陣列旋轉(zhuǎn)對功率倒置算法性能的影響分析

戴鑫志，李瑞丹，陳飛強(qiáng)，賈 珣

(1.北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京 100081； 2.32022部隊(duì)，武漢 430000； 3.國防科技大學(xué)，長沙 410005)

0 引言

面對日益擁擠的電磁頻譜和復(fù)雜的電磁環(huán)境，衛(wèi)星導(dǎo)航信號由于到達(dá)地面時(shí)功率非常微弱而極其容易受到各種有意或者無意的干擾，因此現(xiàn)代衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)一般都會采取一定的抗干擾措施，以確保接收機(jī)在干擾環(huán)境下的生存能力。

陣列天線抗干擾由于對干擾類型不敏感、抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，是目前導(dǎo)航接收機(jī)最有效的抗干擾措施之一[1]。決定陣列天線接收機(jī)抗干擾能力的關(guān)鍵之一是抗干擾算法，根據(jù)能否在期望信號方向形成增益，抗干擾算法可分為波束形成類和零陷類算法。波束形成類算法的代表是最小方差無失真響應(yīng)(Minimum Variance Distortionless Respo-nse, MVDR)算法[2-3]和最小均方誤差(Minimum Mean Square Error, MMSE)算法[4]等，能夠在零陷干擾的同時(shí)在期望信號方向形成增益，但是算法實(shí)現(xiàn)時(shí)需要先驗(yàn)信息作為輸入條件。零陷類算法的代表是功率倒置(Power Inversion, PI)算法[5-6]，PI算法能夠在干擾方向上形成零陷，但不能對期望信號形成增益。不過由于PI算法不需要先驗(yàn)信息輔助、計(jì)算復(fù)雜度相對較小、易于工程實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際的陣列天線接收機(jī)中得到了大量的應(yīng)用[7-8]，因此本文主要結(jié)合PI算法展開研究。

事實(shí)上除了抗干擾算法，陣列天線接收機(jī)的抗干擾能力還與陣列構(gòu)型有關(guān)[9-10]，其內(nèi)在機(jī)理是：陣列構(gòu)型能夠影響干擾信號與導(dǎo)航信號的空間相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而影響天線陣的抗干擾能力。其實(shí)，除了陣列構(gòu)型，從空間相關(guān)系數(shù)的定義[11]可以看出，信號的來波方向也是影響空間相關(guān)系數(shù)的重要因素。文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，通過控制陣列旋轉(zhuǎn)，可以降低干擾信號和導(dǎo)航信號的空間相關(guān)系數(shù)，提升抗干擾后輸出信干噪比，但是沒有進(jìn)一步分析其內(nèi)在機(jī)理并發(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律。總之，目前鮮有文章專門研究陣列旋轉(zhuǎn)對PI算法抗干擾能力的影響，本文通過理論推導(dǎo)的方法建立了信號來波方向與PI算法抗干擾處理后陣列增益的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，通過數(shù)值計(jì)算的方法分析了陣列增益隨陣列旋轉(zhuǎn)的變化規(guī)律，分析結(jié)果表明，通過陣列旋轉(zhuǎn)能夠改善PI算法的抗干擾性能。

1 陣列信號模型

不失一般性，假設(shè)天線陣陣元個(gè)數(shù)為N且第1個(gè)陣元作為參考陣元位于空間坐標(biāo)系原點(diǎn)處。為便于理論分析，假設(shè)遠(yuǎn)場處有1個(gè)期望信號s(t)和1個(gè)干擾信號J(t)入射到天線陣,則天線陣的接收信號x(t)可表示為

x(t)=ass(t)+aJJ(t)+n

(1)

式中，as表示期望信號導(dǎo)向矢量;aJ表示干擾導(dǎo)向矢量;n表示方差為σ2的陣列通道噪聲。信號導(dǎo)向矢量的定義[14]如下

(2)

