，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，非常具有說服力。對(duì)高中生而言，這一解法“超綱”了；但對(duì)于高中物理教師備課而言，充分體現(xiàn)了“站得高看得準(zhǔn)”的優(yōu)勢(shì)，也彰顯了“學(xué)生半桶水教師滿桶水”的專業(yè)要求。

二、經(jīng)典試題批判性點(diǎn)評(píng)分析

《條件》認(rèn)為解法1、解法2邏輯推理是嚴(yán)密的，是無懈可擊的。于是另辟蹊徑，試圖從能量角度對(duì)上述經(jīng)典試題進(jìn)行質(zhì)疑批判。

如是就得出了一個(gè)違背能量守恒定律的結(jié)論：彈性勢(shì)能憑空消失了。針對(duì)這個(gè)結(jié)論，《條件》提出了批判性解決辦法，認(rèn)為彈簧可視為輕彈簧模型必須滿足兩個(gè)條件：一是彈簧兩端都要連接物體；二是彈簧要發(fā)生彈性形變。繩子斷開瞬間，彈簧一端自由了，不滿足上面條件一，故不能視為輕彈簧，經(jīng)典試題題設(shè)“忽略彈簧質(zhì)量”是一個(gè)不恰當(dāng)?shù)臈l件。如以“重彈簧”模型來分析，就能克服彈性勢(shì)能憑空消失的問題。既然是重彈簧，質(zhì)量就不可忽略，慣性就不能忽略，彈簧也就不會(huì)立即恢復(fù)原狀，因此彈簧的彈性勢(shì)能就不會(huì)憑空消失。繼而，就重彈簧而言，彈簧上的力處處不相等，每個(gè)小環(huán)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不相同，繩斷瞬間，彈簧的質(zhì)心有所下移。運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，可知彈簧和重物的整體質(zhì)心aC=g。然而，對(duì)重物而言，繩斷瞬間，彈簧并沒有立即恢復(fù)原狀，重物受力還沒有發(fā)生改變，所以重物的加速度a=0。就此，說明高考試題存在科學(xué)性錯(cuò)誤。

但彈簧視為輕彈簧，必須滿足兩端約束嗎？?jī)啥思s束后存儲(chǔ)了彈性勢(shì)能，一旦一端自由，彈性勢(shì)能的去向如何呢？我們從三個(gè)角度來分析論證。

三、對(duì)批判性評(píng)析的再批判

《條件》對(duì)經(jīng)典試題提出的質(zhì)疑批判，存在兩處邏輯上的不足和缺憾。

(一)彈性勢(shì)能突然消失不等于憑空消失

《條件》認(rèn)為彈簧一端自由后，不管彈簧“質(zhì)量多小”，都不能視為輕彈簧，唯有如此才能打消彈簧立即恢復(fù)原狀，彈性勢(shì)能憑空消失的困惑。事實(shí)上，彈簧立即恢復(fù)原狀，只能說明彈性勢(shì)能立即消失，不能說明彈性勢(shì)能憑空消失。《條件》運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理分析了質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)情況，與此同時(shí)也必將說明彈簧與重物的整體動(dòng)能增加量是重力做功的結(jié)果，即等于整體重力勢(shì)能的減少量。那么，彈簧最終恢復(fù)原狀后，彈性勢(shì)能去哪里了？似乎依然“憑空消失”了！也就說，《條件》提出的彈性勢(shì)能憑空消失問題，作者只是疑惑，并沒有解決這個(gè)問題。

(二)彈簧的質(zhì)心不是彈簧與重物整體的質(zhì)心

《條件》在論證中混淆了彈簧的質(zhì)心和彈簧與重物整體的質(zhì)心。運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得出了整體質(zhì)心加速度aC=g，然后預(yù)設(shè)重物保持平衡結(jié)論的情況下，默認(rèn)彈簧的質(zhì)心加速度等于整體的質(zhì)心加速度。如此論證，屬于循環(huán)論證，不具說服力。與解法3比較可知，運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理恰恰說明“忽略彈簧質(zhì)量”是有意義的，也是恰當(dāng)?shù)模墙?jīng)典試題的關(guān)鍵性條件。

對(duì)推導(dǎo)結(jié)論進(jìn)行反思和討論，繼而對(duì)題設(shè)條件進(jìn)行批判質(zhì)疑是有意義的，但此思維活動(dòng)一定要建立在更嚴(yán)密的理論論證和更具說服力的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證基礎(chǔ)上。

