含阻挫和各向異性的反鐵磁自旋鏈的鍵算符理論

盧蒙蒙，陳 斌

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

近幾十年來，低維磁系統是凝聚態物理中的一個重要領域。量子漲落在低維上的增強會導致很多新奇現象，如拉丁格液體行為和自旋皮爾斯相變。由于在銅基材料中發現了高溫超導性[1]，方格點陣中最近鄰的海森堡反鐵磁體模型引起了理論界的廣泛關注。對于一維鐵磁體，Haldane[2]指出，整數自旋鏈的激發態具有有限的能隙，而半整數自旋鏈是無能隙的。半整數和整數自旋鏈的不同色散關系現象已經吸引了很多理論和實驗研究者。S=1的自旋鏈是一個簡單的例子（S為自旋），這一點已在S=1的磁性材料Ni（C2H8N2）2NO2（ClO4）中得到證實[3]。由于自旋軌道耦合，自旋Ni2+離子的各向異性效應不能被忽略。單粒子各向異性是高自旋的普遍現象。Sakai等[4]的研究表明，自旋為1/2的鐵磁鏈的量子相變可能是單離子的各向異性引起的。通過平均場計算[5-6]也觀察到了類似的相變。同時，Sachdev等[7]在二維量子反鐵磁體中對自發二聚化相進行了廣泛的研究。對于阻挫方晶格中的自發二聚化提出了自旋為1/2的鍵算符表示。此后，Wang等[8]引入了S=1的鍵算符理論方法來研究自旋為1的鐵磁鏈和階梯的磁化。Kumar等[9]應用此方法討論了具有二聚化基態的一般性的反鐵磁鏈。文獻[10?11]使用鍵算符來處理亞鐵磁鏈的二聚化效應。本文利用鍵算符的表示方法分別討論了反鐵磁自旋鏈中的單離子各向異性和阻挫。提出了具有阻挫和各向異性的S=1反鐵磁自旋鏈的鍵算符平均場理論方法，得到了零溫極限下的色散關系和有限溫度下基于阻挫效應的能隙、磁化強度、靜態磁化率和比熱容數值。通過求解各向異性的參數討論了阻挫效應下的物理性質。

1 鍵算符的表示方法

在實際材料中，阻挫是低維鐵磁材料中普遍存在的現象。阻挫的自旋模型是一個基本模型，它與自旋皮爾斯材料密切相關[12]。由于自旋軌道相互作用的存在，S=1的自旋鏈的各向異性效應比S=1/2的自旋鏈的各向異性效應大得多。因此，考慮了S=1反鐵磁海森堡自旋鏈的各向異性?，F分別考慮阻挫和單離子各向異性對反鐵磁自旋鏈的影響。哈密頓量

式中：α為阻挫參數；D為單離子各向異性參數；為i格點在x，y，z方向的自旋投影；R為各向異性因子，本文忽略不計；δ為鐵磁鏈結構常數，在考慮阻挫的情況下，近似格點之間的距離相等，δ=0。

通過構造出自旋單態[13]，得到S=1的反鐵磁自旋鏈的鍵算符

式中，tz，d，u是二聚體的耦合量子數。

式（2）中基態z方向上是玻色凝聚的，即為對算符取觀測平均值。將鍵算符表示的升降算符代入哈密頓量，可以得到

式中，μ為依賴溫度的化學勢。

式中：γk為鐵磁鏈的結構因子；C為常數。

然后得到格點的平均能量

式中，N為鐵磁鏈的格點總數。

同時得到參數的自恰方程組為

其中，β=1/(kBT)，kB=1，kB為玻爾茲曼常數，T為系統溫度。

2 阻挫效應下的熱力學性質

圖1～4分別是在不考慮單粒子各項異性因子的情況下，考慮不同阻挫對激發譜、自由能、比熱容和靜態磁化率的影響。通過求解含有參數的自恰方程，得到了相應零溫極限下的參數值。能譜的最小值在k=π處，得到能隙為0.7。這個數值下的系統與Haldane猜想下的系統是一致[14]。隨著阻挫的增加，系統的能隙逐漸減小，在阻挫α=1.39時，能隙減小到0，這意味著相變可能由阻挫引起，相變臨界點與Kato，Yamamoto，Hagiwara的數值結果是一致的[15-17]。采用不同的阻挫參數計算了自由能，如圖2所示，隨著溫度的升高，自由能逐漸減小，同時，阻挫值越大，自由能相對越小。分析了不同阻挫下靜態磁化率與溫度的關系，當溫度升高時，較小的阻挫值對應的靜態磁化率增長比較慢，而在高溫區域，靜態磁化率增長相對比較快，阻挫越大，靜態磁化率越大。在低溫下，阻挫對磁化率的影響比較明顯。研究發現，比熱容在溫度區域[0.1，0.5]呈線性增長，阻挫越大，比熱容增長的速度越快。這表明S=1的反鐵磁海森堡鏈在阻挫效應影響下會發生量子相變，這一現象已經在鎳的含阻挫的鐵磁系統中經實驗證實[17]。

