基于滑模變結(jié)構(gòu)的小型渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)加速控制

鄭里鷲，田 鈞，龍 飛，王根輝

（中國特種飛行器研究所，荊門448035）

作為一種具有強(qiáng)魯棒性和強(qiáng)抗干擾能力的非線性控制方法，國內(nèi)外許多學(xué)者將滑模變結(jié)構(gòu)控制方法應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中[1-4]。文獻(xiàn)[5]提出了一種基于滑?？刂坪托滦颓袚Q邏輯的多輸入多輸出方案，實(shí)現(xiàn)輸出約束條件下的航空發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)定點(diǎn)跟蹤；文獻(xiàn)[6]將滑?？刂朴糜跇?biāo)稱和發(fā)動(dòng)機(jī)故障的飛行模式，通過高保真飛行模擬驗(yàn)證，該控制器在發(fā)動(dòng)機(jī)故障、有界外部干擾和存在不確定的慣性矩陣的情況下具有良好的性能；文獻(xiàn)[7]針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)不確定性分布式控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)了具有魯棒性能的自適應(yīng)滑?？刂破鳎晃墨I(xiàn)[8]基于區(qū)域極點(diǎn)配置的混合范數(shù)綜合法計(jì)算滑?？刂破鲄?shù)，設(shè)計(jì)了渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)滑模參數(shù)限制調(diào)節(jié)器；文獻(xiàn)[9]提出一種自適應(yīng)全局快速非奇異終端滑?？刂品椒ǎ哂休^強(qiáng)的魯棒性和快速響應(yīng)能力；文獻(xiàn)[10]提出一種基于人工蜂群算法的新型非線性滑模控制器設(shè)計(jì)方法，使閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)性能。上述文獻(xiàn)大多將滑模控制結(jié)合其他非線性控制方法應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)控制以及限制保護(hù)控制中，目前基于滑模變結(jié)構(gòu)的航空發(fā)動(dòng)機(jī)過渡態(tài)控制的研究較少。

1 相關(guān)理論

1.1 廣義Gronwall-Bellman 引理

引用Gronwall-Bellman 引理對(duì)狀態(tài)變量范數(shù)的收斂速度進(jìn)行研究，通過系統(tǒng)反饋矩陣的設(shè)計(jì)來對(duì)狀態(tài)變量范數(shù)的邊界特性進(jìn)行調(diào)節(jié)，使得閉環(huán)系統(tǒng)獲得期望的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能。為便于分析，引入廣義Gronwall-Bellman 引理[11]。

引理1當(dāng)t∈I=［a，b］時(shí)，ρ（t）、z（t）和w（t）非負(fù)連續(xù)，如果存在c＞0，n＞1 且為整數(shù)，當(dāng)：

如果有：

則有：

1.2 冪次趨近律

本文控制系統(tǒng)趨近運(yùn)動(dòng)采用冪次趨近律進(jìn)行設(shè)計(jì)，在此對(duì)該趨近律進(jìn)行簡要介紹。冪次趨近律如下：

式中：η＞0；1＞α＞0；s（0）=s0。文獻(xiàn)[12]給出在趨近運(yùn)動(dòng)階段s 滿足：

式中：

當(dāng)系統(tǒng)采用冪次趨近律時(shí)，通過選取適當(dāng)?shù)摩呛挺?可使系統(tǒng)能在有限的時(shí)間t0平滑地進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)，能有效地消除抖振。

2 發(fā)動(dòng)機(jī)非線性模型

控制對(duì)象DGEN380 發(fā)動(dòng)機(jī)非線性模型來自文獻(xiàn)[13]，該文獻(xiàn)在線性模型基礎(chǔ)上，引入一般非線性項(xiàng)f（Δx），對(duì)基準(zhǔn)線性模型進(jìn)行修正，拓寬模型工作范圍，該模型如下：

3 加速控制律設(shè)計(jì)

當(dāng)航空發(fā)動(dòng)機(jī)在設(shè)計(jì)進(jìn)口條件下從穩(wěn)態(tài)點(diǎn)a 切換到設(shè)定點(diǎn)b 時(shí)；從該發(fā)動(dòng)機(jī)的部件級(jí)穩(wěn)態(tài)模型可求得穩(wěn)態(tài)點(diǎn)a 對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)值xa=［n1，a；n2，a］，以及穩(wěn)態(tài)點(diǎn)b 對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)值xb=［n1，b；n2，b］。轉(zhuǎn)速切換指令d：n1從n1，a變化到n1，b由階躍輸入給定，n2從n2，a變化到n2，b由階躍輸入給定。引入誤差變量ε，對(duì)于非線性模型（8）有：