四、實(shí)驗(yàn)理解輕彈簧模式

《條件》討論的是線性彈簧，于是我們僅就此類彈簧做了下列實(shí)驗(yàn)。

【實(shí)驗(yàn)一】固定彈簧一端，拉伸彈簧另一端至適當(dāng)長(zhǎng)度后釋放。使用硬彈簧做實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，彈簧迅速恢復(fù)原狀，并發(fā)出碰撞響聲；使用軟彈簧做實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，彈簧迅速恢復(fù)原狀，發(fā)出碰撞響聲外，自由端還出現(xiàn)“甩尾”般的搖晃擺動(dòng)現(xiàn)象。

實(shí)驗(yàn)一的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象說明：彈簧拉伸后自由釋放一端，彈簧恢復(fù)原狀過程中，彈性勢(shì)能在彈簧內(nèi)部碰撞中耗散了。也就是說，彈簧立即恢復(fù)原狀，彈性勢(shì)能并非憑空消失，而是耗散了。

【實(shí)驗(yàn)二】教師(體重70千克)站在體重計(jì)(家庭版，靈敏度不高)上，快速振動(dòng)手指，體重計(jì)的示數(shù)均沒有變化。

實(shí)驗(yàn)二的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象說明：從動(dòng)力學(xué)視角而言，手指相比整個(gè)身體質(zhì)量是可以忽略不計(jì)的，建構(gòu)輕物模型具有理論價(jià)值，也具有實(shí)踐意義。另外，振動(dòng)手指過程中的能量轉(zhuǎn)化并未影響動(dòng)力學(xué)結(jié)論。由此類比，在“彈簧質(zhì)量可以忽略”的前提下，彈性勢(shì)能的轉(zhuǎn)化未必會(huì)影響輕彈簧動(dòng)力學(xué)特征——輕彈簧兩端的力幾乎相等。

【實(shí)驗(yàn)三】實(shí)驗(yàn)器材：靈敏電子臺(tái)秤一個(gè)、固定了輕質(zhì)軟彈簧的重物(約320克)一個(gè)。實(shí)驗(yàn)組：如圖2，提起彈簧自由端，使得對(duì)臺(tái)秤的壓力為零，然后自由端釋放，發(fā)現(xiàn)臺(tái)秤數(shù)字立即增至320克左右(在增長(zhǎng)過程中，只能看到諸如16、180、318等非連續(xù)性示數(shù)，增長(zhǎng)時(shí)間不超過0.4秒)，自由端搖晃擺動(dòng)時(shí)，也是維持在320克左右(自由端搖晃停止時(shí)間超過2秒)；對(duì)照組：如圖3所示，提起重物，使得對(duì)臺(tái)秤的壓力為零后釋放，發(fā)現(xiàn)臺(tái)秤數(shù)字立即增至320克，數(shù)字增長(zhǎng)特點(diǎn)和時(shí)間與實(shí)驗(yàn)組幾乎相同。

圖2

圖3

設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)組，意在直接證明經(jīng)典試題的科學(xué)性——釋放彈簧自由端，若臺(tái)秤示數(shù)等于重物質(zhì)量，也就說明釋放彈簧自由端后，重物的加速度a=g。然而，在實(shí)驗(yàn)過程中，發(fā)現(xiàn)示數(shù)有一個(gè)增長(zhǎng)變化的過程，這個(gè)時(shí)間很短，但長(zhǎng)于視覺反應(yīng)時(shí)間。那么是什么因素導(dǎo)致示數(shù)有一個(gè)增長(zhǎng)過程而不是立即等于重物質(zhì)量？因此，為了排除因彈簧恢復(fù)原狀過程導(dǎo)致示數(shù)逐漸增長(zhǎng)，特設(shè)了對(duì)照組。對(duì)照組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：臺(tái)秤示數(shù)增長(zhǎng)應(yīng)該是臺(tái)秤自身“反應(yīng)”的結(jié)果，否定了彈簧恢復(fù)原狀過程對(duì)重物動(dòng)力學(xué)的影響。另外，彈簧搖晃擺動(dòng)過程中，重物對(duì)臺(tái)秤的壓力確實(shí)有影響，但是這個(gè)影響很小，可以忽略不計(jì)，這進(jìn)一步說明輕彈簧模型的實(shí)際意義。

