論“無窮事物”的定量認知（IX）
——新開發的“無窮載體理論”中“無窮載體基因”與“無窮載體尺度”

歐陽耿

（閩南師范大學 數學系，福建 漳州 363000）

集合論和數學分析開拓者們的偉大之處在于他們以“實無窮”的思路開辟了一個對“無窮數學事物”進行定量認知的數學領域.但是，經典無窮理論體系基礎理論的缺陷，使人們（包括康托） 幾千年來根本就不可能知道“實無窮”與“潛無窮”究竟是什么、它們之間究竟有什么區別與聯系，根本就不可能知道“實無窮”在數學領域具體內容的理論、操作與各種實踐中究竟是如何“實”的’——“實無窮”只是一個理論上與實踐上都很空洞的概念.這種致命缺陷深深影響著與“無窮”概念相關領域的數學工作者各種認知與操作行為的科學性，必然導致不良的認知結果’——幾千年來數學上空懸而未決的“無窮悖論綜合癥”烏云就是最好的證明[1-43].

1 現有經典集合論與數學分析中所面臨的難題與新的工作思路

在對數學事物進行科學的定量認知過程中，人們需要根據所掌握的知識分析、了解被認知數學事物的性質、存在條件與表現形式，知道它們是什么，才可能通過相關的理論與操作技術達到認知目的.科學史的研究使我們了解到，在對“有窮事物”定量認知過程中的“分析、了解、操作”方面，人們做得很成功.但是，現有經典無窮理論體系基礎理論中的致命缺陷（特別是“實無窮理論缺失”），決定了自古以來，人們在對各種“無窮事物”開展定量認知工作的一些基礎部分中做得很不成功，根本就沒辦法（不可能）對它們實施科學、充分、必要的“分析與認知”，不可能清楚地從本體與形式上了解所要認知的“無窮數學事物”是什么、應該有什么樣科學的認知理論與操作技術[1-43]！

1.1 所面臨的難題

文[1-43]的研究使我們了解到，以經典無窮理論體系為基礎的現有經典數學分析和集合論是專門對“與無窮相關的數學事物”進行定量認知的數學領域.然而，其基礎理論中根本就不可能得到科學定義的，既互相矛盾、互相混淆又空洞的“潛無窮—實無窮”概念，導致這兩個數學領域都無法逃避性質上完全相同的兩種基礎理論缺陷：（1） 理論上，“潛無窮概念、實無窮概念”混淆；（2） 操作上，“潛無窮數學事物、實無窮數學事物”混淆.所以，一方面，人們不得不將各種各樣“與無窮相關的數學事物”，都當作由“潛無窮、實無窮”這兩個概念混在一起的“數學事物”，想盡各種辦法編造能與錯誤的基礎理論相配合的某些“形式語言、形式邏輯”和某些“便于混淆的‘是自己—非自己’的數學事物”；另一方面，人們根本就無法真正科學的認知現有經典數學分析和集合論中的那些“可以隨意混淆的‘是自己—非自己’的數學事物”是什么、該如何對它們實施具體的定量認知操作.完全相同的基礎理論缺陷決定了現有經典數學分析和集合論中必然存在完全相同的定量認知理論和操作理論缺陷、無法制止各種各樣“無窮數學事物定量認知悖論”的產生.并且，這些悖論必然以“悖論家族、悖論綜合癥”的形式生存.不斷涌現的“無窮悖論”家族成員在不同的歷史時期中，從不同角度反復揭示經典無窮理論體系中與“潛無窮—實無窮”概念相關的各種基礎理論缺陷、呼吁人們解決這些缺陷.正是經典無窮理論體系中基礎理論的這種致命缺陷所構筑的一道無法逾越的認知屏障，才是懸而未決的第二次與第三次數學危機的真正根源，直接導致2500 多年來無法擺脫的“無窮數學事物認知疾病”：數學分析中由各種各樣“既是‘潛無窮’又是‘實無窮’（‘既是數又不是數’、‘既是自己又不是自己’、‘既是無窮又不是無窮’——無窮小、變量、單子……）的數學事物”所導致的所有芝諾悖論與貝克萊悖論家族成員[1-14]；集合論中由各種各樣“既是‘潛無窮’又是‘實無窮’的數學事物（具有T={x|x?x}性質的‘既屬于某集合又不屬于某集合’的集合中的元素’——‘變元素—變集合’）”所導致的所有羅素悖論家族成員……[13-20].

