三自由度機械手雅可比矩陣的建立及動力學仿真

蔡玉強，張文瑞

三自由度機械手雅可比矩陣的建立及動力學仿真

蔡玉強，張文瑞

（華北理工大學 機械工程學院，河北 唐山 063210）

基于ADAMS的仿真技術，對工業機械手進行運動學和動力學仿真上的分析。對于三自由度工業拾取機械手，通過D-H方法[1]建立每個連桿的參考坐標系，首先研究了機械手的主要理論及數學基礎，得到了機械手運動學的方程，給出抓取機械手的每個連桿與末端執行器之間的姿勢關系，并推導出機械手的運動學方程，利用微分變化法獲得雅可比矩陣。通過連桿間力和力矩的遞推求得力雅可比矩陣以驗證機械手建立的正確性。然后在ADAMS中對機械手運動進行仿真使用后處理模塊，在各個關節處分別添加驅動函數，并驗證了該機制的可行性。

機械手；三自由度；雅克比矩陣；ADAMS

近幾年工業機械手的發展十分迅速，應用在各行各業。機械手技術是一種跨學科的綜合技術，涉及到機械、力學、電氣液技術、自動控制技術等領域[1-2]。機械手作為生產設備實現了完全的自動化。工業機械手結合了人機之間在結構和性能上的優勢，特別體現了人的智能和適應能力。當前我國各個領域機械手的準確性和在復雜環境下工作都具有很好的發展前景。機械手目前仍需改進的是不如人的手靈活，但它不知疲勞、不懼危險，能持續不間斷地工作，并且抓重物的能力大于人。

工業機械手要根據現場要求來操作，即通過某種執行機構在空間中移動零件或工具。這需要對加工零件、工具以及機構本身的位置和姿態進行表達。

1 運動學分析

在工業機械手整個工作過程中，應該給機器本身以及執行端部較大的工作空間，且使機械手對作用對象有良好的承載能力。在結構形式上，機械手具有剛性、簡單的運動學正反解、機構件和末端的位置控制等特點。因此，機械手需要滿足運動、位姿等方面的性能要求，同時在豎直方向上，應具有合理的動作空間和便捷的操作性以及避障空間，使機械手在正常運作過程中，達到每項指標上的完整度。依據所需要的功能要求，設計了三個轉動關節機械手，如圖１所示。

圖1 機械手機構示意簡圖

機械手在空間的運動是每個桿件中的旋轉和平移合成作用的結果。在這種思想的基礎上，如果要想描述機械手的位置和姿態，就需要實現連續坐標變換矩陣。在計算各種機械手時，標準不統一使得計算方法較多、難以通用。

1955年，Denavit與Harenberg提出了機械手坐標系變換的D-H參數[4]，該方法系統化地解決了通用的問題，其需要4個參數來描述位置、方向與相鄰坐標系的關系。這種坐標系變換表示法適用于所有具有串聯結構的機械手，能解決其移動關節、旋轉關節、合成運動等的運動學計算。這種表示法得到的矩陣方程，在形式上更加統一規范，便于進行研究。

機械手的正運動學模型，反映的是關節和執行端部之間的聯系。為保證機械手末端位姿的正確求解，需要得到每個關節的精確角位移，因此采用D-H參數法，參數表如表1所示。

表1 D-H參數表

由表1中所示的連桿參數，可求得各連桿變換矩陣為：

式中：C＝Cosθ；S＝Sinθ；左側的0、1代表建立的坐標系0到1的位姿變換矩陣，1、2代表建立的坐標系1到2的位姿變換矩陣，以此類推。

求解各連桿在1＝2＝3＝0°下的位姿矩陣為：

1.1 雅可比矩陣

如果要建立執行端與電動機之間的聯系，顯示二者間的動力學特性關系，需要映射機械手桿件的每個關節。為了實現此目的，首先需要在機械手的執行末端和每個關節建立聯系，也就是對速度和加速度建立連接，這就需要建立機械手的雅克比矩陣。把系統動力學特性完全映射到機械臂上。