其中，λ表示信號載波波長；zn,n=1,2,…,N表示一個(gè)3×1的指向陣元位置的矢量；d表示一個(gè)3×1的指向信號源位置的矢量。

假設(shè)干擾信號與期望信號不相關(guān)，因此接收信號的自相關(guān)矩陣Rxx為

Rxx=Rss+Rjj+σ2I

(3)

式中,Rss表示期望信號的自相關(guān)矩陣；Rjj表示干擾的相關(guān)矩陣；σ2I表示噪聲的自相關(guān)矩陣，I表示一個(gè)單位矩陣。

天線陣抗干擾后，輸出信號y(t)可表示為

y(t)=wHx(t)

(4)

式中，w表示陣列權(quán)矢量；[·]H表示共軛轉(zhuǎn)置。

PI算法下，陣列權(quán)矢量由式(5)計(jì)算

(5)

(6)

式中，PJ表示干擾信號的功率。

將式(6)代入式(5)式,有

(7)

經(jīng)過抗干擾處理后，期望信號輸出為

ys=wHass(t)

(8)

其中，ρ表示干擾信號與期望信號的空間相關(guān)系數(shù)，其定義由式(9)給出

(9)

為便于比較陣列輸出信號與單天線輸出信號的差異，將式(5)中的權(quán)矢量w歸一化,有

(10)

經(jīng)陣列處理后，輸出期望信號可表示為

(11)

則輸出信噪比為

(12)

式中，ps表示單天線接收信號時(shí)的信號功率;pn表示噪聲功率;|?|表示取模運(yùn)算。而單天線接收信號時(shí)，輸出信噪比為

(13)

利用式(12)和式(13)可得出陣列相較于單天線對期望信號的增益，即陣列增益為

(14)

經(jīng)過理論推導(dǎo)，有如下結(jié)果

(15)

(16)

因此有

(17)

式(17)即為PI算法下，天線陣對期望信號增益的具體表達(dá)式，它與抗干擾后輸出載噪比的關(guān)系為

(18)

(19)

式(19)中雖然已經(jīng)體現(xiàn)了PI算法抗干擾處理后陣列增益與空間相關(guān)系數(shù)的關(guān)系，但還沒有建立陣列增益與信號來波方向的聯(lián)系，因此還需要進(jìn)一步分析。

2 陣列旋轉(zhuǎn)對陣列增益影響分析

對常見的四陣元Y型陣列進(jìn)行分析，其陣列構(gòu)型如圖1所示。

圖1 四陣元Y型陣列模型Fig.1 Four-element Y-array pattern

假設(shè)導(dǎo)航信號和干擾信號的方位角和俯仰角信息分別為：(θs,φs)，(θJ,φJ(rèn))。由式(2)可得期望信號和干擾信號的導(dǎo)向矢量分別為

(20)

(21)

令導(dǎo)航信號與干擾信號在方位角上的間隔為Δ，即θJ=θs+Δ。由式(9)可得導(dǎo)航信號與干擾信號的空間相關(guān)系數(shù)為

(22)

假設(shè)天線陣在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，這意味著導(dǎo)航信號俯仰角φs、干擾信號俯仰角φJ(rèn)以及方位角間隔Δ均不隨陣列旋轉(zhuǎn)而改變，式(22)中只有方位角θs會隨著陣列旋轉(zhuǎn)在[0,2π]范圍內(nèi)連續(xù)變化。保留變化量θs，將式(22)經(jīng)過適當(dāng)化簡后，有

(23)

其中

(24)

進(jìn)一步，由式(19)可以得到PI算法抗干擾處理后，陣列對導(dǎo)航信號的增益為

G=

(25)

式(25)形式比較復(fù)雜，但可以通過一些方法研究陣列增益G的一些性質(zhì)。首先，通過式(25)中陣列增益的表達(dá)式不難得出：陣列增益G的取值受到方位角θs、導(dǎo)航信號俯仰角φs、干擾信號俯仰角φJ(rèn)以及方位角間隔Δ這4個(gè)因素的影響。并且如果把陣列增益G看作一個(gè)函數(shù)G(θs)，則G(θs)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。