與“無窮”概念相關的現有科學、數學領域中存在如下幾個難題：

（1） 現有經典無窮理論體系基礎理論中存在“‘潛無窮、實無窮’混淆”與不可避免的“載體理論缺失”致命缺陷.

（2） 現有經典集合論和數學分析都只能以現有經典無窮理論體系為基礎，它們的基礎理論中必然存在完全相同的“‘潛無窮—實無窮’混淆”與不可避免的“載體理論缺失”致命缺陷.

（3） 完全相同的基礎理論致命缺陷決定了現有經典數學分析和集合論中存在性質完全相同的、根本就不可解的各種各樣“無窮悖論”——“無窮悖論綜合癥”.

1.2 新的工作思路

在文[1-43]中，我們已經從知識背景、原因、現狀等方面對與“無窮”概念相關的數學基礎理論中所存在的各種主要缺陷及其所導致的問題進行了系統性研究與討論.結果證明，必須拋棄既無法科學定義又互相矛盾的“潛無窮—實無窮”概念，構建、開發以“抽象事物—抽象事物的載體”概念為基礎的新無窮理論體系及其相關的無窮載體理論，研究、開發、奠定“無窮數學事物定量認知基礎理論”，開辟一條新的“無窮數學事物定量認知”思路.

2 現有經典無窮理論體系基礎理論中所存在的缺陷必然導致與“無窮”概念相關的數學領域中不科學的定量認知理論與結果

自從人類科學中產生“無窮”概念以來，人類數學中必然出現了“與‘無窮’概念相關的數學事物（比如與‘無窮大、無窮小’相關的數量形式、與‘無窮多’相關的無窮集合中的元素……）”，人們就開始了對“無窮數學事物”進行定量認知與研究（比如研究它們各種各樣的存在形式，比較它們之間的‘大、小、多、少’，如何與‘有窮數量形式’發生關系，如何參與運算……）.所以，我們就有了專門研究“無窮數學事物”的數學領域（比如數學分析和集合論）[1-43].

2.1 現有數學分析中無法避免的“無窮數學事物定量認知基礎理論缺陷”所導致的不良定量認知理論、操作與結果

究竟該如何認知“無窮”、“無窮小”、“無窮大”、“X→0”的數量形式等這類與“無窮”概念相關的數學內容及之間的關系，特別是該如何認知數學分析中各種各樣被認知的“既是‘潛無窮’又是‘實無窮’的數學事物’——‘變量、潛無窮數量形式、實無窮數量形式’”？繁榮昌盛的“無窮悖論家族”證明，這是現有數學分析中一直懸而未決的問題.

2.1.1 與“無窮”概念相關的數量形式、數量體系中的缺陷與新的研究成果

我們已經在文[25-43]中對與“無窮”概念相關的數量形式和數量體系進行了系統性研究與討論，揭示舊數量形式、數量體系中的缺陷，開發、構建與“無窮”概念相關的新的數量形式與新數量體系.文[43]中介紹了新的“半阿基米德性”概念.數學史證明，人們需要對那些具有“阿基米德性”或“半阿基米德性”的數量形式開展各種各樣必要的定性、定量認知與研究[20-43].

2.1.2 與“無窮”概念相關的數量形式處理理論、操作的缺陷與新的研究成果

我們已經在文 [7-12]中對數學分析中與“無窮”概念相關的數量形式處理理論與操作的缺陷（比如極限論及其操作等等）進行了系統性研究與討論，開發了以新無窮理論體系及其相關的載體理論為基礎的新極限論.

2.1.3 現有數學分析中與“無窮”概念相關的悖論家族：芝諾悖論家族和貝克萊悖論家族

2500 多年來，人類一直沿用芝諾時代的經典“潛無窮—實無窮”觀并以此作為現有經典無窮理論體系的基礎理論，導致了自古以來，人們在以經典無窮理論體系為基礎的極限思想、極限理論對“無窮事物”開展定量認知過程中無法科學地認知“X→0 的數量形式”——理論上無懈可擊、完美無缺，但實際上完全無法自圓其說（反之亦然），決定了“芝諾悖論家族”和“貝克萊悖論家族”的產生和懸而未決.

