多源信息融合衛星組合導航系統的可觀度分析

喬怡群，邱紅專，宋 華

(北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京 100083)

0 引言

衛星的自主導航是指在不依賴地面站的情況下，通過其自身攜帶的星載敏感器確定衛星的速度、位置和姿態信息。這種在較長時間內，不依賴地面，只依靠星載敏感器高精度測量來實現衛星定軌的方法，是當前研究的熱點問題。

目前，全球四大導航系統有美國的全球定位系統(Global Positioning System，GPS)、歐洲的GALI-LEO、中國的北斗衛星導航系統(BeiDou Navigation Satellite System，BDS)和俄羅斯的GLONASS[1]。這些導航系統可以對衛星進行導航，但是受全球導航衛星系統(Global Navigation Satel-lite System，GNSS)可見性的約束，存在部分時間段內GNSS導航衛星不可見的情況，這將大大增加待導航星的濾波誤差。本文研究了基于GNSS、地標矢量和星光矢量的自主導航方法，可以保證在GNSS不可見時的定軌精度。

一般地，分析線性定常系統的可觀測度較為容易，而對非線性時變系統的分析則比較麻煩[2]。文獻[3]提出了一種利用李導數構造可觀測性矩陣的方法，然而該方法對于狀態維數較高、非線性程度較強的方程而言，計算量大，實現起來較為困難。文獻[4]針對小天體探測器著陸自主導航系統，在文獻[5]算法的基礎上，利用誤差協方差矩陣進行特征值分解，以分析特征值、特征向量與狀態可觀度的關系，但該方法只能夠分析出狀態的某一種組合的可觀測度。文獻[6]提出了不可觀度的概念，在構建可觀度矩陣時，需要對量測方程矩陣和狀態轉移矩陣進行變換，計算量較大。文獻[7]利用誤差橢球分析導航系統的可觀度，并根據映射原理計算誤差的上界。文獻[8]利用奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)的方法分析系統的可觀度,在引入了測量值Z的情況下，可以定性地分析系統狀態的可觀度。上述方法中對系統可觀度的分析往往較容易實現；然而針對系統每一個狀態的可觀度進行分析，往往實現困難或者難以定量描述。

本文以高軌衛星為對象，研究了基于GNSS、地標矢量和星光矢量的衛星自主導航方法。在此基礎上，以基于譜半徑的系統可觀度分析方法對不同觀測量下的系統可觀度進行分析[13]；同時，在文獻[9]的基礎上，針對非線性時變系統的狀態可觀度進行定量分析，并與濾波精度相結合進行對比分析。

1 組合導航濾波器的狀態方程和測量方程

針對高軌衛星的自主導航問題，下面分別給出了系統的狀態方程和量測方程。

1.1 系統狀態方程

系統的狀態變量為

(1)

式中，rx、ry、rz、vx、vy、vz分別為衛星在地心慣性坐標系下的位置和速度。若衛星的攝動僅考慮含J2項的非球形引力攝動[10]，可以列出在地心慣性坐標系下單顆衛星的狀態微分方程如下

(2)

1.2 量測方程

本文采用的傳感器是GNSS接收機、地標導航敏感器和星敏感器。GNSS接收機提供偽距和偽距率信息，地標導航敏感器提供地標矢量信息，星敏感器提供星光矢量信息，然后利用星光矢量和地標矢量之間的夾角來提供二者角度測量信息。

偽距是GNSS接收機到導航星的一個基本的距離測量值[11]。偽距測量的表達式可以寫為

(3)

其中，rxs、rys、rzs為GNSS衛星在慣性系下的位置；ερ為均值為0的偽距測量噪聲。

(4)

地球路標導航敏感器提供了一個指向地標的方向矢量[12]，其在機體系(b)下的測量方程為

(5)

其中，rd為地標在慣性系下的位置矢量；εl為均值為0的高斯白噪聲。

星敏感器可以提供一個指向遙遠恒星的單位星光矢量，星光矢量和地標矢量之間的夾角可以表示為

(6)

其中，us為機體系下的單位星光矢量；εα為均值為0的高斯白噪聲。

對于高軌同步衛星，可能會因為地球的遮擋而收不到GNSS衛星的信號，因此測量值矢量的維數取決于可見的GNSS衛星個數。對于確定GNSS衛星可見性的條件，將會在1.3節進行介紹。下面先給出系統的量測方程