(26)

由于推導(dǎo)過程并不復(fù)雜，這里不給出詳細(xì)的推導(dǎo)過程。當(dāng)然，式(26)僅針對四陣元Y型陣列，不難得出對于其他具有幾何對稱性的天線陣，G(θs)將有其他的周期。

陣列增益G(θs)還有其他的一些性質(zhì)，可以通過數(shù)值計(jì)算的方法得到。需要說明的是，G(θs)是一個(gè)連續(xù)的、周期性的函數(shù)，對于任意形狀的天線陣都是成立的，其連續(xù)性可以通過復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)得到，周期性可以通過三角函數(shù)的性質(zhì)得到。此外在理論分析過程中，均假設(shè)只存在一個(gè)干擾源，主要是考慮到對于多干擾存在時(shí)，數(shù)學(xué)表達(dá)式非常復(fù)雜，有的甚至難以用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述。在后續(xù)的仿真實(shí)驗(yàn)中，將研究多個(gè)干擾源同時(shí)存在的情況。

3 數(shù)值分析

數(shù)值計(jì)算時(shí)，考慮到實(shí)際條件下干擾信號一般來自低仰角，而接收機(jī)進(jìn)行定位解算時(shí)一般不取仰角過低的衛(wèi)星，因此式(25)中可以取干擾俯仰角φJ(rèn)∈[1°,15°]，信號俯仰角φs∈[10°,90°]，方位角θs∈[1°,360°]，方位角間隔Δ∈[0°,360°]。

取干擾信號俯仰角為5°，信號俯仰角為40°，天線陣旋轉(zhuǎn)角度為360°，在方位角間隔分別為90°和150°時(shí)，利用式(25)畫出陣列增益變化曲線如圖2所示。

圖2 陣列增益變化曲線Fig.2 Array gain curve

從圖2可以看出，隨著陣列旋轉(zhuǎn)，不同方位角間隔下的陣列增益均以60°為周期連續(xù)變化，并且每個(gè)周期內(nèi)，陣列增益存在一個(gè)最大值和一個(gè)最小值。通過計(jì)算機(jī)遍歷所有的數(shù)值組合發(fā)現(xiàn)，得到的陣列增益隨陣列旋轉(zhuǎn)的變化曲線都是相似的，只是陣列增益波動的范圍不同而已。由此可以得出G(θs)的另一個(gè)重要性質(zhì)：在每個(gè)周期內(nèi)，G(θs)存在一個(gè)最大值Gmax和一個(gè)最小值Gmin，最值的大小受到方位角間隔、導(dǎo)航信號俯仰角和干擾信號俯仰角的影響。

陣列增益曲線最大值Gmax與最小值Gmin之差Gmax-Gmin體現(xiàn)了陣列旋轉(zhuǎn)時(shí)抗干擾輸出載噪比的最大改善程度，也即對PI算法抗干擾性能的最佳改善程度。下面重點(diǎn)分析了陣列增益曲線中Gmax-Gmin的變化趨勢。固定干擾信號俯仰角為5°，天線陣旋轉(zhuǎn)角度為360°，方位角間隔從1°遍歷至360°，導(dǎo)航信號俯仰角從10°遍歷至90°，得到Gmax-Gmin值如圖3所示。

圖3 陣列增益最大值與最小值之差變化 趨勢(φJ(rèn)=5°,φs=10°～90°)Fig.3 Difference between the maximum and minimum values of the array gain(φJ(rèn)=5°,φs=10°～90°)

上述數(shù)值計(jì)算中干擾信號俯仰角φs保持不變，現(xiàn)令干擾俯仰角φJ(rèn)從1°遍歷至15°，由于得到的圖像較多，這里不一一列出，僅給出干擾俯仰角為1°、10°和15°時(shí)的圖像作為示例，如圖4所示。