式中：Δxd=xb-xa，ε（0）=Δxd，下標(biāo)d 表示轉(zhuǎn)速切換指令。從而有：

3.1 滑動(dòng)模態(tài)設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)ε→0，設(shè)計(jì)滑模函數(shù)：

式中：G=［g，1］，令GB=1，為使滑動(dòng)模態(tài)不喪失其物理概念，設(shè)計(jì)補(bǔ)償算法設(shè)計(jì)為

式中：z 為補(bǔ)償器狀態(tài)；G 和K 為待求系數(shù)矩陣。對(duì)于非線性模型：

當(dāng)系統(tǒng)處于滑動(dòng)模態(tài)時(shí)，由s=0，s˙=0 可求得等效控制律Δueq為

將式（14）代入式（10）可得：

取備選Lyapunov 函數(shù)：

根據(jù)Lyapunov 定理，如果存在正常數(shù)h3使得：

則系統(tǒng)（15）在ε=0 處指數(shù)穩(wěn)定。對(duì)式（17）進(jìn)行分析，針對(duì)εT（MT+M）ε，可設(shè)計(jì)等效控制律Δueq參數(shù)的LMI（linear matrix inequality）約束如下：

則有：

針對(duì)2εTg（ε）有：

針對(duì)‖ξ‖2有：

結(jié)合式（21）～式（23）有：

將式（20）、式（24）代入式（17）可以得到：

式中：ψ=‖（I-BG）F‖2，如果存在：

則存在正常數(shù)h3=2（θ1-ψ‖ε‖2-2ψ‖Δxd‖2）滿足式（18）的約束條件。

由上述分析可以得到，當(dāng)M 滿足式（19）時(shí)，如果ε 滿足如下約束條件：

則系統(tǒng)（15）在ε=0 處指數(shù)穩(wěn)定。同時(shí)可以得到式（27）的約束是滑動(dòng)模態(tài)吸引區(qū)的估計(jì)，當(dāng)系統(tǒng)由趨近運(yùn)動(dòng)階段進(jìn)入滑模運(yùn)動(dòng)階段，即t=t0時(shí)，如果狀態(tài)變量Δx（t0）在式（27）的約束區(qū)域內(nèi)，則滑模運(yùn)動(dòng)指數(shù)穩(wěn)定。

3.2 趨近運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)

利用趨近律對(duì)趨近運(yùn)動(dòng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，并基于廣義Gronwall-Bellman 引理對(duì)狀態(tài)偏差量范數(shù)‖ε（t）‖2進(jìn)行分析。取趨近律：

可以得到：

結(jié)合式（13）可以得到：

在趨近運(yùn)動(dòng)階段，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)滿足z=s-Gε 的限制，可以得到控制律為

將控制律（31）代入式（15）可以得到，在趨近運(yùn)動(dòng)階段，即t∈［0，t0］：

當(dāng)系統(tǒng)趨近律采取上文所述冪次趨近律時(shí)，式（32）的解s（t）滿足：

對(duì)于非線性狀態(tài)方程常常需要分析其解的邊界。根據(jù)Wazewski 給出的估計(jì)式[14]，‖eMt‖2滿足

結(jié)合式（33）、式（34）可以得到‖ε（t）‖2滿足：

由式（35）可以看出‖ε（t）‖2與e-θt和有關(guān)， 可通過對(duì)趨近律的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)對(duì)‖ε（t）‖2邊界的調(diào)節(jié)。對(duì)于當(dāng)系統(tǒng)采用冪次趨近律s˙=-η·sgn（s）時(shí)：

設(shè)計(jì)指數(shù)趨近律參數(shù)η≥θ，從而可以得到：

可以得到：

山西省忻州市大棚種植的經(jīng)作物主要是黃瓜、甜瓜、芹菜等。為了擴(kuò)大云天化品牌在忻州市場的知名度，讓農(nóng)民感性認(rèn)識(shí)云天化系列復(fù)合肥，積攢老百姓的口碑，特做此試驗(yàn)示范。

將式（38）代入式（35）可以得到‖ε（t）‖2滿足：

在t∈［0，t0］，分別取n=2，z（t）=‖ε（t）eθt‖2，ρ（τ）=2ψ‖Δxd‖2，c=φ，w（τ）=ψe-θτ，根據(jù)引理1，如果系統(tǒng)趨近運(yùn)動(dòng)階段初始條件滿足關(guān)系式（2），則z（t）=‖ε（t）eθt‖2滿足關(guān)系式（3）的約束關(guān)系。下面對(duì)系統(tǒng)趨近運(yùn)動(dòng)初始條件進(jìn)行討論。