上面幾個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果綜合說明：第一，彈性勢(shì)能并沒有憑空消失，也沒有傳遞給重物，而是立即耗散了；第二，從宏觀上的“瞬間”來看，輕彈簧模型的特點(diǎn)——兩端作用力總是大小相等——適用于一端自由一端束縛的情況。

五、理論論證及其意義

就題目中細(xì)繩燒斷瞬間，彈簧要恢復(fù)原狀。從宏觀實(shí)驗(yàn)來看，其恢復(fù)原狀時(shí)間可認(rèn)為是瞬間的；若從更高精度而言，彈簧恢復(fù)原狀這個(gè)過程總是需要時(shí)間的，如5毫秒。那么在輕彈簧恢復(fù)原狀過程中，自由端和束縛端的力總是相等嗎？或者說，輕彈簧恢復(fù)原狀過程中，彈簧對(duì)重物的作用力是突變的嗎？回答這個(gè)問題之前，還是先來分析“這是真的嗎？”(https://v.qq.com/x/page/x0766z4295a.html?)網(wǎng)絡(luò)視頻實(shí)驗(yàn)。

細(xì)繩直接懸掛彈簧(彈簧下端沒有固定物塊)，剪斷細(xì)繩后，觀察下端是否會(huì)有短暫的“懸浮”現(xiàn)象？實(shí)驗(yàn)結(jié)果是，不管使用質(zhì)量大的硬彈簧，還是質(zhì)量輕的軟彈簧，剪斷細(xì)繩后，彈簧都迅速恢復(fù)原狀并立即自由下落，肉眼基本無法觀察到彈簧恢復(fù)原狀的過程。然而，在高倍率攝像機(jī)的慢鏡頭下，兩者就有了顯著差別：對(duì)質(zhì)量重的硬彈簧，彈簧恢復(fù)原狀過程中，下端依然難以觀察到短暫“懸浮”現(xiàn)象；對(duì)于質(zhì)量輕的軟彈簧，下端觀察到短暫的“懸浮”現(xiàn)象。

在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，不管是質(zhì)量重的彈簧，還是質(zhì)量輕的彈簧，都不能視為“輕彈簧”模型，因?yàn)閼覓旌髲椈缮扉L(zhǎng)本身就是彈簧自身重力的作用。盡管如此，運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理分析這一實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象是有啟發(fā)意義的。細(xì)繩剪斷瞬間，運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，彈簧質(zhì)心加速度ac=g；再運(yùn)用微元法分析，可以推斷彈簧各處加速度具有如圖4所示特征。

圖4

根據(jù)圖4加速度特點(diǎn)，對(duì)于硬彈簧，懸掛后在自身重力的作用下形變量較小，剪斷細(xì)繩后，上端加速度很大，于是恢復(fù)原狀時(shí)間更短，以至于在高倍攝像機(jī)的慢鏡頭下都難以觀察這一過程，“只能”觀察到整個(gè)彈簧自由下落；而對(duì)于軟彈簧，形變量很大，剪斷細(xì)繩后，彈簧恢復(fù)原狀的過程足以在高倍攝像機(jī)的慢鏡頭下觀察到，又由于下端加速度較小，在短時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)位移較小，由于肉眼對(duì)快速運(yùn)動(dòng)部位更為敏感，于是“觀察”到軟彈簧下端“懸浮”的現(xiàn)象。

若在軟彈簧下端懸掛重物，形變量更大，上端自由釋放后，下端重物位置就是質(zhì)心位置，雖然其加速度ac=g(細(xì)繩剪斷瞬間，加速度特征如圖5所示)，但在彈簧恢復(fù)原狀時(shí)間內(nèi)，重物下落位移很小，而上端下落位移很大，于是在高倍攝像機(jī)的慢鏡頭下，依然能夠“觀察”到重物“懸浮”假象。教師之所以認(rèn)為重物“懸浮”是假象，是基于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的正確性做出的判斷。于是建議設(shè)計(jì)更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證，如在重物下端固定一個(gè)擋光板，運(yùn)用高分辨率的光電門等設(shè)備進(jìn)行監(jiān)測(cè)，以彌補(bǔ)肉眼視覺效應(yīng)之不足。