(a)φJ(rèn)=1°

(b)φJ(rèn)=10°

(c)φJ(rèn)=15°圖4 陣列增益極大值與極小值之差變化趨勢(φs=10°～90°)Fig.4 Difference between the maximum and minimum values of the array gain(φs=10°～90°)

從圖4中可以發(fā)現(xiàn)：Gmax-Gmin的變化趨勢完全相同，不同干擾俯仰角下Gmax-Gmin最大值的差異僅有1dB左右，造成這一結(jié)果的原因是干擾俯仰角φJ(rèn)變化范圍較小(僅1°～15°)，因此對陣列增益的取值范圍影響不大。此外，也可以發(fā)現(xiàn)，相同信號俯仰角條件下，Gmax-Gmin總是在方位角間隔180°左右取得最大值。綜上，可以得出結(jié)論：在信號俯仰角越低、方位角間隔越靠近180°時(shí)，陣列旋轉(zhuǎn)對陣列增益的改善程度越大，也即對PI算法抗干擾性能的提升越大。對于四陣元Y型陣列，在約束干擾來自低仰角、信號來自高仰角時(shí)，通過數(shù)值計(jì)算遍歷所有來波方向可得，陣列旋轉(zhuǎn)對抗干擾輸出后載噪比的改善理論上最大可以達(dá)到14dB左右。

考慮一個(gè)位于水平面的天線陣，以一定的角速度在平面內(nèi)勻速旋轉(zhuǎn)，干擾源位置固定不變，或者相對天線陣以極小的角速度運(yùn)動。由于導(dǎo)航衛(wèi)星相對于地球運(yùn)動的角速度很小，以GPS為例，GPS衛(wèi)星運(yùn)動角速度約0.0084(°)/s，因此在上述條件下可以認(rèn)為衛(wèi)星信號和干擾信號相對于旋轉(zhuǎn)天線陣，其俯仰角在短時(shí)間內(nèi)是不變的，而他們的方位角由于陣列旋轉(zhuǎn)在[0,2π]內(nèi)連續(xù)變化。

結(jié)合以上陣列增益G的性質(zhì)可知，天線陣旋轉(zhuǎn)時(shí)，方位角θs連續(xù)變化，陣列增益G會在Gmax和Gmin之間周期性變化，相比固定天線陣不變的陣列增益G0，由于Gmin≤G0≤Gmax，因此旋轉(zhuǎn)天線陣能夠在一段時(shí)間內(nèi)獲得更高的陣列增益(最大值附近)，即能夠輸出更高的載噪比，這意味著接收機(jī)將獲得更佳的捕獲性能。當(dāng)然，陣列增益會隨著天線陣旋轉(zhuǎn)而周期性的變小，但由于導(dǎo)航接收機(jī)的跟蹤靈敏度一般比捕獲靈敏度低10dB左右[16]，因此只要信號被成功捕獲并跟蹤，載噪比減小時(shí)信號并不會輕易的失鎖；即使信號失鎖，信號失鎖后重捕的難度也遠(yuǎn)小于直接捕獲的難度。因此從信號捕獲效果看，陣列旋轉(zhuǎn)能夠改善接收機(jī)的信號捕獲性能。

關(guān)于天線陣旋轉(zhuǎn)角速度，主要考慮2個(gè)約束因素，一方面要保證陣列增益在極大值附近時(shí)，接收機(jī)有足夠的數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)捕獲跟蹤，因此角速度不能過快；另一方面，旋轉(zhuǎn)角速度也不能過慢，因?yàn)樾D(zhuǎn)過慢會導(dǎo)致陣列增益變化緩慢，延長信號捕獲時(shí)間。陣列旋轉(zhuǎn)角速度需要考慮上述2個(gè)因素，并結(jié)合接收機(jī)的實(shí)際性能和使用需求進(jìn)行選擇。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證理論分析和數(shù)值計(jì)算的正確性，使用軟件接收機(jī)進(jìn)行仿真。仿真中，天線陣使用四陣元Y型陣列，陣元間距半波長，導(dǎo)航信號使用北斗B3民碼信號，信噪比為-20dB，干擾為20M帶寬的高斯白噪聲干擾，干信比為70dB，天線陣以1(°)/s的角速度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。不同的時(shí)間段，干擾信號和導(dǎo)航信號隨機(jī)選擇不同的來波方向，如表1所示。

