(2+1)維非線性薛定諤方程的Peregrine-like有理解

肖世校，賀 為

(1.集美大學(xué)誠毅學(xué)院，福建 廈門 361000；2.宜春學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 宜春 336000)

非線性薛定方程通常用于描述光學(xué)孤子的傳播特性，是非線性物理學(xué)(尤其是非線性光學(xué))中最著名的非線性偏微分方程之一，在表征光脈沖可變動力學(xué)行為方面起著重要作用。這些方程式已經(jīng)研究了40多年，有大量研究結(jié)果。非線性薛定方程根據(jù)Kerr定律非線性，冪定律非線性，雙冪定律非線性和對數(shù)定律非線性等不同的非線性具有許多不同的非線性形式[1]。

本文考慮以下(2+1)維非線性薛定諤方程

ut+φ4(t)u+φ1(t)uxx+φ2(t)uyy+φ3(t)u|u|2=0

(1)

其中u=u(x,y,t)，φi(t)(i=1,2,3,4)是關(guān)于t的解析函數(shù)。方程(1)可以約化為以下三類重要的方程：

(a)當(dāng)φ1(t)=φ2(t)=1,φ3(t)=c,φ4(t)=0時，方程(1)變成

iut+uxx+uyy+cu|u|2=0

(2)

Najafi等[2]利用sine-cosine方法獲得了方程(2)的精確解。

(b)當(dāng)φ1(t)=-0.5,φ2(t)=0,φ3(t)=-1,φ4(t)=d時，方程(1)變成

iut-0.5uxx-u|u|2+du=0

(3)

Yu等利用簡化方程法獲得了方程(3)的孤子解[3]。

(c)當(dāng)φ1(t)=a,φ2(t)=b,φ3(t)=c,φ4(t)=d時，方程(1)變成

ut+du+auxx+buyy+cu|u|2=0

(4)

Feng等利用雅可比橢圓函數(shù)法獲得了方程(3)的光孤子解和周期解[1]。

本文的主要目標(biāo)是尋找方程(1)的Peregrine-like有理解[4]以及它和其他孤子解之間的交互作用。然后也可以推出方程(2)-(4)的Peregrine-like有理解。做如下變換

u(x,y,t)=Exp[Θ4x+Θ5x+Θ6(t)]Ω[ξ(x,y,t)]

(5)

(6)

2 Peregrine-like有理解

令Ω=a?ξ(Lnf)，方程(8)變?yōu)?/p>

(7)

為了獲得Peregrine-like有理解，令

f=(μ1ξ+μ2)2+(μ3ξ+μ4)2+μ5

(8)

其中μi(i=1,2,3,4,5)是待定參數(shù)。將方程(8)代入方程(7)可得如下解

此時方程(1)有如下Peregrine-like有理解

(9)

假設(shè)

μ5=μ1=μ2=2,μ4=-1,Θ4=Θ5=μ3=a=φ1=1,Θ1=5,Θ2=-2

此時Peregrine-like有理解(9)的物理結(jié)構(gòu)見圖1。

此時方程(1)有如下Peregrine-like有理解

u2=

(10)

假設(shè)

μ4=-1,Θ4=Θ5=μ3=a=φ1=φ2=1,Θ1=5,μ5=μ1=μ2=2,Θ2=-2

此時Peregrine-like有理解(10)的物理結(jié)構(gòu)見圖2。

此時方程(1)有如下Peregrine-like有理解

u3=

(11)

假設(shè)

μ4=0,Θ4=Θ5=μ3=a=φ1=φ2=1,Θ1=5,

μ5=μ1=μ2=2,Θ2=-2

此時Peregrine-like有理解(11)的物理結(jié)構(gòu)見圖3。

為了討論P(yáng)eregrine-like有理解和其他孤子解之間的交互作用，我們假設(shè)

f=(μ1ξ+μ2)2+(μ3ξ+μ4)2+μ5+λExp(μ6ξ+μ7)+κExp(-μ6ξ-μ7)

(12)

其中μi(i=6,7)、κ和λ都是待定參數(shù)。將方程(12)代入方程(7)可得

此時方程(1)有如下交互作用解

(13)

假設(shè)

μ4=0,Θ4=Θ5=μ3=a=φ1=φ2=λ=1,Θ1=5,

μ5=μ1=μ2=2,Θ2=-2,μ6=-1,μ7=3,κ=0

此時交互作用解(13)的物理結(jié)構(gòu)見圖4。

假設(shè)

μ4=0,Θ4=Θ5=μ3=a=φ1=φ2=λ=1,Θ1=5,

μ5=μ1=μ2=2,Θ2=-2,μ6=-1,μ7=3,κ=-1

此時交互作用解(13)的物理結(jié)構(gòu)見圖5。

3 結(jié)論

本文通過符號計算[5-7]和一個直接的假設(shè)獲得了非線性薛定諤方程大量的Peregrine-like有理解。并且研究了Peregrine-like有理解和單孤子解的交互作用以及Peregrine-like有理解和雙孤子解的交互作用。這些解的物理結(jié)構(gòu)都被展示在一些三維圖形中。