對2016年江蘇卷第14題的進一步探析和論證

◇ 安徽 邢樂萍

深刻理解題設物理條件,是解決物理綜合問題的關鍵．在一道高考試題的研究中,學生對題設條件提出了質疑,本文對此做了進一步探析和論證,并指出：要使物塊不脫離斜面,斜面傾角須滿足一定的條件,不能取任意值；物塊不脫離斜面時,繩子不會松弛．

1 高考真題回放和學生的質疑

例(2016年江蘇卷第14題)如圖1所示,傾角為α的斜面A被固定在水平面上,細線的一端固定于墻面,另一端跨過斜面頂端的小滑輪與物塊B相連,B靜止在斜面上．滑輪左側的細線水平,右側的細線與斜面平行．A、B的質量均為m．撤去固定A的裝置后,A、B均做直線運動．不計一切摩擦,重力加速度為g．求：

圖1

(1)A固定不動時,A對B支持力的大小FN；

(2)A滑動的位移為x時,B的位移大小s；

(3)A滑動的位移為x時的速度大小vx．

高考參考答案(1)A固定不動時,對物塊根據平衡條件,支持力的大小FN＝mgcosα．

(2)根據幾何關系sx＝x(1－cosα),sy＝xsinα,,由以上各式得

(3)物塊B下降高度sy＝xsinα,對A、B系統,由機械能守恒定律有,結合,則有

學生對第(2)、(3)兩問的解析提出了質疑：

1)題設條件“A、B均做直線運動”,但題設中并沒有說物塊B始終在斜面上,為何上述解析默認了物塊B始終在斜面上呢?也就是說斜面傾角α取任意值時,物塊B均不會脫離斜面嗎?2)若物塊不脫離斜面,繩子會不會松弛呢?3)若物塊B脫離了斜面,還能做直線運動嗎?

2 對學生質疑的進一步探析和論證

其實學生的質疑,是對題設條件的邏輯關系的質疑．若物塊不脫離斜面,則物塊做直線運動(這個命題的正確性比較容易證明,詳見下面的論證),即題設條件“A、B均做直線運動”是物塊不脫離斜面的必要條件,但其充分性,也就是逆命題“若物塊B做直線運動,則物塊不脫離斜面”的正確性并非不證自明的,邏輯嚴密的學生解答此題時就卡在這里．因為他們知道“原命題正確,其逆命題不一定正確”,而在沒有證明的前提下,他們不敢直接應用逆命題“若物塊B做直線運動,則物塊不脫離斜面”求解該題．可見,參考答案的解析缺乏邏輯嚴密性．

2.1 物塊B做直線運動的論證

若物塊B不脫離斜面,設物塊相對于斜面的速度為v相對,由于繩子不可伸縮,則v相對＝vA,根據速度合成(絕對速度＝牽連速度＋相對速度),物塊的速度vB是斜面速度vA＝vx和v相對的矢量和,如圖2所示．因此,物塊B的速度大小

圖2

這樣,已證明了“若物塊B不脫離斜面,則物塊B做直線運動”是正確的,即物塊B做直線運動是物塊不脫離斜面的必要條件．但其逆命題“若物塊B做直線運動,則物塊不脫離斜面”不一定是正確的,即物塊B做直線運動是不是物塊不脫離斜面的充分條件,尚需進一步證明后才能應用．筆者認為在中學物理的范疇內這個充分條件無法證明,期待老師們做進一步研究證明．因此,筆者認為題目中應明確已知“物塊B不脫離斜面且做直線運動”．

2.2 物塊不脫離斜面的條件的進一步探析

圖3

假設物塊不脫離斜面,任意時刻由于斜面后退的速度大小等于物塊相對于斜面運動的速度的大小,所以斜面加速度a與物塊相對于斜面的加速度a相對大小相等,物塊對地的加速度是斜面加速度a與物塊相對于斜面的加速度a相對的矢量和,如圖3所示．根據牛頓第二定律,在水平方向上對斜面和物塊整體有F＝ma＋m(a－acosα),在平行于斜面方向對物塊有

在垂直于斜面方向對物塊有

解得

對式①～③討論如下：

2)物塊B不脫離斜面時,由圖3中加速度矢量關系和式②可知,當物塊不脫離斜面時,斜面和物塊加速度恒定(大小和方向不變),物塊和斜面做勻加速直線運動．

因此,題目第(2)問可由勻變速直線運動的公式得A滑動的位移為x時的速度大小

3)由式③可知,FN并不總是大于零．要使物塊不脫離斜面,須有,則需滿足cosα－(1－cosα)2＞0,即物塊不脫離斜面的條件是：斜面傾角需滿足(取“＝”時,物塊在斜面上且FN＝0,是脫離和不脫離的臨界條件)．

可見,要使物塊不脫離斜面,斜面傾角不能取任意值,但題中并沒有說明斜面傾角的范圍,物塊有可能脫離斜面,因此學生的質疑是有道理的．

綜上所述,證明“若物塊B做直線運動,則物塊不脫離斜面”或者它的逆否命題“若物塊脫離斜面,就不做直線運動”的正確性是解題的關鍵,但高中學生很難證明這個問題．思維嚴謹的考生想證明卻證明不了,反而在此處形成解題的思維障礙,不能順利解答．因此,筆者認為題設中應明確已知“物塊B不脫離斜面且做直線運動”更好．