表1 干擾信號及導(dǎo)航信號來波方向

經(jīng)過PI算法抗干擾處理后，實(shí)際陣列增益與利用式(22)計(jì)算的理論陣列增益對此如圖5所示。

圖5 陣列增益仿真值與理論值對比Fig.5 Comparison of the simulation and the theoretical value of array gain

從圖5可以看出，不同來波方向下，仿真陣列增益均與理論陣列增益保持一致，證明了理論推導(dǎo)的正確性。鑒于理論推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算僅分析了單干擾的情況，利用仿真研究了多干擾條件下陣列增益隨陣列旋轉(zhuǎn)的變化規(guī)律。

對于雙干擾情況，假設(shè)環(huán)境中存在一個(gè)GNSS信號，信噪比為-20dB，還存在一個(gè)高斯寬帶干擾和一個(gè)連續(xù)波干擾，干信比均為70dB，天線陣以1(°)/s的角速度旋轉(zhuǎn)。不同的時(shí)間段，干擾信號和導(dǎo)航信號隨機(jī)選擇不同的來波方向，如表2所示。

表2 雙干擾條件下信號來波方向

經(jīng)過PI算法抗干擾處理后，陣列增益的仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 雙干擾存在條件下的陣列增益Fig.6 Array gain in the presence of two interfering signals

從圖6可以看出，雙干擾存在條件下，陣列增益變化曲線與單干擾條件下的變化曲線明顯不同。例如雙干擾條件下，增益變化曲線的極值點(diǎn)與最大值和最小值點(diǎn)并不一定重合；其次，對于不同的來波方向，曲線的變化形式也有較大的差異。但可以發(fā)現(xiàn)，隨著陣列旋轉(zhuǎn)，陣列增益仍然以60°為周期在最大值和最小值之間連續(xù)變化，在不同的時(shí)段，陣列增益的最大值與最小值之差分別為15dB、5dB和2dB。

在雙干擾仿真的基礎(chǔ)上，增加一個(gè)高斯窄帶干擾，使仿真環(huán)境中存在3個(gè)干擾。不同的時(shí)間段，干擾信號和期望信號的來波方向，如表3所示。

表3 三干擾條件下信號來波方向

經(jīng)過PI算法抗干擾處理后，陣列增益的仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 三干擾存在條件下的陣列增益Fig.7 Array gain in the presence of three interfering signals

從圖7可以看出，三干擾條件下，陣列增益仍然以60°為周期在最大值和最小值之間連續(xù)變化，在不同時(shí)段，陣列增益的最大與最小值之差分別為4dB、5dB和14dB。

以上仿真結(jié)果說明，在存在多干擾條件下，旋轉(zhuǎn)天線陣仍然可以改善陣列對衛(wèi)星信號的增益，提升抗干擾輸出后的載噪比。

5 結(jié)論

本文以陣列天線接收機(jī)中常用的PI算法為研究對象，通過理論推導(dǎo)的方法研究了信號來波方向與陣列增益的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上分析了陣列增益隨陣列旋轉(zhuǎn)的變化規(guī)律。分析結(jié)果表明，PI算法下陣列增益受到干擾和導(dǎo)航信號來波方向的影響，相比于固定天線陣，陣列旋轉(zhuǎn)可提升陣列增益，意味著陣列旋轉(zhuǎn)可改善輸出載噪比，并提升接收機(jī)捕獲性能。仿真結(jié)果證明了理論和數(shù)值分析的正確性，并進(jìn)一步證明了在多干擾存在的條件下，陣列旋轉(zhuǎn)仍可得到相似結(jié)論。該研究成果對設(shè)計(jì)更高性能的衛(wèi)星導(dǎo)航功率倒置陣具有一定的參考及借鑒價(jià)值。