雅可比矩陣是機械手的工作空間與關節空間的動態參數之比，其行數表示操作空間的維數、列數表示機械手的關節數。本文研究的機械手其雅克比矩陣為3×3階。

求解雅可比矩陣的方法通常有兩種：一種是矢量積分法，另一種是微分變換法。本文研究的是串聯機械手的結構特點，只有轉動關節，不存在高階求解的困難，所以兩種求解方法皆可行。考慮到微分變換法計算量相對較小，這里采用微分變換方法。

機械手的雅可比矩陣可以將機械手的關節空間與操作空間的速度、力和力矩聯系起來形成映射關系。即，機械手的雅可比矩陣主要是為了表達關節空間和操作空間之間的關系[5]。

機械手的雅可比矩陣，通常是指從桿件的運動空間到執行端的動作空間，有：

由于機械手全部為轉動關節，所以微分變換法應使用：

式中：J為每一列的雅可比矩陣；表示位姿矩陣1～4列的參數。

雅克比矩陣是相對于末端坐標系構建的，則有：

式中：為變換矩陣的前三行三列矩陣；J為基端坐標系的雅可比矩陣。

對于三連桿的操作臂，可以寫出一個3×3的雅克比矩陣，該矩陣將關節速度和末端執行器的速度聯系起來，解得雅克比矩陣為：

1.2 奇異性分析

多數操作臂都有使雅克比矩陣出現奇異的值。所有操作臂在工作空間的邊界都存在奇異位形，且多數操作臂在其工作空間內也有奇異位形。當2為0或180°時，機構處于奇異位形。從物理意義上講，當2＝0時，操作臂完全展開，處于這種位形時，末端執行器僅可沿坐標的某個方向運動，即失去了一個自由度。同樣，當2＝180°時，操作臂完全收回時，手臂也只能沿著一個方向運動，而不能在兩個方向運動。由于這類奇異位形處于操作臂工作空間的邊界上，因此稱其為工作空間邊界的奇異位形。

1.3 力雅克比矩陣求解

機械手在作業過程中，各關節產生相應的作用力。由機械手每個關節的驅動裝置提供的關節力，通過連桿傳遞到執行端，并克服外界作用力。

機械手的末端執行器受到外載荷作用，各關節的驅動力（矩）通過連桿傳遞到末端執行器，從而克服外界作用力（矩）。

該機械手是由各個連桿和各種關節相連接組成，把其中一個連桿作為靜力分析的對象。連桿及相鄰連桿－1間的作用力和作用力矩關系，如圖2所示。

圖2 鄰桿之間力和力矩關系

連桿的力和力矩平衡方程在坐標系{}中表示為：

式中：矢量左上標為該矢量在坐標系{}中的表示；r為連桿的質心相對于{}的表示；p1為坐標系{＋1}原點相對于坐標系{}的表示。

忽略連桿自身的重力，式（4）寫成反向迭代的形式，為：

通過旋轉矩陣將式（5）右端力（矩）表示在自身坐標系{＋1}中，在忽略連桿自重的情況下，根據力和力距平衡方程，從末端連桿開始逐次向基坐標反向遞推，得到各連桿所受到的力和力矩。利用連桿變換矩陣[3]，將力和力矩寫成在自身坐標系中的表示，計算每個關節驅動力和力矩，從而得到由操作力矩向各個關節力和力矩映射的雅克比在末端連桿坐標系的描述：

為了求出保持系統靜平衡所需要的關節力矩，應計算關節軸矢量和施加在連桿上的力矩矢量的點積，于是有：

得力雅克比矩陣：

對所得計算結果進行分析驗證，得出力雅克比矩陣是雅克比矩陣的轉置。證明此機構建立的正確性，為今后的動力學分析奠定了基礎。

2 基于ADAMS對機械手動力學仿真

2.1 SolidWorks運動學模型的建立

本文所分析的機構是在SolidWorks軟件下進行實體建模，如圖3所示。幾何建模后，通過各種約束來限制構件間的自由度，以達到需要的相對運動，以此就把各構件連接成一個機械系統。

圖3 機械手簡化模型

2.2 機械手動力學分析

前面研究了機械手的靜態位置、靜態力和速度，但還未考慮引起運動所需的力。機械手是一個不斷運動、受到各種力的動力系統，為多參數變量的非線性耦合系統[9]。機械手動力學主要研究的是機械手各個關節的運動與關節需要的驅動力之間的關系。