(7)

將上面給出的方程進行離散化，即可得到衛星自主導航系統的離散濾波模型。

1.3 GNSS可見性分析

高軌衛星所處的位置在GNSS星座之上，所以接收機可能捕獲到的GNSS導航信號只能是來自地球另一面的GNSS衛星。此時由于地球遮擋和GNSS信號在傳播過程中的損耗，導致了高軌衛星定軌中面臨著可用導航星數目少和信號較弱這2個主要難點。高軌衛星對GNSS的可見性主要取決于幾何可見性和信號強度這2個因素。對于高軌衛星來說，只有同時滿足以下幾個條件， GNSS導航星才是可見的。

幾何因素主要考慮的是高軌衛星、GNSS導航星和地球之間的相對位置關系，只有當GNSS衛星信號發射半角滿足小于天線發射信號的波束角且高軌衛星不在地球的遮擋范圍內時，高軌衛星才有可能接收到導航星的發射信號。

如圖1所示，地球的遮擋角為βe，信號波束發射半角為βG，需要滿足的條件是

βe<α1≤βG

(8)

其中，α1為OS和SF之間的夾角。

圖1 GNSS可見性示意圖Fig.1 GNSS visibility diagram

由于導航星發射天線僅能對地播發導航信息，那么只有當高軌衛星接收機的天線指向地心，并且高軌衛星與導航星所呈角度在接收機天線波束寬度范圍內時，高軌衛星才可能接收到GNSS衛星的信號。即需要滿足關系

α2≤φ

(9)

其中，φ為接收機的波束接收寬度；α2為OF和FS之間的夾角。

GNSS導航衛星發射天線朝向地球，而被測高軌衛星的軌道高度不低于GNSS導航星的軌道高度。因此，高軌衛星只能接收位于地球另一側的GNSS導航星發射的信號，這樣經過遠距離傳輸的信號強度大大減弱，增加了接收難度。

星載GNSS接收機接收信號的功率與導航星發射功率、發射天線增益、鏈路損耗、接收天線增益等諸多因素有關。根據Friis傳輸公式，可計算接收信號的功率如下

(10)

其中，Pr為接收信號功率；Pt為載波信號的發射功率；Gt和Gr分別為發射和接收天線的增益；λ為載波信號的波長；d為導航星與接收機的距離。

將式(10)采用分貝表示如下

(11)

2 可觀度分析方法

下面對基于譜半徑的系統可觀度分析方法和基于SVD的可觀度分析方法分別進行介紹。

2.1 基于譜半徑的系統可觀度分析方法

為了描述系統可觀測程度，定義系統的可觀度[13]為

(12)

式中，ρ(Pk)為系統濾波誤差協方差陣Pk的譜半徑。可以證明，用譜半徑定義的系統能觀度和狀態估計精度滿足如下關系[13]

(13)

式(13)建立了系統狀態估計精度與系統可觀度之間的關系, 可觀度越高則系統的狀態估計精度越高。可見, 以譜半徑定義的系統可觀度能夠定量地描述整個系統狀態估計的好壞, 而不是某一狀態組合的好壞。 因此,譜半徑定義的系統可觀度是可行的。

2.2 基于SVD的可觀度分析方法

對于非線性系統，一般先依次將其線性化和離散化，然后利用線性離散系統的可觀測性理論來分析自主定軌系統的可觀測性。

對于離散非線性系統

x(k+1)=f(x(k))+wz(k)=h(x(k))+v

(14)

其中，x∈Rn×1，z∈Rm×1，w和v分別為系統噪聲和量測噪聲，互不相關，且有如下關系

E[w(t)wT(τ)]=Q(t)δ(t-τ)E[v(t)vT(τ)]=R(t)δ(t-τ)

其中，δ(t-τ) 為狄拉克函數。

可以得到可觀測性矩陣為[14]

(15)

若F(k)和H(k)是定常的，則式(15)就是通常的線性時不變系統的可觀性矩陣，文獻[9]針對這種系統利用可觀測性矩陣建立了狀態初值x1和測量值Z之間的關系。與此類似，針對式(16)所示的非線性系統，也可以通過M(k)得到x(k)和測量值Z之間的關系。具體推導過程如下

(16)

即

x(k+1)≈F(k)x(k)+u(k)

(17)

同理將量測方程線性化可以得到

(18)

令

(19)

根據文獻[15]中的方法，可以得到

(20)