（1） 2500 多年來懸而未決的芝諾悖論家族成員——新發現的調和級數悖論.

新發現的“調和級數悖論”是指，以經典無窮理論體系為基礎的極限思想、極限理論所決定的Oresme 于1360 年前后給出的那個“加括號操作法”會產生的悖論.它是數學分析中“無窮數學事物定量認知基礎理論缺陷”的一個典型案例，我們可以在現有的許多數學課本和專著中看到被奉為經典和級數基礎理論的那個證明[1-14].

人們允許、肯定、贊美該證明中那種以現有經典極限論為基礎的“對調和級數中的數項加括號求和，得到無窮多個大于任意常數項的操作法”！必然要承認如下各種加括號求和操作法的科學性：

采用可以產生1 個1/2 的加括號法則操作

采用可以產生2 個1/2 的加括號法則操作

我們目睹了一個活生生的芝諾悖論現代翻版的典型案例：成功應用極限思想、極限論對“阿基里斯追不上烏龜定理”進行嚴格的數學證明.阿基里斯就是這個證明中的多項式加括號操作法，而烏龜就是調和級數.盡管善跑的阿基里斯步伐可以越大越快（甚至可以是噴氣式飛機的速度），但是在理論上烏龜將永遠在他的前面——盡管多項式加括號操作法可以越大越快處理掉調和級數中的許許多多數項，但理論上卻永遠有無窮無盡可用多項式加括號操作法去處理的數項.自古以來，與“無窮”相關的數學基礎理論的缺陷，使許多人錯誤的認為“可能存在的無窮過程就是可能存在的無窮計算”.所以那里的阿基里斯永遠追不上烏龜，而這里的多項式加括號操作法可以永遠進行下去，而得到無窮多個大于10100000的量.在幾十年來的“調和級數悖論”問題討論中，人們囿于“調和級數發散”這種固定思路，拒絕思考筆者研究中反復指出的“循環論證怪圈（邏輯循環怪圈）”問題：（1） 先用“加括號操作法”證明可以從Un→0 的調和級數中得到無窮多個大于1/2或10100或10100000或……數項，而將Un→0的無窮常減調和級數變成一個Un→10100000的無窮常增級數，得到調和級數發散的結論（在與“無窮”相關的現有數學理論體系中，至少有20種方法可以證明調和級數發散，但是萬變不離其宗）；（2） 說因為調和級數是發散的，所以必然可以用“加括號操作法”從Un→0 的調和級數中得到無窮多個大于10100000的數項[1-14].

2500 多年來，懸而未決的芝諾悖論家族成員一直在不同場合、不同時間中要求人們回答：為什么那些“X→0 數量形式”在整個定量認知過程中可以永遠具備與“有窮”相關的數量形式相同的數量意義（沒人敢對芝諾悖論家族成員正在運算中的“X→0 數量形式”喊聲“令其為零”或“取其極限”或“取其標準數”，所以它們就永遠不會變成太小而失去運算資格、不會被趕出相關算式），而得到“正確”結果？與“無窮”相關的基礎理論的缺陷使人們必然不可能逃避“有限個X→0 數量形式相加”與“無限個X→0數量形式相加”之間本質性區別的混淆.600 多年來，人們一直沒辦法了解、認識這樣一個事實：調和級數中的加括號法所進行的定量認知操作是無窮多次“從某項到某項（有限個X→0數量形式）相加，求出無窮多個10100000的數項中的某個10100000操作”，而不是無窮多次“無限個X →0 數量形式相加的操作，求出無窮多個10100000的數項中的某個10100000操作”.

（2） 懸而未決的貝克萊悖論家族——現有數學體系中不可解的第二次數學危機.

作為另一個典型案例，貝克萊悖論家族成員直到現在還一直在不同場合、不同時間中要求人們回答：為什么“X→0 數量形式”可以在定量認知過程中突然間失去與“有窮”相關的數量形式相同的數量意義（突然間有人對貝克萊悖論家族成員正在運算中的“X→0 數量形式”喊了聲“令其為零”或“取其極限”或“取其標準數”，所以它們就突然間變成太小而失去運算資格、必須被趕出相關算式），而得到“正確”結果[1-14]？

“X→0 數量形式”定量認知過程中這種“蠻橫無理、隨心所欲進出算式”的情況自古以來一直就存在于與“無窮”概念相關的數學領域中，只不過是到了芝諾時代和貝克萊時代才由他們編了個芝諾悖論和貝克萊悖論，暴露了現有數學分析中仍然隨處可見的龐大的芝諾悖論家族和貝克萊悖論家族中的所有成員，尖銳、勇敢地指出這種無法自圓其說的“X→0 數量形式”定量認知操作所揭示的人類在“有窮、無窮、潛無窮、實無窮、極限思想、極限論……”認知領域中一直懸而未決的基礎理論缺陷[1-14].

