基于魯棒濾波的細分驅動步進電機速度估計

霍寅龍， 周 復

(1. 上海交通大學 電子信息與電氣工程學院， 上海 200240；2. 上海安浦鳴志自動化設備有限公司 研發部， 上海 201107)

0 引言

混合式步進電動機(HBM)具有保持力矩大、安定性好、低速力矩大等優點，但也存在磁場飽和程度高、系統非線性強、參數難以測定[1]等問題。HBM最常見的應用是與細分驅動組成的位置開環控制系統，而速度閉環控制可進一步提升響應性能。因省去了機械位置傳感器，無位置傳感器估算HBM速度的方案有廣泛應用前景。

以擴展Kalman濾波器(EKF)作為觀測器來估算HBM轉子速度的方案依賴于對象準確的數學模型，依賴準確的估算對象數學模型，對參數變化的魯棒性較差。而HBM由于非線性過強，電感隨運行狀態時變劇烈等原因，更適合采用引入了魯棒控制思想的擴展H∞濾波(EHF)觀測算法。

現有的EHF估算步進電機轉子狀態的的方案已經證明EHF的估算精度和穩定性優于EKF[2]，但是這個研究存在一定局限性。首先，研究使用簡單的線性模型推導與仿真，模型不夠準確，不符合步進電機電感量非線性強、變化劇烈的特點；另外，研究中擴展H∞濾波對魯棒性的分析較為簡單，對哪些變量魯棒性強的闡述與驗證不足。

本文從HBM的磁場網絡模型入手，總結了非線性的兩個可疊加于最簡線性HBM模型中的特點，構造非線性模型。再根據其非高斯分布的過程噪聲，設計了擴展H∞濾波器作為觀測器估算HBM轉子速度的方案，并提出參數γ、cw、cv的計算公式。該方案相比擴展Kalman濾波觀測器，對電感L變化的魯棒性更強。

1 步進驅動模型的非線性

混合式步進電機與同步電機有統一的基礎數學模型，從磁網絡模型分析其等效電感可以獲得更精確的磁網絡模型與非線性模型。將該模型與細分驅動結合，可將電機的非線性模型描述為線性模型疊加非高斯分布的系統噪聲與參數不確定性的形式。

1.1 磁網絡模型

與永磁同步電機類似，步進電機的基本電壓平衡磁鏈模型[3]，如式(1)。

(1)

式中，ui、ii表示相端電壓與相電流；Ri表示相內阻；ei為相反電勢(i=A,B)；LAA、LBB表示相繞組自感；MAB、MBA為兩相間繞組互感。如果不計定子極間、端部與永磁體的漏磁，忽略磁滯、渦流，忽略飽和、轉矩波動和電感諧波分量[3]，可得到最簡線性模型的電壓和轉矩微分方程式，即其他分析常用的線性模型，如式(2)。

(2)

式中，ke表示反電勢系數；θe、ωe表示轉子電角度、電速度；L表示簡化的恒定電感量。

電機繞組的電感是定轉子電磁關系的定量表達，是步進電機模型非線性的主要體現。根據對兩相8極步進電機的磁網絡簡化模型的分析，繞組電感含有轉子電角度的2次諧波分量[1]，反電勢與速度獲得自感、互感與反電勢的表達式，如式(3)。

(3)

式中，L0、L2、ke表示與電機相關的常數，由繞組匝數和平均齒層磁導決定。將式(3)帶入基本模型式(1)，得到磁網絡模型的微分方程，如式(4)。

(4)

式中，L2c=L2cos 2θe，L2s=L2sin 2θe。

由于步進電機極對數多，飽和程度高，因此電感非線性程度大。文獻[4]提出了一種較準確但難于標定的非線性電感，如式(5)。

(5)

式中，L01，L21表示常數。

較準確的電感模型與磁路推導出的電感、反電勢模型式(3)有相似形式，可將其看做是式(3)疊加了以相電流為變量的非線性偏置。應用魯棒控制的觀點，可將非線性偏置L01|iA|、L01|iB|、L21|iA|、L21|iB|分別看做L0、L2在對應相方程內的參數不確定性，一種結構不確定性(structured uncertainty)[5]。設計觀測器的目標是增強對電感參數L的魯棒性。

