函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學解題中的應用

吳 強

(江蘇省寶應縣氾水高級中學 225819)

函數(shù)與方程的數(shù)學思想通常包含了兩方面，即函數(shù)思想和方程思想，所謂函數(shù)思想，其主要指通過函數(shù)的性質(zhì)與概念進行數(shù)學問題的分析、轉(zhuǎn)換與解決，而對于方程思想而言，則是依據(jù)數(shù)學問題當中存有的數(shù)量關系，應用學習與掌握的相關數(shù)學語言，將數(shù)學問題中已知的條件轉(zhuǎn)變?yōu)榭捎行Ы鉀Q問題的數(shù)學模型.在教師教與學生學的過程當中，通常會遇到很多函數(shù)問題，教師需引導學生通過函數(shù)與方程的思想解決與理解相關數(shù)學問題，這不僅能促使學生實現(xiàn)靈活的運用相關解題思想，而且還能實現(xiàn)高效解題，從而使學生的解題正確率與效率得到有效提高.

一、高中數(shù)學的函數(shù)與方程思想概述

函數(shù)作為高中數(shù)學中的主線，其主要是通過運動、聯(lián)系、變化的觀點，對客觀世界當中的關聯(lián)量存在的關系實施研究與描述，并構(gòu)成變量數(shù)學的重要分支與基礎.函數(shù)思想主要是將相關函數(shù)知識作為基石，通過運動變化的數(shù)學觀點，對數(shù)學對象之間存有的數(shù)量關系進行研究，以促使函數(shù)知識的具體應用得到廣泛擴展，并實現(xiàn)解題活動豐富與優(yōu)化的同時，為學生解決數(shù)學題提供強有力的創(chuàng)新能力，這就使函數(shù)與方程的解題思想逐漸成了高考中的考查熱點.而方程思想則指通過數(shù)學問題當中的變量存在的直接關系分析，構(gòu)建起相應的方程或者方程組，或通過構(gòu)造方程，解方程或方程組，應用方程性質(zhì)實現(xiàn)數(shù)學問題的分析、轉(zhuǎn)化與解決.方程思想通常要求對于相關方程概念具有深刻認知，在解決數(shù)學題的時候，可通過方程或者方程組對相關數(shù)學問題實施分析與處理.

對于函數(shù)與方程而言，其雖然是不同的兩個數(shù)學概念，但二者卻存有密切的聯(lián)系，就高中數(shù)學的角度而言，函數(shù)與方程的思想通常在這兩方面對于解題有著重要作用.首先，與初等函數(shù)有關的性質(zhì)相聯(lián)系，解決與求值、求解方程、解不等式與參數(shù)的取值范圍等相關的問題；其次，可通過函數(shù)關系式與輔助函數(shù)的構(gòu)造，將需求解出的數(shù)學問題轉(zhuǎn)變?yōu)樘接懞瘮?shù)有關性質(zhì)的數(shù)學問題，最終實現(xiàn)數(shù)學題解答難度的降低.

二、函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學解題中的應用策略

1.函數(shù)與方程思想在方程問題解答中的應用

高中數(shù)學需要學習的函數(shù)通常有許多類型，如對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)等.面對常規(guī)的方程問題，可經(jīng)過分離變量轉(zhuǎn)變成對應函數(shù)，以函數(shù)圖像開展分析，面對較為復雜的方程問題，可通過換元法進行新函數(shù)的構(gòu)建，通過新函數(shù)的研究找出數(shù)學問題的答案.在方程問題的教學中，不僅需注重理論知識的講解，還需它能夠結(jié)合具體例題，為學生更好的解題做好示范，以促使學生充分掌握與運用函數(shù)與方程彼此的轉(zhuǎn)換思路.另外，數(shù)學教師還需引導學生在理論知識學習當中強化習題訓練，并對經(jīng)典習題進行認真剖析，從而實現(xiàn)舉一反三的教學目的.

例如，已知函數(shù)f(x)=2cos2x+cosx-1，g(x)=cos2x+a(cosx+1)-cosx-3，設兩個函數(shù)圖像在(0,π)內(nèi)至少存有一個公共點，求a的最小值.

讀懂題目且實施巧妙轉(zhuǎn)化通常是運用函數(shù)與方程思想進行解題的關鍵，兩函數(shù)圖像在給出的區(qū)間中至少存有一個公共點，也就是若兩函數(shù)相等的時候，就能將其轉(zhuǎn)變成方程問題.