人類科學中，由于相關基礎理論的缺陷所導致的認知工作中的邏輯矛盾現象就是悖論（比如所有芝諾悖論家族成員與貝克萊悖論家族成員的“自我反駁共性”——理論上無懈可擊但實際上無法自圓其說，反之亦然）.所以，只有解決相關基礎理論的缺陷，才有可能根除相應的悖論.在文[1-14]中，我們將現有數學分析中各種各樣與“無窮”概念相關的悖論聯系起來分析、研究，發現他們之間的一個共同的“無窮數學事物定量認知基礎理論缺失”缺陷：人們根本就不可能自圓其說的解釋為什么、應該在定量認知運算過程中的何時何處對被認知的“X→0 數量形式”實施那些“令它們為0、對它們取極限、對它們取標準數”的操作.所以，在現有經典數學分析中，許許多多與“無窮數量形式”相關的運算過程及其結果就必然成為悖論——不是芝諾悖論家族成員就是貝克萊悖論家族成員.這就是為什么我們很肯定的說，芝諾悖論家族和“第二次數學危機”在以經典無窮理論體系為基礎的現有科學理論體系中是不可解的[1-14，25-39].

2.2 現有集合論中無法避免的“無窮數學事物定量認知基礎理論缺陷”所導致的不良定量認知理論、操作與結果

集合論中繁榮昌盛的“無窮悖論家族”史研究使我們清楚地了解到，人們一直沒辦法科學的認知“無窮”“無窮大”“無窮多”“集合”與“集合中的元素”這些概念及之間的關系，特別是沒辦法認知集合論中各種各樣“既是‘潛無窮’又是‘實無窮’的數學事物’——變元素—變集合—潛無窮集合—實無窮集合”[13-19]？

2.2.1 “元素—集合”理論缺陷與新的研究成果

我們在文[25-43]中的研究證明，現有經典集合論中主要的“無窮數學事物定量認知基礎理論缺陷”之一，就是整個“元素”理論缺失，因為它完全忽視了無窮集合中“具有特殊性質、特殊存在條件、特殊表現形式和特殊之間關系的無窮元素”的重要性.所以，現有集合論中必然導致對如下內容的認知缺陷：“集合”的定義、構成集合的“元素”的定義、“元素”與“集合”之間的必然與獨一無二關系、“集合譜系”…….我們在文[43]中介紹了新的“元素”理論、新的無窮集合定義和新的“集合譜系”.

2.2.2 “無窮數學載體”處理理論與操作的缺陷與新的研究成果

在文[36-43]中，我們已經從不同角度研究和討論了現有經典無窮集合論中對“無窮數學載體”處理理論與操作（比如基數理論、超窮數理論、一 一對應理論與操作等等）中的缺陷，介紹了以新無窮理論體系、新載體理論、新“元素—集合”理論為基礎的集合論中的新“無窮數學載體”處理理論與操作.

2.2.3 現有集合論中的羅素悖論家族成員

將現有經典集合論中與“無窮”概念相關的各種各樣悖論聯系起來分析、研究，會發現他們之間的一個共同特癥：它們必然都含有“既是‘潛無窮’又是‘實無窮’（既是自己又不是自己、既是無窮又不是無窮、既屬于某集合又不屬于某集合）”這類具有T={x|x?x}}性質的數學事物——“變元素、變集合”.懸而未決的羅素悖論家族成員是現有集合論中所存在的“無窮數學事物定量認知基礎理論缺陷”的一個典型案例.