兩邊同時乘以Hk+n-1并移項可以得到

Hk+n-1Fk+n-1,kxk=z*(k+n-1)-

(21)

那么有

(22)

其中

(23)

(24)

式中，σ1,σ2,…，σr為奇異值且滿足以下關系：σ1≥σ2≥…≥σr>0，由此可以得到

(25)

式(24)與文獻[9]中的結論類似。文獻[9]根據以上關系，給出了一種計算每個狀態分量可觀度的方法，具體步驟如下：

(26)

其中，Aij表示矩陣Ai的第j列元素。通過式(26)即可以確定奇異值σi對應的第j個狀態的可觀測度，且根據該方法計算得到的各個狀態的可觀測度都是歸一化的非負值，便于比較可觀測度的大小。

(27)

本文利用上面的方法，對每個狀態分量的可觀度進行仿真分析。

3 系統可觀度仿真結果與分析

基于第2節的濾波模型(坐標系是J2000地心慣性坐標系)進行仿真,同時利用第3節的可觀度分析方法進行系統的可觀度分析和狀態的可觀度分析。圖2所示為GNSS可見星數目隨時間變化曲線。

從圖2可以看出，在30000s附近和67000s附近，GNSS完全不可見;在74000s附近，GNSS可見星數目較多。

圖4 速度濾波誤差Fig.4 Velocity errors

圖3和圖4所示分別為衛星利用GNSS、地標矢量和星光矢量導航時的位置誤差曲線和速度誤差曲線。表1所示為濾波穩定后的導航誤差大小和各狀態分量的可觀度。可以看到對于位置來說，Y軸的可觀度最大，其對應的位置誤差最小；Z軸的可觀度最小，其位置誤差最大。對于速度而言，可以得到類似的結論。圖5和圖6所示分別為利用SVD方法和譜半徑方法計算的系統可觀度隨時間變化曲線。圖5和圖6比較可知，二者可觀度較大的時刻相近。因此，兩種定義的方法都可以體現系統的可觀度。與圖2進行比較可知，在仿真時間30000s和67000s左右時，GNSS可見星數目最少，系統的可觀度也較差；在仿真時間74000s左右時，GNSS可見星數目較多，此時的系統可觀度較好。由此可知，系統可觀度受到GNSS衛星可見星數量的影響較大。

圖5 系統可觀度隨時間變化曲線(奇異值)Fig.5 System observability curve over time(singular value)

圖6 系統可觀度隨時間變化曲線(譜半徑)Fig.6 System observability curve over time(spectral radius)

通過表1分析可知，對狀態可觀度貢獻最大的是GNSS，地標和星光矢量二者對狀態可觀度的影響很小，這也與上面的分析結果相符。在采用GNSS、地標和星光矢量和地標夾角進行組合導航時，應該將GNSS作為主要的導航手段，另外2個傳感器作為輔助手段。

由表2和表3的對比可知，在增加GNSS的數目時，狀態的可觀度總體上呈增大的趨勢，估計誤差隨GNSS星數目的增加而減小。對每一組仿真而言，位置和速度的誤差在x軸上最小，z軸上最大；而狀態的可觀度大致為x軸上的可觀度最大，z軸上的可觀度最小。可觀度分析結果與濾波結果相吻合。對于地標而言，在增加地標的數目時，狀態的可觀度總體上呈增大的趨勢，估計誤差隨地標點數目的增加而減小。對一組仿真而言，位置和速度的誤差在x軸上最大，z軸上最小；而狀態的可觀度大致為x軸上的可觀度最小，z軸上的可觀度最大。這種SVD方法可以粗略地表征狀態可觀度和濾波誤差之間的關系。

表1 導航系統誤差大小與可觀度大小

表2 不同測量值時的狀態可觀度

表3 不同觀測值時的濾波精度

4 結論

本文利用基于GNSS、地標矢量和星光矢量的高軌衛星組合導航模型進行了可觀度分析。算法分析與仿真結果表明：

1)系統可觀度最主要的影響因素是GNSS的可見星數目，地標和星光矢量可以作為輔助信息引入，同時有助于提高狀態的可觀度。

2)基于SVD可觀度分析方法可以較好地分析出狀態的可觀度，同時可以粗略地表征出狀態誤差的大小。對于同一量綱的狀態，計算出的可觀度較大時，其濾波誤差小且精度高。