圖5

六、深度反思——理想模型的建立問題

細(xì)繩剪斷瞬間重物加速度到底是0還是g？其答案運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理分析似乎已有定論，但在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方面還有待進(jìn)一步改進(jìn)方案。盡管如此，回歸理想模型之建模意義上來，或許問題就簡(jiǎn)單許多。

物理模型最核心的思維方法是，忽略次要因素突出主要因素的簡(jiǎn)化方法。對(duì)原物的認(rèn)識(shí)和研究是十分復(fù)雜的，具有眾多的因素，哪些因素是主要因素，哪些因素又是次要因素呢？這取決于所要研究的問題。研究問題不同，這些因素的地位也就不同，在一個(gè)問題中原本為主要因素，在另一個(gè)問題中可能變?yōu)榇我蛩兀粗嗳弧？梢姡锢砟Ｐ筒皇窃锏娜浚菫榱四硞€(gè)特定問題的順利研究而純化了的理想模型[3]。

就題目而言，重物的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)是所要研究的問題，就此問題，彈簧本身的質(zhì)量并不是主要因素，而是次要因素，于是質(zhì)量可以忽略不計(jì)；對(duì)于彈簧彈性勢(shì)能變化問題，彈簧自身因素是主要因素，如彈簧的勁度系數(shù)、彈簧內(nèi)部之間的相互作用都不可忽略。在同一系統(tǒng)同一過程中，由于所關(guān)注的問題不同，各種因素的地位會(huì)有所變化。《條件》就把重物的動(dòng)力學(xué)問題和彈簧的彈性勢(shì)能問題合二為一，不加區(qū)分，從而導(dǎo)致思維障礙，并陷入循環(huán)論證的思維陷阱中。

另外，就同一問題，由于對(duì)所研究問題的程度要求不同，各種因素的地位也可能發(fā)生變化，從而需要建立不同的物理模型，如研究實(shí)際氣體，對(duì)壓強(qiáng)、溫度和體積等狀態(tài)參量的精度要求不同，建立的物理模型也就不同，若精度要求不高，選用理想氣體模型則可；若精度要求較高，則要選用范德瓦爾氣體模型。

就題目而言，彈簧一端自由后，彈簧恢復(fù)原狀時(shí)間極短，在“分辨率”無須太高的情況下視為“瞬間”完成無可厚非，從而運(yùn)用輕彈簧模型來分析得出的結(jié)論顯然符合實(shí)際情況(精度無須太高的實(shí)際或精度無法太高的實(shí)際要求)。

物理模型是現(xiàn)象與理論的中介，以解決問題為目的，以發(fā)展物理概念、演繹推理形成物理理論為歸宿。可見，物理模型是物理學(xué)家開展科學(xué)研究的普遍性思維方法，是科學(xué)知識(shí)發(fā)展的重要驅(qū)動(dòng)力。物理模型的價(jià)值對(duì)于物理學(xué)家而言是十分明確的，但物理學(xué)家的模型與學(xué)生理解的模型有所不同，但在本質(zhì)上沒有區(qū)別。也正因?yàn)槿绱耍ㄟ^模型的建構(gòu)教學(xué)可以幫助學(xué)生聚焦問題、建構(gòu)知識(shí)，在學(xué)科的范疇下進(jìn)行問題解決[4]。

七、結(jié)論與拓展

與題目相仿的還有如圖6情景，剪斷細(xì)繩瞬間，下端重物加速度等于0，這是毫無爭(zhēng)議的。在圖6情景中，上端有重物，彈簧上端加速度不會(huì)太大，彈簧不能瞬間恢復(fù)原狀；在圖1情景中，上端沒有重物，彈簧上端加速度很大，彈簧瞬間恢復(fù)原狀，下端重物加速度等于g。這兩種情景，因?yàn)閺椈少|(zhì)量較小均可以忽略，都可視為“輕彈簧”。網(wǎng)絡(luò)上有一個(gè)大型實(shí)驗(yàn)(https://v.qq.com/x/page/u08870qe2xj.html?)很好地驗(yàn)證了圖1、圖6兩情景中下端物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之不同，前者快，后者慢。

圖6

可見，輕彈簧模型既適用于兩端束縛情形，也適用于一端自由一端束縛情形。理想模型以實(shí)際問題為起點(diǎn)，以解決實(shí)際問題為歸宿，既能凸顯科學(xué)推理的思維魅力，又能展示實(shí)驗(yàn)論證的客觀形象。