與“無窮”相關的數學基礎理論的缺陷，決定了人們可以隨意給許多無窮集合中的某些元素賦予“既屬于某集合又不屬于某集合”的性質，而構造出各種各樣表現形式不同的羅素悖論家族成員（比如實數集合不可數證明中那些事先藏起來、然后再“變”出來的具有T={x|x?x}性質的元素，“康托定理”證明中突然間出現的那些具有T={x|x?x}性質的元素，“既是A村子里的人卻又不屬于A 村人”的理發師，“既永遠滿客卻又永遠有空房間”的希爾伯特旅館……）[13-19].

羅素悖論家族成員直到現在還一直從不同角度、在不同場合、不同時間揭示“無窮數學事物定量認知基礎理論缺失”缺陷：為什么在以現有經典無窮理論體系為基礎的集合論中，人們根本就無法避免“既是‘潛無窮’又是‘實無窮’性質的數學事物”（隨時可以產生、出現的T={x|x?x}數學事物）？這就是為什么我們很肯定的說，第三次“數學危機”在以經典無窮理論體系為基礎的現有科學理論體系中是不可解的[13-19，36-43].

3 尋求解決問題的答案

3.1 構建“新無窮理論體系”、開發新的“無窮數學載體理論體系”

在文[1-43]中，我們從不同角度對現有經典無窮觀中幾千年來一直懸而未決的致命缺陷進行了深入細致的研究，找到解決問題的答案：拋棄現有經典無窮理論體系中不科學的（錯誤的）“潛無窮—實無窮”概念，開發以科學的“抽象無窮概念—抽象無窮概念的載體”為基礎的新無窮理論體系，用科學的、新的無窮理論體系中的“抽象無窮概念的載體”概念取代現有經典無窮理論體系中不科學的（錯誤的）“實無窮”概念，開發新的“無窮數學載體及其相關的定量認知操作理論”.

3.2 無窮數學載體理論中的幾個新研究成果

3.2.1 無窮數學載體（抽象概念的載體）

科學史的研究使我們清楚地了解到，人們只能對“抽象概念的載體”進行定量認知，而不可能對“抽象概念”進行定量認知——人們只能對具體的“抽象水果概念的載體（比如香蕉、蘋果、桃子葡萄……）”進行定量認知，而不可能對“抽象水果概念”進行定量認知；在數學中，人們只能對具體的“抽象無窮概念的數學載體”進行定量認知，而不可能對“抽象無窮概念”進行定量認知.

在以“抽象概念—抽象概念的載體”為基礎的新無窮理論體系中，我們拋棄了“潛無窮—實無窮”概念，用“抽象無窮”概念取代“潛無窮”概念、用“無窮載體”概念取代“實無窮”概念.從此，人類不再糾纏于“潛無窮—實無窮”，而是可以全力以赴開發“無窮載體理論”，對與“抽象無窮概念的數學載體”相關的各種各樣內容開展全面、系統、科學的研究與認知[20-43].

3.2.2 無窮數學載體基因（抽象概念的載體基因）

循“無窮載體”的研究思路，我們清楚地了解到，在與“無窮”相關的現有人類數學領域中存在各種各樣的無窮數學載體，每一種無窮數學載體必然存在各自獨特的性質、獨特的存在條件和獨特的表現形式.研究證明，在經典無窮理論體系中，基礎理論的缺陷使人們根本就不可能對各種具體的“無窮數學載體（比如數學分析和集合論中各種各樣與‘無窮’相關的具體數學事物）”開展科學的定性與定量認知，根本就不可能知道應該去研究、去了解人類所要認知的各種各樣“無窮數學載體”為什么會具有各自獨特的性質、獨特的存在條件和獨特的表現形式？

在以“抽象概念—抽象概念的載體”為基礎的新無窮理論體系中，我們引進“抽象概念的載體基因（無窮數學載體的基因）”概念，說明無窮數學載體的基本構造和性能——正是與生具有的“載體基因”決定了不同的“無窮數學載體”具有各自獨特的性質、獨特的生存條件和獨特的表現形式，保證了人類有可能對各種各樣不同的無窮數學載體進行“實實在在”的、具體的定性與定量研究、認知[25-43].