1.2 與細分驅動結合的磁網絡穩態模型

細分驅動(Micro-Step)是步進電機的位置開環系統中應用最廣泛的驅動方式。該驅動方式的實質是控制恒定幅值的電流矢量產生旋轉磁鏈，帶動轉子旋轉。因電流閉環，AB 兩相實際電流合成矢量會跟隨并落后電流指令矢量一個角度，稱為功角。將兩相實際電流寫作，如式(6)。

(6)

式中，Iref表示電流指令幅值；θe表示轉子位置；Δθ表示步進電機功角。當負載恒定，電機勻速旋轉時，功角Δθ為恒值[6]。

將式(6)與式(3)代入式(1)后化簡，得到磁網絡的穩態運行電壓模型，如式(7)。

(7)

式中，三次余項wA=3ωeL2Irefsin(3θe+Δθ)/L0，wB=-3ωeL2Irefcos(3θe+Δθ)/L0。

不難看出，該式與最簡線性式(2)模型有相似的結構，區別是疊加了三階分量。因此，不妨將此三次項看作最簡電壓模型的過程激勵噪聲，噪聲幅值為3ωeL2Iref，而該噪聲能量有界。如果將更準確的式(5)替換掉原來的式(3)，代入式(1)后化簡，則可以得到比式(7)更完整的混合式步進電機非線模型。該非線性模型的推導，如圖1所示。

圖1 非線性模型分析過程

從以上分析可知，步進電機的非線性電壓模型可簡化為常用的最簡線性模型疊加兩類干擾：(1)范圍確定的電感不確定性；(2)能量有界的過程噪聲。而Kalman濾波算法要求噪聲符合高斯分布，不適用于處理該非線性。因此本文采用對噪聲統計特征無要求的H∞魯棒濾波器作為觀測器估算轉子速度，并提高對電感的魯棒性，兼顧兩類非線性的影響。

2 擴展H∞濾波觀測器設計

系統為處理外部干擾與內部結構產生的不確定性，利用H∞范數的概念來設計濾波器，其目標是最小化干擾輸入到濾波誤差輸出的H∞范數。相比于Kalman濾波器，H∞濾波器的優勢在于無需對輸入信號進行統計假設，而且有效折中了魯棒性和濾波精度。

2.1 擴展H∞濾波的求解

在實際系統中，通常使用次優H∞估計，對給定正數γ，找到H∞的次優遞推策略，令濾波和預測的最大能量增益||T||∞<γ。由系統增益的特性可知，當輸入信號的能量是單位有界時，系統傳遞函數的H∞范數，即為輸出的最大能量(h2范數)[7]。所以，||T||∞即是從輸入u到輸出y的最大能量增益，最大值設定為以γ2為上界。由于能量有上限，干擾的形狀、統計特性不會對濾波輸出造成過大影響。因此，H∞濾波由于γ的能量限制而對干擾具有魯棒性，γ為H∞濾波的特征性參數。

擴展H∞濾波適用于如下非線性離散系統，如式(8)。

(8)

式中，yk表示對xk的傳感器測量值；ak和ck表示非線性狀態函數；wk、vk分別表示系統的過程噪聲和測量噪聲，其協方差為Qk、Rk。

文獻[8]中證明，上述非線性離散系統與下列變比H∞問題有相同濾波解，如式(9)。

(9)

式中，Ak是ak的Taylor展開的一階項，過程噪聲和測量噪聲的變比cw和cv，cv2=1-γ2δ12-γ2δ32，cw2=cv2；pk與qk為ak和ck在估計點xk/k處Taylor展開的一階項與梯度之差，δ1與δ3則為高階項的誘導范數的上界。

求解上式，我們在不忽略高次項的同時可以獲得原非線性問題的擴展H∞濾波EHF的解，如式(10)

(10)

式(8)與(9)式的求解過程中，如果Taylor展開后忽略2階以上的項，即可得到擴展Kalman濾波的解。H∞濾波實質上就是 Krein 空間中的Kalman濾波[9]。

2.2 基于 EHF 的步進電機觀測器設計

考慮電機穩態即轉速變化趨近于0的情況，步進電機的最簡線性模型式(2)與轉矩、速度方程可寫作狀態方程形式，如式(11)。

(11)

(12)

根據H∞濾波的形式，將式(11)疊加非線性的過程噪聲項，組成非線性模型，再離散化、線性化，改寫為離散遞推公式形式，如式(13)。

(13)

Δ1是a(xk)的Taylor展開高階項，其二階即為k導數，計算導數平方和后得到二階范數邊界最小值，如式(14)。

(14)

wk作為過程噪聲，不考慮系統產生的白噪聲w1～w4，可根據表達式獲得除白噪聲外的過程噪聲最小能量，如式(15)。

(15)