現今求解動力學問題的方法主要分為兩大類：一是運用機械手運動參數，遞推并建立牛頓－歐拉方程，另一類是利用機械系統、能量平衡，對機械手的變量參數進行微分，求得機械手各關節變量。

本文采用拉格朗日法建立動力學方程，為今后進行伺服電機和減速機的選型做理論基礎準備。伺服電機的選型應該盡量較精確地符合運動模型，這樣便于優化機電系統，有利于精確控制。

流程如圖4所示，先求得機械臂的動能和勢能，然后建立拉格朗日函數，最終對函數求導并得到動力學方程。

圖4 拉格朗日動力學方程求解示意圖

三自由度機械臂的動能、勢能分別為：

式中：1、2、3分別為桿1、2、3的動能；1、2、3分別為桿1、2、3的勢能；m為負載質量。

拉格朗日動力學公式給出了一種從標量函數推導動力學方程的方法，這個標量函數為拉格朗日函數，即一個機械系統的動能和勢能的差值：

式中：和可以用任何方便的坐標來表示。

則機械手的動力學方程可表示為：

2.3 動力學仿真

在SolidWorks中完成建模后，注意保證各個零件的相對位置關系，減少在ADAMS中的更改。在SolidWorks插件中找到SolidWorks Motion勾選，進行運動算例1，選擇Motion分析，選中模型右鍵“輸出到ADAMS”[10]，最后在ADAMS環境中生成三自由度機械手的虛擬樣機如圖5所示。機械手各組件的連接如表2所示。

對機械手運動進行仿真、使用后處理模塊，在各個關節處分別添加如下驅動函數：

STEP( time , 0 , 0d , 1 , -60d )

STEP( time , 0 , 0d , 1 , -60d )

STEP( time , 0 , 0d , 1 , 60d )

圖5 虛擬樣機

表2 機械手各組件的連接

繪制各個關節力矩、角度、角速度、角加速度隨時間的變化曲線，如圖6所示。

機械臂的旋轉角度變化導致動力學各個參數發生變化，在一定時間內，轉角越大、速度越快，每個關節所需驅動力矩也就越大。

3 結論

（1）采用D-H參數方法，建立了三自由度機械手運動學模型，并得到了機械手運動學正解。當已知關節角位移變量時，可以獲得機械手末端相對于基座的位置。

（2）獲得機械手的雅可比矩陣和力雅可比矩陣，并相互驗證以獲得正確的結果，為今后動力學分析奠定了基礎。

（3）利用ADAMS軟件對機械手添加運動約束驅動并進行仿真，得到各關節處力矩、角度、角速度、角加速度的關系曲線，為機械手控制的研究奠定了基礎。

圖6 各關節參數的變化曲線

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The Establishment and Dynamics Simulation of Three-Degree-of-Freedom Manipulator Jacobian Matrix

CAI Yuqiang，ZHANG Wenrui

( School of Mechanical Engineering, North China University of Science and Technology, Tangshan 063210, China )

Through the simulation technology based on ADAMS, this paper analyzes the kinematics and dynamics simulation of industrial machinery. For the three-degree-of-freedom industrial pick-up robot, the reference coordinate system of each link is established by the DH method. First, the main theory and mathematical foundation of the robot are studied, and the kinematics equations of the robot are obtained. The posture relationship between the connecting rod and the end effector is derived, the kinematic equation of the robot is developed, and the Jacobian matrix is obtained by the differential change method. Through the recursion of the force and moment between the connecting rods, deli Jacobian matrix is obtained to verify the correctness of the robot establishment. Then the manipulator motion was simulated in ADAMS using the post-processing module. The driving function was added to each joint respectively, and the feasibility of the mechanism was verified.

manipulator；three-degree-of-freedom；Jacobian matrix；ADAMS

TH113

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2020.12.009

1006－0316 (2020) 12－0061－07

2020－07－14

河北省教育廳項目（2019GJJG216）；華北理工大學博士啟動基金項目（BS2017094）

蔡玉強（1967－），男，河北唐山人，博士，教授，主要研究方向為機械機構學與機械動力學，E-mail：caiyq@ncst.edu.cn。