3.2.3 無窮數學載體尺度（抽象概念的載體尺度）

與“無窮”相關的數學史的研究使我們清楚地了解到，在以經典無窮理論體系為基礎的現有人類數學領域中，人們根本就不可能知道各種各樣的“無窮數學載體”居然具有由自己的基因所決定的獨特的性質、獨特的生存條件和獨特的表現形式.所以，人們深深陷入一個無法自拔的“無窮數學載體”定量認知誤區的泥潭.在大多數具體的“無窮數學載體”定量認知過程中，只能是將各種各樣與“無窮”相關的數學載體混在一起，編造某些形式語言和形式邏輯將它們當作毫無區別的“數學載體”進行統一的定量認知操作，而有時又感覺到它們之間似乎應該有所區別，只好就再編造另一些形式語言和形式邏輯將某些“無窮數學載體”當作確實有區別的“數學載體”進行定量認知操作（比如X→0 的各種數量形式、基數理論、實數不可數理論、超窮數理論……）.所以，各個“無窮悖論家族”的產生根本就無法避免、無法得到解決.因為不管多么努力，人們根本就不可能知道不同的“無窮數學載體”之間在本體與形式上是否有區別、具體的區別是什么、應該如何對不同的“無窮數學載體”開展科學、有效的定性、定量認知工作[1-43]？

我們引進由“抽象概念的載體基因（無窮數學載體的基因）”為基礎的“無窮數學載體尺度（抽象概念的載體尺度）”新概念.這個新概念專門用來表示那些由“載體基因”所決定的、保留“無窮數學載體”性質的最小或最大定量認知單位，使我們可以從不同角度對各種各樣不同的“無窮數學載體”開展科學、有效的定性、定量認知工作——表示最小或最大某種面積的數學載體尺度、表示最小或最大某種速度的數學載體尺度、表示最小或最大有理數的數學載體尺度……；自然數集合中所含元素的“無窮載體尺度”必然小于有理數集合或實數集合中所含元素的“無窮載體尺度”，因為自然數集合中所含元素的“自然數載體基因”決定了自然數集合中不可能會含有“非自然數載體基因”的元素（比如有理數或實數），即“有理數載體基因或實數載體基因”決定了有理數集合或實數集合中所含元素數量必然比自然數集合中所含元素數量多——有理數集合或實數集合中所含元素的載體尺度必然比自然數集合中所含元素的載體尺度大；任何母集中所含元素的“無窮載體尺度”必然大于其子集中所含元素的“無窮載體尺度”，即“母集中所含元素的無窮載體基因”決定了任何母集中所含元素數量必然比其子集中所含元素數量多——任何母集中所含元素的載體尺度必然比其子集中所含元素的載體尺度大；…….與“無窮”概念相關的數學領域中必然存在由“數學載體基因、數學載體尺度”所決定的大大小小的、具體的、不同的“無窮數學載體”，人們是在“無窮數學載體（而非‘無窮層次、更無窮、更更無窮……’這類抽象概念）”之間比較大、小，對它們進行定量認知！

3.2.4 量子數學

“抽象概念—抽象概念的載體”理論、新的無窮理論體系、載體理論、無窮數學載體基因、無窮數學載體尺度……等基礎理論的研究，決定了以新的無窮理論體系為基礎的“量子數學”的構建.這些新的工作思路將使人類比以往更科學、有效、系統地開展對無窮數學事物定量認知工作.

4 結論

我們的研究證明，人們憑感覺、無法自圓其說地談論和使用了千百年的“實實在在的、看得到、摸得著的實無窮”，本來就應該是一套包括如下與“無窮”概念密切相關的“無窮載體理論體系”中的新內容（遲到的“實無窮理論”）：新數量形式、新數譜、新集合定義、新集合的元素定義、新‘集合—元素’關系、新集合譜系、半阿基米德性、新數性、新集合性、新無窮數學載體、新無窮數學載體基因、新歐陽耿尺度（無窮數學載體尺度）、新極限論及其操作、新一 一對應理論及其操作…….新開發的“無窮數學載體理論體系”彌補了與“無窮”概念密切相關的集合論、數學分析、一 一對應理論和極限論的基礎理論缺失[8-12，36-41]，使我們有能力在以新的無窮理論體系為基礎的各個數學領域中對各種各樣“無窮數學載體”開展科學、系統、有效的定量認知工作.我們要珍惜、繼承前輩已經取得的許許多多與“無窮”概念密切相關的知識財富，但我們也要糾正由不科學的經典無窮理論體系中基礎理論缺陷所產生的許多錯誤，消除悖論，更要開辟新的科學認知領域[1-43].