于是，按照式(9)的形式構造步進電機非線性模型的擴展H∞濾波狀態觀測器的遞推解。其中關鍵參數變比cw、cv的最小值與參數γ的關系，如式(16)。

(16)

γ值的選取影響擴展H∞濾波的估計性能，γ越小，選取的噪聲能量范圍越小，抗干擾的魯棒性越強；而γ越大，濾波精度會越高。γ趨近于無窮大時EHF退化為EKF[8]。

3 仿真結果分析

利用Simulink搭建HBM及其細分驅動系統的仿真模型，如圖2所示。

圖2 HBM驅動系統與觀測器仿真

其中電機本體HBM Motor模塊以磁網絡模型構建，如圖3所示。

圖3 電機本體仿真模塊

圖3中的d/dtiA、d/dtiB、d/dtwe3個Fcn函數模塊分別表示A相電壓微分方程、B相電壓微分方程與電速度微分方程，f(u)函數使用式(4)的電壓方程與式(11)的轉矩、轉速方程。MOSFET Driver為功率放大電路仿真，Controller in DSC仿真了脈沖輸入的細分算法和電流環閉環控制。EHF估計模塊由式(10)設計，使用EKF與之對比。

電機模型的主要參數如下：極對數p=50，定子相電阻R=0.65 Ω，定子相電感(平均值)L0=6.4 mH(1 kHz 1Vrms)，變化范圍L2=1.0 mH，反電勢系數ke=0.768 5，轉動慣量J=900 g·cm2。細分驅動的PWM計算周期50 us，速度采樣頻率5 kHz。為兼顧運行速度，模型采用步長1 ms的ode23算法。

利用線性最簡模型式(2)設計5 kHz計算頻率的擴展H∞濾波EHF觀測器與擴展Kalman濾波EKF觀測器，觀測對象為磁網絡模型式(4)，同步估算步進電機旋轉時的動態轉速，比較二者的估算精度與抗干擾魯棒性。根據模型參數的計算，考慮電感參數不確定性的余量，設定擾動衰減因子、初始估計誤差、過程噪聲和測量噪聲的協方差依次為：γ2=0.1，P0=diag[0.01 0.1 1 0.1]，Q=diag[0.1 0.1 1 0.01]，R=diag[0.2 0.2]，cw、cv直接放入EHF估算器中根據γ計算。

仿真在0.4秒處增加6/s上升的外部負載，0.5 s恢復空載，1024細分驅動的仿真結果，如圖4所示。

圖4 EKF&EHF估算速度對比

比較仿真結果可以得出，EKF與EHF估算速度誤差最大為 0.808 與 0.797 rad/s，二者的動態性能接近。收斂后穩態波動小，估算速度穩態時波動峰峰值為 0.808 rad/s 與 0.362 rad/s，EHF的穩態波動更小，穩態性能更好。在負載變化過程中，EHF跟隨電機實際速度變化的能力也強于EKF。

然后，在1024細分下，測試了電感參數變化對EKF和EHF的估算性能變化，測試條件和結果，如表1所示。

表1 EKF與EHF性能對比

仿真圖像如圖5、圖6所示。

圖5 L=200% EKF&EHF估算速度對比

圖6 L=30% EKF&EHF估算速度對比

由結果可知，EHF穩態性能明顯優于EKF，抵抗電感變化的魯棒性更強。而在電感減小時，EHF的動態性能也優于EKF。

4 總結

本文根據二相混合式步進電機的磁路特點，對步進電機系統的數學模型的非線性來源做了分析，再結合細分驅動模式，將模型非線性項化簡為范圍確定的參數不確定性與能量有界的過程噪聲。針對模型噪聲能量有界的特性，設計了擴展H∞濾波器作為步進電機系統的狀態觀測器，實現了對轉子速度的估算。在對非線性的探討方面考慮了如下兩方面。

① 工程師根據過程噪聲部分設計濾波器的參數，給出γ與cw、cv的計算關系。

② 根據電感L的不確定性，設計了電感增大和減小的仿真實驗。

本文設計了兩種濾波器估算非線性步進電機模型速度的對比仿真，仿真結果表明，相比擴展Kalman濾波，擴展H∞濾波器估算速度的精確性較高，而且其抵抗電感變化的魯棒性更強。