階估計法在判斷瑕積分審斂法中的應用

張祖敘，孫榮璞，尹凱倩

(山東科技大學數學與系統科學學院，山東 青島 266590)

通過對微積分的學習，可以利用比較原則、柯西判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法等[1]來判斷瑕積分的斂散性。從判別法的不同角度對階估計法進行研究，得到審斂性的定理。已有研究者對判別法進行過細致而全面的研究，如齊紫微[2]等學者給出的基于階估計法的無窮廣義積分審斂性定理。我們通過階估計法推導了判斷瑕積分斂散性的判別法，并通過比較判別法進行證明并附以實例，驗證了審斂法的有效性和實用性。

1 基于階估計法的瑕積分審斂性判別法

定理1.設f(x)是定義在區間(a,b]上的非負可積函數，且滿足：

易見瑕積分收斂，由比較判別法，瑕積分同樣收斂。

②當p≥1時，經過計算可知：

小結：在微積分學中只討論了分式的奇點為0的判別法，而定理1給出了分式的起點不為0的一般情況。

定理2.設f(x),g(x)是定義在區間(a,b]上的非負函數，則：

證明：

小結：與定理1提出的思路相一致，根據由特殊到一般的數學思想，對微積分學中的原有積分進行了簡單推廣。

定理3.設f(x)是定義在區間[a,b)上的非負可積函數，則：

證明：

①0

②p≥1時：

結合①②兩點，得到了定理3的證明。

小結：定理3對應于微積分學中廣義積分的階判別法，將廣義積分調整為積分區間為半閉半開區間的瑕積分。

定理4.設f(x)是定義在區間(a,b)上的非負可積函數(a和b都是瑕點)，且對于?p∈(0,1)及c∈(a,b)，滿足：

證明：

小結：與定理3相比較，發現積分區間兩端均為瑕點。在證明該定理的過程中，對給定的積分區間進行分段，從而歸結為定理3的結果。

2 定理應用

又因為tanx～x(x→0),ex-1～x(x→0)，所以有：

解：

3 結語

根據瑕積分階估計法，推廣了微積分學中分式奇點為0的一般情況，并提高了階估計法的適用范圍，通過實例的引入，驗證了審斂法的有效性和實用性。