基于剛度軟化試驗建立磁流變彈性體的Bouc-Wen模型

盧晶晶，陳 曦，周亞東，李見春，李延成

(1.天津城建大學，天津市建筑結構防護與加固重點實驗室，天津 300384；2.天津大學電氣自動化與信息工程學院，天津 300072；3.悉尼科技大學土木工程學院，悉尼 NSW2007)

0 引 言

磁流變彈性體(Magnetorheological Elastomers，MRE)是一種由高分子聚合物和微米級軟磁顆粒制成的磁流變智能材料[1]，與磁流變液(Magnetorheological Fluid，MRF)相比，具有不易沉降、穩定性好、顆粒耐磨性優良等優點[2],并且其剛度在外加磁場作用下具有可控性[3]。通過改變通入線圈的電流大小可以改變磁場強度，進而影響MRE的力學性能[4-6],因此MRE在隔震裝置[7]中得到初步應用，但距離MRE隔震裝置的商業化生產還有一定的距離。為便于裝置的設計和仿真，并推動MRE的應用，建立一個合適的磁流變彈性體本構模型來描述其宏觀力學行為是很有必要的。

國內外學者對MRE在隔震裝置上的應用開展了大量研究。在細觀力學模型方面，JOLLY等[8]首先提出了磁性顆粒相互作用的磁偶極矩模型，該模型解釋了單鏈中每一個磁性顆粒的力學行為。CHEN等[9]對鐵磁顆粒的直鏈模型進行了改進，提出了高斯分布的有限柱長模型。隨后研究者們提出了多種描述MRE的細觀力學模型，這些模型可很好地解釋磁流變效應機理，但是很難量化MRE的磁流變效應并描述其宏觀力學行為。在宏觀力學模型方面，LI等[10]利用MRE與鋼片制作了一款層疊隔震支座，并對該支座進行了動態力學性能測試，發現當電流從0增加到3 A時，該支座的側向剛度增加了1 630%。為描述這一特性，研究人員將三參數固體模型與改進的Maxwell模型相結合，建立了新的機械模型，并對該支座的滯回特性進行了描述[11-13]。LI等[14]提出了諧振載荷下MRE的四參數力學模型，對各向異性MRE進行了動態性能測試，發現MRE在應變幅值不超過10%、頻率小于10 Hz時具有線性黏彈性特性。EEM等[15]將Ramberg-Osgood模型與Maxwell模型結合，用來表征MRE的動力學特性?；贛RE線彈性理論，CHEN等[16]建立了MRE的六參數流變模型，該模型綜合考慮了鐵磁顆粒與基質之間的滑移效應，描述了MRE的動力特性。WANG等[17]建立了五參數黏彈性模型，通過松弛試驗得到模型的各個參數會受到應變的影響，揭示了MRE的非線性特性。目前細觀力學模型不能直觀描述MRE的力-位移特性，而直接描述材料力學行為的宏觀力學模型，則主要應用于MRE隔震裝置設計、線性與非線性特性研究，用于描述MRE剛度軟化特性研究的模型較為少見。

作者基于線圈磁場對永磁鐵的反向消磁原理，自主設計了MRE的剛度軟化剪切試驗系統，并在不同電流、位移幅值和頻率條件下對各向同性MRE開展了剪切試驗；基于Bouc-Wen模型模擬MRE剛度軟化過程的本構關系，并驗證模型的準確性，通過模型分析電流、位移幅值和頻率對MRE宏觀性能的影響規律，為基于MRE剛度軟化理念的智能隔震器設計提供理論參考。

1 MRE剛度軟化剪切試驗

1.1 試樣制備與試驗方法

試驗材料為自主配制的各向同性MRE，其羰基鐵粉體積分數為22%，尺寸為25 mm×25 mm×5 mm，該材料在固化時無磁場，且磁性顆粒隨機分布于聚二甲基硅氧烷(PDMS)基質中。

試驗設備為自主設計的MRE剛度軟化剪切試驗測試系統，系統由萬能試驗機、線圈、永磁鐵、力傳感器、位移傳感器、數據采集儀6部分組成，具體如圖1所示。萬能試驗機提供固定幅值、固定頻率的正弦激勵信號；2個線圈通過通入電流與永磁鐵形成磁場調控裝置；永磁鐵為釹磁鐵，MRE固定在永磁鐵兩側，隨著永磁鐵作剪切運動；力傳感器一端通過連接桿與下夾具連接，測試輸出的力信號；位移傳感器獲取永磁鐵豎直運動位移信號；力傳感器與位移傳感器測得的信號通過數據采集儀傳輸至計算機中。萬能試驗機的最大試驗力為100 kN，線圈電源型號為兆信KXN-1005D，數據采集儀型號為WKD3840，位移傳感器型號為YWD-100；力傳感器的精度為1.899 4×10-3。共進行48組試驗，測試系統的正弦激勵位移幅值分別為1，2 mm，信號頻率分別為0.1，0.5，1.0，2.0 Hz，提供的電流分別為-0.45，0，0.20，0.43，0.66，0.90 A。

