時域下空間曲線曲率及撓率問題的研究

許 飛，劉翠香，閔祥娟，單彩虹，曹貽鵬

（陸軍裝甲兵學院基礎部，北京 100072）

0 引言

在戰術彈道導彈攔截領域，傳統的基于視線（LOS）角速度的比例導引及其變形，以其易于實現、高效而得到廣泛的應用［1-2］，其在本質上是在目標不機動、系統無延時、控制能量不受約束情況下產生零脫靶量和控制量的平方積最小的制導律［2］。但現代戰爭中的攔截目標機動性強、制導環境惡劣、飛行軌跡無法準確預測等現實問題，也對導引律的設計和應用提出了更高的要求，針對這些問題，相繼提出了最優制導、自適應制導、微分對策及神經網絡制導等大量的現代制導規律，但真正在實際中應用更多的是如比例導引及其變形的古典制導律［3］。

空間域下攔截彈的制導問題可抽象為空間曲線問題，是微分幾何主要的研究對象，曲線性態在局部上完全由曲率和撓率所決定，為此，可通過實時調整曲率和撓率的取值，實現攔截彈的路徑預測和規劃。本文以攔截彈的實時位置信息為原點，建立活動標架，結合攔截彈的實時速度建立關于弧長的Frenet 公式，并將其轉化為時域上的Frenet 公式，根據視線運動方程和彈目相對運動方程推導了曲率和撓率指令表達式，從指令表達式上看，相關變化量易于測量，便于仿真，是對攔截彈路徑規劃及有效制導的有益探索。

1 空間曲線的活動標架和Frenet 公式

1.1 弧長域下的空間曲線及Frenet 公式

攔截彈制導策略問題可抽象化為E3上具有一個自由度的質點運動問題，其向量形式的參數方程可表示為［4-5］

1.2 時域下的空間曲線及Frenet 公式

在傳統的攔截彈制導策略研究中，通常采用的獨立參數為時間變量t，與采用弧長參數s 之間具有關系式［6-7］

聯立式（12）～式（14），可得到具有形式（1）的時域下的Frenet 公式

通過對式（12）～式（14）的簡單計算，可得空間曲線方程在時域下的曲率和撓率計算公式

式（5）、式（6）、式（18）、式（19）即為弧長域及時域下的曲率、撓率表達式，下面將對實際問題進行幾何建模，推導能夠應用于實際的曲率和撓率公式，從而用于攔截彈制導的路徑規劃。

2 攔截彈制導的幾何模型建立

2.1 視線運動方程的推導

圖1 攔截彈活動標架

根據視線旋轉的幾何關系，可建立關于視線運動的Frenet 公式

2.2 攔截彈運動方程的推導

2.2.1 彈目運動方程的推導

在本節中，下角標T，M 分別表示目標彈和攔截彈，彈目相對運動的幾何模型如圖2 所示，其中，rM是攔截彈的有向距離，vM為攔截彈速度矢量，大小為vM，tM，nM是攔截彈運動的方向切向量和主法向量，r 是彈目的有向距離，θM是彈目視線角，φM，φM是攔截彈運動方向與彈目視線和其法向量的夾角，同時目標彈也有上述相關幾何描述，如圖2 所示。

圖2 彈目相對運動幾何模型

在2.2.1 節中得到了彈目視線的切向量、主法向量及副法向量的表達式（22），其形式完全由攔截彈與目標彈的速度及實時位置信息所決定。

2.2.2 空間曲線曲率指令的推導

對式（21）進行變形可得

由于曲率用于控制攔截彈的轉向，其方向與eθ同向，則可對式（27）兩端同乘eθ得

2.2.3 空間曲線撓率指令的推導

在2.2.2 與2.2.3 節中詳細地推導了攔截彈制導的曲率和撓率指令表達式，其中，曲率指令表達式又分為恒速和變速兩種攔截方式，適用范圍更廣，且表達式的各個變量均是可測的，易于后續模擬仿真的實現。

3 結論

攔截彈路徑規劃及制導過程實際上就是空間曲線性態研究問題，本文通過弧長域下的Frenet 公式轉化到時域下的Frenet 公式，又進一步推導了在恒定速度攔截和變速攔截兩種情況下的曲率和撓率的指令表達式，從結果上看，指令表達式的各量都可以根據彈目實時位置信息和速度信息求得，后續將依托曲率和撓率的指令表達式進行離散化處理，利用MATLAB、PYTHON 相關軟件進行模擬仿真。