已知f(x)=g(x)在(0,π)內(nèi)存有解，也就是2cos2x+cosx-1=cos2x+a(cosx+1)-cosx-3，將其化簡為：a(1+cosx)=(cosx+1)2+1.因為x∈(0,π)，也就是0<1+cosx<2，那么，a=1+cosx+1/(1+cosx)≥2，當且僅當1+cosx=1/(1+cosx)時，即cosx=0時，a取最小值2.

2.函數(shù)與方程思想在求解參數(shù)范圍中的應用

求解參數(shù)的范圍屬于高中數(shù)學具體教學當中的典型題型，在對該類習題進行解答時，通常有兩種思路：第一，認真審題，對已知條件當中存有的不等式關系進行深入挖掘，應用不等式的相關知識對參數(shù)范圍進行求解；第二，通過題干當中存有的等量關系進行對應函數(shù)的構(gòu)建，并在定義域中求解出函數(shù)的具體取值范圍.數(shù)學教師在對參數(shù)范圍求解的教學中，不僅需注重有關的例題選擇與講解，而且還需促使學生深刻理解與掌握函數(shù)與方程思想的運用步驟，并明確相關注意事項，引導與鼓勵學生積極歸納總結(jié)出函數(shù)與方程思想在具體解題中的運用技巧，從而實現(xiàn)高效解題.

已知a、b是正數(shù)，滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍.

本題的題干較為簡單，已知的條件十分明了，其解題的方法也比較多，但關鍵是找出最為簡便的解法.根據(jù)題干的已知條件可知，其涉及兩個參數(shù)的和與兩個參數(shù)的積，據(jù)此可以聯(lián)想出一元二次方程的兩根之間的關系，通過函數(shù)知識加以解答.假設ab=t，依據(jù)ab=a+b+3可知a+b=t-3，因此，可進行方程構(gòu)造：x2-(t-3)x+t=0，明顯可知a，b是其兩個正根，由此可得出下述關系：Δ=(t-3)2-4t≥0，t-3>0，t>0，解得：t≥9.即ab的取值范圍是[9,+∞).

3.函數(shù)與方程思想在不等式問題解答中的應用

高中數(shù)學的不等式問題通常與恒成立問題有著密切聯(lián)系，不等式求解的時候，不僅需注重不等式的基本知識，還需注重通過函數(shù)與方程思想的運用實施解答.經(jīng)過移項構(gòu)造新函數(shù)、分離參數(shù)等各種方式，通過函數(shù)知識求取函數(shù)的最值屬于較為常見的一種解題思路.不等式所反映出的不等量關系，通常需以等量關系進行解決，即方程.函數(shù)和不等式之間的互相轉(zhuǎn)換，就函數(shù)y=f(x)而言，在y>0的時候，就能轉(zhuǎn)變成不等式f(x)>0，通過函數(shù)的性質(zhì)與圖像相輔助，就能實現(xiàn)不等式相關問題的解決，且函數(shù)性質(zhì)的研究也和不等式有著直接關系.

例如，設不等式2x-1>m(x2-1)對滿足|m|≤2的所有實數(shù)m都成立，求x的取值范圍.

學生在對本題解決時，依據(jù)其思維定勢，通常會將此題當做是與x有關的不等式探討，但是，如果換個角度，將m當做變量，就是與m有關的一次不等式，即(x2-1)m-(2x-1)<0在m∈[-2,2]上恒成立，由此可轉(zhuǎn)變成，設f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，那么問題就能轉(zhuǎn)變成函數(shù)f(m)的值在m∈[-2,2]上為負值，則參數(shù)x需滿足條件f(-2)<0,f(2)<0.

綜上所述，函數(shù)與方程思想作為高中數(shù)學解題中的一種重要思想，其在數(shù)學解題中有著較高的應用率.因此，在數(shù)學解題的教學中，教師需注重引導學生深刻掌握該思想，將其靈活運用于具體解題中，并在函數(shù)與方程思想的運用中，注重各種類型數(shù)學題的匯總，通過經(jīng)典例題的分析，準確理解與掌握函數(shù)與方程思想位于不同題型當中的運用技巧與方法，從而使學生的解題效率與準確率得到有效提高.