圖1 MRE剛度軟化剪切試驗測試系統Fig.1 MRE stiffness softening shear test system

1.2 試驗結果與討論

由圖2可知，MRE的剛度軟化現象較明顯，在相同頻率、位移幅值作用下，當線圈上施加正向電流時，滯回環的斜率隨著電流的增大而減小，當施加反向電流時，滯回環的斜率隨著電流的增大而增大。力-位移滯回環的斜率表示材料的剛度[8]，線圈與永磁鐵形成磁場可調控的裝置[18]，可通過改變線圈電流使MRE發生剛度軟化。當線圈上施加正向電流時，線圈產生的磁場與永磁鐵磁場方向相反，隨著電流的增大，線圈產生的磁場逐漸抵消一部分永磁鐵內部的磁場；磁場的減弱導致MRE內部鐵磁顆粒排列變得雜亂無章，使得鐵磁顆粒之間的相互作用減小，因此MRE剛度減小，力-位移滯回環的斜率減小。相反，當線圈上施加反向電流時，隨著電流的增大，線圈產生的磁場與永磁鐵磁場疊加，磁場增強，MRE內部鐵磁顆粒排列有序，鐵磁顆粒之間的相互作用增強，因此MRE剛度增加，力-位移滯回環的斜率增大。

圖2 不同電流下MRE的力-位移滯回環(頻率1.0 Hz， 位移幅值2 mm)Fig.2 Force-displacement hysteresis loops of MRE at different currents (frequency of 1.0 Hz and displacement amplitude of 2 mm)

圖3 不同頻率下MRE的力-位移滯回環(位移幅值1 mm， 電流0.90 A)Fig.3 Force-displacement hysteresis loops of MRE at different frequencies (displacement amplitude of 1 mm and current of 0.90 A)

由圖3可以看出，在相同電流和位移幅值作用下，頻率對力-位移滯回環的斜率影響不大，這是因為頻率對MRE內部鐵磁顆粒的排列方式影響不大[19]。

由圖4可以看出，在相同電流和頻率作用下，位移幅值為1 mm時MRE的力-位移滯回環的斜率及面積小于位移幅值為2 mm時的。MRE力-位移滯回環包圍的面積表示材料的能量耗散特性，而能量耗散特性與阻尼有關[8]，由此可知，較高位移幅值下MRE的剛度和阻尼較小。

圖4 不同位移幅值下MRE的力-位移滯回環(電流0.90 A， 頻率0.5 Hz)Fig.4 Force-displacement hysteresis loops of MRE at different test amplitudes (current of 0.90 A and frequency of 0.5 Hz)

2 Bouc-Wen模型的建立與參數分析

2.1 Bouc-Wen模型的建立

通過分析MRE的力-位移滯回環，可以得出：(1) MRE加載瞬間有瞬時彈性變形，因此模型應包含彈性元件；(2) 力-位移滯回環有滯回現象，因此模型應包含Bouc-Wen元件。此外，應變隨著時間的延長而不斷增大，因此模型應包含黏性元件[20]。綜上，可采用Bouc-Wen元件與Kelvin元件并聯模型來描述MRE的力學特性，具體模型如圖5所示，模型公式[19]為

(1)

(2)

圖5 剛度軟化MRE的Bouc-Wen模型示意Fig.5 Bouc-Wen model diagram of stiffness-softened MRE

式中：F為剪切力；z為滯變位移；α為滯回環的線性程度，一般情況下，α∈(0，1)；x為位移；t為時間；αx為恢復力中彈性力部分；(1-α)z為純遲滯的組成部分；k0為彈簧的彈性模量；c0為MRE的黏性系數；A，n，β，γ均為無量綱參數。A,n,,g主要影響滯回曲線的形狀和大小，其中：A影響最大剪切力；n控制滯回曲線從線性到非線性的過渡，為滿足擬合的要求并減少未知參數的識別，n取1；β與γ表征滯回環的形狀和大小。

