基于直觀想象素養的數學項目活動研究
——以幾何旋轉體和星狀體為例

文∣盧韞 葉慧妍 徐斌艷

一、引言

我國《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出了數學學科的六大核心素養，其中直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。[1]

綜觀高中數學課程內容，立體幾何內容成為幫助學生逐步形成空間觀念，培養學生直觀想象素養的主要教學內容。相關研究表明，數學項目能提供學生自主探究和學習的空間，促進數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等數學核心素養的發展。[2]數學項目活動通過讓學生自主產生驅動問題，利用技術支持與小組交流合作，可以有效通過“做中學”實現數學學習，建構數學概念。基于以往立體幾何教學過于抽象、枯燥,容易使學生產生排斥與厭倦心理，而數學項目活動能夠有效激發學生學習興趣，提供更多數學學習機會的狀況，教師結合新課標與教材內容，基于直觀想象素養開展了“神奇的幾何體”數學項目活動，并在項目完成后進行教學反思，為落實培養高中數學學科直觀想象素養提供實踐經驗。

二、數學項目案例探究

(一)樣本選擇

本研究選取上海某重點高中一年級一個班的學生，以數學項目學習理論為指導，由已經對數學項目教學模式有深入了解并且有過實踐運用經驗的數學教育研究者在該班級開展了5節以“神奇的幾何體”為主題的培養學生直觀想象素養的數學項目課程。

(二)案例設計

在本研究中，幾何體的數學項目活動作為體現直觀想象素養的重要載體，旨在讓學生親身參與立體幾何新知識發現的過程，發揮學生的主動性，在合作和運用新技術的過程中感知幾何體的形態與變化，建立形與數的聯系，從而更深入地理解幾何體的內在屬性，更好地建構個體的認知結構，經過實時評測指導、階段性成果展示了解學生的幾何體知識理解程度，促進學生直觀想象素養的發展。教師根據實際情況結合邵征鋒、張文蘭和李喆的項目活動教學模式[3]后，得到圖1所示新授課的教學模式。

圖1 數學項目教學模式

(三)數學項目案例

1.DNA雙螺旋結構繞中心軸旋轉得到的旋轉體探究

(1)回顧舊知，引入新知

教師結合學生的先驗知識以及在該活動中會涉及的其他知識，制作出圖2所示的圖表。教師對該組學生提供了關于幾何體的旋轉體的驅動問題：通過旋轉一個幾何體，得到它的組合體，我們稱之為“幾何體的旋轉體”，試著用不同的展現方式刻畫“某種幾何體的旋轉體”。教師希望學生能以此問題為基礎，通過數學項目學習，培養他們借助空間形式認識事物的位置關系以及通過數學建模建立形與數的聯系的直觀想象素養。

圖2 項目活動1中涉及的知識與技能

(2)驅動問題，創設情境

由于驅動問題比較抽象，教師結合生活中陀螺的旋轉以及發電風車的旋轉等實例希望給學生創設“拋錨體驗”，讓學生進行直觀想象。其中一組學生由此聯想到生物教材上的不規則幾何體——DNA雙螺旋結構，書中寫著“假設你從DNA雙螺旋結構上的一點出發，沿著‘梯子’的‘踏板’向上走，每上10級就繞了一圈，而且升高了3.4nm”[4]。這個不同于正多面體的特征引起了學生的注意，并且提出問題：DNA雙螺旋結構圍繞中心軸旋轉后得到的是什么幾何體？

(3)合作探究，總結提煉

學生在確認項目學習研究問題后，開始以自主探究、合作交流、階段性成果展示的循環性步驟進行數學項目學習。開始時，該組學生結合生物書上提供的DNA平面圖，運用牙簽、彩色卡紙等材料試圖先做出DNA平面圖形，再以此旋轉得到DNA雙螺旋結構。在該過程中，可以窺見學生用幾何直觀理解和描述問題的直觀想象素養基礎。通過實踐發現，經過學生相互合作、探究思考后形成的知識更容易在他們的頭腦中留下烙印。[5]此次親手做實物的過程，讓學生對于通過“距離”“角度”來確定事物的位置關系有了更加清楚的認識。