圖1 D=0，α取值為1.0，1.1，1.2，1.39時的能譜圖像Fig. 1 Energy spectrums with different bond alternation parameters α=1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.39 at zero temperature,while D=0

圖2 D=0，α取值為1.0，1.1，1.2，1.39時的自由能圖像Fig. 2 Free energy diagrams with different bond alternation parameters α = 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.39 at finite temperature,while D=0

圖3 D=0，α取值為1.0，1.1，1.2，1.39時的比熱容圖像Fig. 3 Specific heat capacity diagrams with different bond alternation parameters α=1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.39 at finite temperature, while D=0

圖4 D=0，α取值為1.0，1.1，1.2，1.39時磁化率圖像Fig. 4 Uniform static susceptibility diagrams with different bond alternation parameters α = 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.39 at finite temperature, while D=0

3 各向異性影響下的熱力學性質

圖5 α=1，D取值為0，?0.1，?0.2，?0.3，?0.35時的能譜圖像Fig. 5 Energy spectrums with different anisotropy parameters D = 0, ?0.1, ?0.2, ?0.3, ?0.35 at zero temperature, while α=1

圖5～8分別是在不考慮阻挫影響的情況下，不同的各項異性因子對低能激發譜、自由能、比熱容和靜態磁化率的影響。通過求解含有各向異性參數的自洽方程，得到的能譜如圖5所示，當各向異性存在時，能譜較低。這個結果與阻挫效應的影響相比，能譜色散關系的變化很小。在D=?0.35時，系統能隙消失，這意味著各向異性也可以誘導量子相變。通過其他的數值方法，在D=?0.29也得到了這種相變[18-19]。同時得到各種熱力學性質圖像。當溫度升高時，自由能降低得更快。各向異性較大的情況下，自由能相對較小，這個趨勢與阻挫效應是相反的。在區域[0, 0.2]的靜態磁化率幾乎趨近于0。溫度升高，靜態磁化率趨于指數增長，各向異性越大，靜態磁化率越大。同時從各向異性下比熱容與溫度的關系也可以看出，各向異性越大，比熱容越大。在溫度區域[0.1, 0.5]，比熱容與溫度呈線性增長。同時，鍵算符的各向異性量子相變與密度矩陣重整化群方法也很吻合[18]。

圖6 α=1，D取值為0，?0.1，?0.2，?0.3，?0.35時的自由能圖像Fig. 6 Free energy diagrams with different anisotropy parameters D = 0, ?0.1, ?0.2, ?0.3, ?0.35 at finite temperature, while α=1

圖7α=1，D取值為0，?0.1，?0.2，?0.3，?0.35時的比熱容圖像Fig. 7 Specific heat capacity diagrams with different anisotropy parameters D = 0, ?0.1, ?0.2, ?0.3, ?0.35 at finite temperature, while α=1

圖8 α=1，D取值為0，?0.1，?0.2，?0.3，?0.35時的能磁化率圖像Fig. 8 Uniform static susceptibility diagrams with different anisotropy parameters D = 0, ?0.1, ?0.2, ?0.3, ?0.35 at finite temperature, while α=1

4 結束語

通過鍵算符平均場近似的方法，討論了阻挫和各向異性對S=1反鐵磁海森堡鏈的影響。分析了阻挫和單粒子各向異性因子與能譜、自由能、靜態磁化率和比熱容的關系。阻挫效應引起的量子相變發生在 α=1.39處。通過求解各向異性的自洽方程，計算了系統的物理量。該系統能隙消失發生在D=?0.35處，這些結果與反鐵磁自旋鏈上各向異性相變點D=?0.29的結果都是相一致的。因此，鍵算符方法也可以定性地描述阻挫和各向異性對S=1反鐵磁海森堡鏈的影響。