巧用圓的性質(zhì) 妙解解幾問題

江蘇省木瀆高級中學(xué) (320500) 解金雷

圓有許多幾何性質(zhì)，在解析幾何問題求解中，常妙用圓的定義或性質(zhì)，直徑所對的圓周角為直角，圓冪定理，垂徑定理，相交弦定理，切線長定理或切割線定理等實(shí)現(xiàn)解題的目的．本文列舉幾例予以說明.

點(diǎn)評：解法中巧妙利用圓的切線性質(zhì)及中點(diǎn)性質(zhì)，并通過圓的定義確定對應(yīng)圓方程，再利用二次方程的聯(lián)立進(jìn)而快捷確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．

例2 已知圓x2+y2-6x=0，則過點(diǎn)(1，2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為( ).

A．1 B．2 C．3 D．4

點(diǎn)評：本題為求解與圓的弦長有關(guān)的問題，而且是涉及與之相關(guān)的最值問題，求解的關(guān)鍵是利用圓的垂徑定理達(dá)到將問題巧妙轉(zhuǎn)化的目標(biāo)．

例3 若直線y=kx+b(k>0)與圓x2+y2=1和圓(x-4)2+y2=1均相切，則k=，b=．

圖1

點(diǎn)評：本題巧用圖形的幾何性質(zhì)，由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”，綜合推理與運(yùn)算達(dá)到求解目標(biāo)．

例4 已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為( ).

A．2x-y-1=0 B．2x+y-1=0

C．2x-y+1=0 D．2x+y+1=0

圖2

點(diǎn)評：本題綜合利用圓的定義及幾何性質(zhì)，結(jié)合圖形直觀，化“動”為“靜”，利用代數(shù)運(yùn)算達(dá)到解決問題的目的．

綜上可見，在解決一些與圓有關(guān)的解析幾何問題時，巧用圓的平幾性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)解幾問題的直觀化，達(dá)到多一些幾何直觀，少一些代數(shù)運(yùn)算，“形”與“數(shù)”有機(jī)結(jié)合，從而有效發(fā)現(xiàn)解題思路，縮小思維步驟，優(yōu)化解題過程，真正實(shí)現(xiàn)提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)核心素養(yǎng)的目標(biāo)．