圖3 第一階段成果展示

完成第一階段的任務后，學生發現由于牙簽太纖細，以此連接各個“堿基”得到的圖形十分不牢靠；且牙簽無變形性，不能旋轉得到立體的DNA雙螺旋結構。在該組陷入困惑當中時，教師通過對話的方式引導他們對該模型進行簡化，該小組以和教師討論所得問題“每圈半徑相同的反向雙螺旋線繞中心軸旋轉會得到什么幾何體”再次進行熱烈的討論。結合初中學過的簡單幾何體的三視圖知識，有學生建議大家先考慮反向雙螺旋線旋轉后得到的幾何體的三視圖，該過程激發了該學生極力運用自己儲備的知識來解決幾何問題的直觀想象素養。但是，由于立體幾何知識有限，學生仍然沒有思考得出旋轉體的最終模型。

這時，有學生在網上找到關于制作DNA雙螺旋立體結構的折紙視頻，并且提議在做出DNA雙螺旋立體圖形后可以“手動”旋轉來輔助思考其旋轉后得到的圖形。在折紙的過程，大家對于借助空間形式認識事物的位置關系以及利用圖形描述、分析數學問題有了更深刻的理解。在第三節課完成后，學生已經折紙得到DNA雙螺旋結構的立體圖形(圖4)，完成第二階段的作品。

圖4 第二階段成果展示

這時，小組長提出可以用圖形計算器繪圖功能來建模的建議，該建議自然地進入以技術幫助數學項目活動順利進行的過程。在對DNA雙螺旋結構兩條螺旋線的參數方程進行設定和探索之后，該小組在第四節課通過圖形計算器，利用正余弦函數以及線性函數(部分參數方程如圖5)模擬出了DNA雙螺旋結構繞著中心軸旋轉的動態圖形(圖6)。此過程，特別是參數方程建模的過程中，學生通過自主探究，建立起了形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路，而這是直觀想象素養的重要維度之一。

圖5 第三階段成果展示

圖6 第三階段成果展示

(4)總結反思，遷移應用

在探究“DNA雙螺旋結構繞著中心軸旋轉得到的旋轉體”過程中，教師主要在學生探究的知識性問題、項目活動進行的方向以及在碰見疑惑時進行指導，學生是該項目活動問題提出、項目執行、成果實現的主體。

該數學項目通過每一階段成果的實現，不僅達到了教師預期的對于借助空間形式認識事物的位置關系以及通過數學建模建立形與數的聯系的直觀想象素養的培養，而且在項目進行過程中，學生自主探究的過程也實現了他們利用圖形描述、分析數學直觀問題，建立形與數的聯系等直觀想象素養的培養。

2.星狀多面體的探究

(1)回顧舊知，引入新知

課前對正方體展開圖、正多邊形的簡單性質等進行簡單回顧，正方體是學生已經認識了的柏拉圖幾何體之一，此過程可以幫助學生更好地了解柏拉圖體。

學生了解柏拉圖體后，再介紹阿基米德體，使其能進一步認識了解多面體空間特征，增強空間感知能力，培養直觀想象素養。

(2)驅動問題，創設情境

教師接著展示多種星狀體實物模型，讓學生觀察星狀體并以“小星狀正十二面體”為例引導思考以下問題：

a.觀察小星狀正十二面體直觀圖中的一個面是什么圖形？

b.如何制作小星狀正十二面體？

此問題試圖引導學生培養建立形與數的聯系，利用幾何圖形描述問題的直觀想象素養。

(3)合作探究，總結提煉

對于提出的疑問，該小組開始對小星狀正十二面體模型進行詳細的觀察，并對如何制作模型提出自己的想法展開討論。

圖7 小星狀正十二面體模型1

A學生發現最大的特征是有12個相同的“尖角”，于是認為小星狀正十二面體應該就是由這12個“尖角”組成的。B學生則認為小星狀正十二面體是由里面的“東西”長出了12個“尖角”構成的。此時可以明顯看到由于缺乏相關的幾何知識，兩者的溝通并沒有數學語言的“味道”。因此首先需要從數學交流的角度引導學生逐漸認識小星狀正十二面體，形成幾何直觀想象力。此時，教師通過循序漸進地設問，引導他們清楚小星狀正十二面體由12個五棱錐“尖角”和1個正十二面體組成。之后，留出充足時間給予小組繼續討論交流。在小組討論的環節中，學生通過觀察幾何體，建立起對于幾何體的直觀模型，并且為了了解其展開圖的具體準確形狀，必須建立圖形與數的聯系，在這個過程中，學生的直觀想象素養得到了培養。最后經過激烈的小組討論，得到了“方法1”和“方法2”兩種模型制作方法，如下：