2.2 Bouc-Wen模型的驗證

使用MRE的剛度軟化剪切試驗數據，采用最小二乘法，利用Matlab軟件對模型進行參數辨識，擬合得到不同試驗條件下的Bouc-Wen模型參數如表1所示，部分擬合曲線與試驗數據的對比如圖6所示。由表1可以看出，試驗數據與模型擬合結果吻合較好，剪切力的均方根誤差都小于0.95，說明擬合效果很好。該模型可以較好地描述MRE的力學特性。

圖6 不同條件下MRE剛度軟化剪切試驗數據與模型 擬合曲線的對比Fig.6 Comparison of MRE stiffness softening shear test data with model fitting curve under different conditions

表1 擬合得到不同條件下的Bouc-Wen模型參數Table 1 Fitted Bouc-Wen model parameters under different conditions

2.3 Bouc-Wen模型參數分析

圖7 不同電流作用下k0隨頻率的變化曲線(位移幅值1 mm)Fig.7 Curves of k0 vs frequency at different currents (displacement amplitude of 1 mm)

由圖7可知：隨著電流的增大，k0基本呈線性遞減趨勢，MRE的剛度軟化現象較明顯；在頻率大于1.0 Hz條件下，當電流大于0.66 A時，k0隨電流增大而遞減的趨勢減弱。隨著電流的增大，MRE的彈性性能降低，剛度減小，同時當電流大于0.66 A時，電流對MRE剛度的影響減弱。隨著電流的增大，MRE內部磁場減弱[18]，鐵磁顆粒之間的相互作用力減小，MRE整體表現為剛度降低[21]；而當電流大于0.66 A時，由電流引起的磁場變化對MRE剛度的影響程度降低。k0隨頻率的增大呈增大趨勢。在頻率0.10.5 Hz時，k0增加速率較大，這說明MRE的彈性性能迅速增加，MRE處于黏彈性狀態[22]；當頻率大于1 Hz時，k0隨頻率增大而增大的趨勢減弱。隨著頻率的增大MRE的彈性性能增大，即MRE的剛度增大，并且當頻率大于1 Hz時，頻率對MRE剛度的影響逐漸減弱，這是因為隨著頻率的增大，MRE內部的鐵顆粒鏈僅在限定的位置作熱振動[22]，MRE出現動態硬化現象[21]，因此MRE整體呈現硬而脆的性能。

圖8 不同頻率作用下c0隨電流的變化曲線(位移幅值1 mm)Fig.8 Curves of c0 vs current at different frequencies (displacement amplitude of 1 mm)

由圖8可知，c0隨電流的增大呈遞減趨勢，并且當電流大于0.66 A時，c0趨于穩定，這說明隨著電流的增大，MRE的黏性減弱，即阻尼降低，當電流大于0.66 A時，阻尼趨于穩定。隨頻率的增大，c0呈指數遞減趨勢，當頻率為2.0 Hz時，c0逐漸向0.275 6左右收斂，這說明隨著頻率的增大，MRE的阻尼呈指數遞減，并且當頻率為2.0 Hz時，MRE的阻尼基本趨于定值。隨著頻率的增大，鐵磁顆粒與基質之間的摩擦作用加強，MRE的損耗模量降低，宏觀表現為MRE的阻尼下降[21]。

Bouc-Wen模型中參數β,γ表征滯回曲線的形狀和大小[23]，隨著β+γ、γ-β的變化，滯回曲線呈現不同的類型[16]。在試驗條件下β+γ>γ-β>0，滯回曲線類型如圖9所示。由圖9可知，隨位移x的增大滯變位移z呈指數遞增，且隨著頻率的增大，滯回曲線發生順時針旋轉，高度增大。

圖9 不同頻率作用下z隨x的變化曲線(位移幅值1 mm，電流0 A)Fig.9 Curve of z vs x at different frequencies (displacement amplitude of 1 mm and current of 0 A )

3 結 論

(1) Bouc-Wen模型對MRE剛度軟化特性的擬合結果與試驗數據吻合較好，剪切力的均方根誤差都小于0.95，說明該模型可以較好地描述MRE的剛度軟化和阻尼特性。

(2) MRE的剛度軟化現象較明顯，當施加正向電流時，MRE的剛度隨電流的增大呈現遞減趨勢，并且當電流大于0.66 A時，電流對不同頻率下MRE剛度的影響程度減弱；MRE的剛度隨頻率的增加呈增大趨勢，當頻率大于1 Hz時，頻率對不同電流下MRE剛度的影響程度減弱。

(3) MRE的阻尼隨電流的增大呈現遞減趨勢，當電流大于0.66 A時，不同頻率下MRE的阻尼趨于穩定；MRE的阻尼隨頻率的增大呈指數遞減，當頻率為2.0 Hz時，不同電流下MRE的阻尼基本趨于定值。