令：

則有：

從而可以得到：

由上式可以得到‖ε（t）‖2滿足如下邊界特性：

由式（44）進(jìn)行變換可得：

可以得到：

綜上述可得，當(dāng)系統(tǒng)初始條件φ=‖Δxd‖2+‖B‖2滿足式（40）時(shí)，式（46）成立，即趨近運(yùn)動(dòng)階段狀態(tài)變量范數(shù)邊界滿足式 （27）的約束，從而可以得到，在滑模運(yùn)動(dòng)階段，‖ε（t）‖2處于滑模態(tài)吸引區(qū)內(nèi)，由此可得滑模到達(dá)后滑模運(yùn)動(dòng)指數(shù)穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且能及時(shí)地跟蹤轉(zhuǎn)速切換指令。同時(shí)可以得到，在趨近運(yùn)動(dòng)階段，在冪次趨近律的作用下，如果系統(tǒng)初始條件滿足式（40）的約束，則‖ε（t）‖2滿足式（46）的邊界約束，可通過對(duì)趨近律參數(shù)的選取來調(diào)節(jié)狀態(tài)變量二范數(shù)軌跡。

4 仿真結(jié)果與分析

對(duì)上述設(shè)計(jì)的滑?？刂坡蛇M(jìn)行仿真。在本文中取k=2，利用Matlab 中的Yalmip 工具箱求解式（19），得到G=［2.2657，1］，K=［-0.5521，05796］，θ=1.8096，取冪次趨近律參數(shù)η=2，α=5/7。

仿真1：系統(tǒng)由油門桿位置50%切換到60%時(shí)，對(duì)應(yīng)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)狀態(tài)變量x=［n1；n2］由該發(fā)動(dòng)機(jī)的部件級(jí)穩(wěn)態(tài)模型得到， 轉(zhuǎn)速切換指令由階躍輸入給定，其中Δxd＝［0.01129；0.01398］。由式（6）可求得滑模到達(dá)時(shí)間t0=0.6954，可得到φ+2‖Δxd‖2＝0.0729≤0.3905，可得初始條件滿足式（40）的約束，結(jié)果如圖1 所示。

圖1 仿真1 的系統(tǒng)轉(zhuǎn)速指令跟蹤響應(yīng)：狀態(tài)、滑函數(shù)和控制輸入Fig.1 System speed command tracking response of simulation 1：status，sliding function and control input

仿真2：油門桿位置從50%切換到70%時(shí)，其中Δxd＝［0.03617；0.04608］，滑模到達(dá)時(shí)間為t0=0.9727，得到φ+2‖Δxd‖2＝0.2402≤0.3905，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 仿真2 的系統(tǒng)轉(zhuǎn)速指令跟蹤響應(yīng)：狀態(tài)、滑函數(shù)和控制輸入Fig.2 System speed command tracking response of simulation 2：status，sliding function and control input

仿真3： 油門桿位置從50%切換到80%時(shí)，Δxd＝［0.0431；0.0553］，滑模到達(dá)時(shí)間為t0=1.0234，可以得到φ+2‖Δxd‖2＝0.2880≤0.3905，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 仿真3 的系統(tǒng)轉(zhuǎn)速指令跟蹤響應(yīng)：狀態(tài)、滑函數(shù)和控制輸入Fig.3 System speed command tracking response of simulation 3：status，sliding function and control input

由圖1、圖2 和圖3 可以看出，在仿真過程中，對(duì)于給定轉(zhuǎn)速切換指令，閉環(huán)系統(tǒng)能快速跟蹤給定轉(zhuǎn)速，幾乎沒有穩(wěn)態(tài)誤差，在滑動(dòng)模態(tài)階段不存在抖振現(xiàn)象。

5 結(jié)語

以DGEN380 發(fā)動(dòng)機(jī)為研究對(duì)象， 設(shè)計(jì)了小型渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)加速滑?？刂坡?，在滑?？刂破鲄?shù)的設(shè)計(jì)中引入廣義Gronwall-Bellman 引理， 給出了跟蹤誤差范數(shù)的理論約束公式，在一定轉(zhuǎn)速切換指令下可通過控制律參數(shù)的選取對(duì)跟蹤誤差范數(shù)邊界進(jìn)行調(diào)節(jié)，保證了閉環(huán)控制系統(tǒng)指數(shù)收斂于新平衡狀態(tài)。對(duì)上述加速控制律進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果表明：閉環(huán)系統(tǒng)能及時(shí)地跟蹤轉(zhuǎn)速切換指令且系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)特性良好，幾乎沒有穩(wěn)態(tài)誤差，具有良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了簡單的加速控制，為小型渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)過渡態(tài)控制律的分析與設(shè)計(jì)提供了一種有效思路。