【方法1】加法

學生B認為小星狀正十二面體由1個正十二面體和12個有底正五棱錐構成，如圖8。由此，經過小組討論交流，分別做出正五棱錐和正十二面體的展開圖(圖9和圖10)。

圖8 方法1：加法

圖9 五棱錐展開圖

圖10 正十二面體展開圖

【方法2】拼接法

學生A的想法則是把12個正五棱錐粘貼在一起，經過小組討論，認為應當把方法1中的有底正五棱錐變為無底正五棱錐，則只需要正五棱錐的側面展開圖(圖11)。需要特別注意的是，正五棱錐的側面展開圖由5個全等的等腰三角形組成，并且每個等腰三角形的頂角為32°，教師要引導學生通過圖五棱錐的展開圖(圖9)計算得出頂角值。

圖11 方法2：拼接法

至此，該小組已經討論得到兩種可行的制作方案。此時學生C提出，很多幾何體都有展開圖，小星狀正十二面體有沒有展開圖呢？此時，教師進行引導，通過提出問題“請以正方體等熟悉的幾何體想想一個多面體的展開圖滿足什么條件呢”來引導學生歸納發現展開圖中的關鍵圖“正五棱錐的側面展開圖”(圖11)，而方法2是把單個的側面展開圖做成無底五棱錐拼接而成，那么展開圖是否能夠通過調整步驟先把12個正五棱錐側面展開圖連在一起再做呢？

因為時間有限且小星狀正十二面體展開圖略微復雜，該小組并沒有得到展開圖。最后，通過搜集資料得到方法3中的兩個展開圖(圖12和圖13)。由于能夠搜集到兩種展開圖，小組又提出新的疑問，是否還有更多不同的展開圖？這一問題就留給小組后續自主探究了。

圖12 小星狀正十二面體展開圖1

圖13 小星狀正十二面體展開圖2

【方法3】展開圖

(4)總結反思，遷移應用

通過小組自主探究小星狀正十二面體的制作方法，學生對柏拉圖幾何體的認識更為豐富，對于幾何體展開圖以及正多面體的空間特征也有了進一步的認識，同時注意到繪制平面展開圖時數據準確的重要性，學生的直觀想象素養在此過程中得到提高。此時可以在制作多面體的基礎上逐漸加入“數學味道”，借以通過數形結合的聯系，加強學生直觀想象素養的應用。

三、總結

(一)建立“拋錨體驗”，引發學習興趣

合適的問題情境才能激發學生問題意識，引發學生思考，從而引導學生包括“直觀想象素養”能力在內的各種學習能力的形成。[6]學生剛開始對新接觸的學習內容不感興趣和產生畏難情緒的時候需要教師創造合適的教學情境，激發他們的各種能力。例如，在案例一中，教師通過生活中陀螺的旋轉以及發電風車的旋轉等實例給學生創設“拋錨體驗”，讓他們突破思維的邊界，發散思維；在案例二中，教師則考慮到學生直觀想象素養的能力基礎，通過展示柏拉圖體、阿基米德體、星狀體實物模型等幾何體，降低空間想象難度，增強學習興趣。

(二)學生自主探究，建立直觀想象素養

數學項目活動的一個重要特點就是以學生為主體，并由學生自主設計和探究，教師只在旁邊給予恰當的指導。在學生自主探究的過程中，直觀想象素養自主逐漸建立起來。在案例一中，學生通過自己想象三視圖，簡化并建立模型，設定參數方程等方式建立借助空間形式認識事物的位置關系，建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路等直觀想象素養；在案例二中，學生則在探究和親手制作星狀幾何體過程中，在對星狀體各部分的數量比例關系的了解中建立起對形與數的聯系以及幾何體的空間結構特征等直觀想象素養。

(三)項目活動反思，加深數學理解

在數學項目完成之后，教師也對整個活動中出現的一些問題和情況進行了反思。首先，在數學項目活動中，應該注意用數學語言去引導學生進行項目學習，才有助于學生培養直觀想象素養這種數學素養。其次，教師要發揮好引導作用，充分調動學生的參與性和積極性，緊密小組合作。在整個過程中，數學項目活動不僅是培養學生直觀想象素養的載體，也創造了培養其直觀想象素養的情境，這種教學方式不但可以拓展學生的視野，更能激發他們的潛能，培養他們的創造性思維能力，進而提升課堂教學的有效度。

教師通過兩個案例探究發現，數學項目學習活動有助于學生直觀想象素養的形成。