基于Logistic模型的單點(diǎn)下沉預(yù)測(cè)應(yīng)用研究

杜子龍 儀夢(mèng)婷 李志遠(yuǎn)

(1. 山東科技大學(xué) 測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院, 山東 青島 266590; 2. 中國(guó)海洋大學(xué) 文學(xué)與新聞傳播學(xué)院, 山東 青島 266100)

0 引言

礦區(qū)地下開(kāi)采引起的地表沉陷是一個(gè)復(fù)雜的四維空間問(wèn)題,沉陷預(yù)測(cè)為采空區(qū)上方的建筑物,鐵路、水庫(kù)等采后支護(hù)與治理提供了理論依據(jù),很多研究中注重于開(kāi)采沉陷的最終結(jié)果,即靜態(tài)地表移動(dòng)與變形預(yù)測(cè)。靜態(tài)預(yù)測(cè)側(cè)重于觀測(cè)的整體性,對(duì)開(kāi)采沉陷的動(dòng)態(tài)過(guò)程研究尚不充分,這對(duì)地表建筑物的保護(hù)是不利的。實(shí)際上,由于礦山開(kāi)采導(dǎo)致的地表移動(dòng)與變形是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程,變形與移動(dòng)越劇烈,地表建筑物的損壞就越嚴(yán)重[1]。地表的下沉具有三個(gè)過(guò)程:緩慢發(fā)展期、加速發(fā)展期、發(fā)展衰減期[2]。對(duì)地面建筑物等的保護(hù)需要考慮變形隨時(shí)間發(fā)展的全過(guò)程,目前常用動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)地表下沉的時(shí)間函數(shù)有波蘭學(xué)者Knothe[3]于1952年提出的Knothe時(shí)間函數(shù);Sroka與 Schober于1982年提出的Sroka-Schober[4]時(shí)間函數(shù),Kowalski于1999年提出的廣義時(shí)間函數(shù);Gonzalfz等在2007年研究使用的正態(tài)分布函數(shù)作為時(shí)間函數(shù)等;我國(guó)在采動(dòng)過(guò)程中采用的預(yù)計(jì)函數(shù)多數(shù)為基于Knothe時(shí)間函數(shù)的改進(jìn)預(yù)測(cè)模型,大量專家與學(xué)者針對(duì)Knothe時(shí)間函數(shù)無(wú)法反應(yīng)下沉速度與加速度的缺陷提出了各種改進(jìn)方法,常占強(qiáng)等提出的分段Knothe時(shí)間函數(shù),提高了預(yù)測(cè)精度;張兵等改進(jìn)了分段Knothe函數(shù),使之居于更大的適用范圍,并提高了精度[5-8]。但Knothe時(shí)間函數(shù)觀測(cè)周期長(zhǎng),模型復(fù)雜,所需參數(shù)多。基于經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的動(dòng)態(tài)預(yù)計(jì)方法公式計(jì)算復(fù)雜,且其精度受限于開(kāi)采實(shí)際經(jīng)驗(yàn)及巖移參數(shù)。基于Logistics模型的下沉預(yù)測(cè)時(shí)間函數(shù)能夠利用較少的觀測(cè)量提早預(yù)測(cè)開(kāi)采沉陷的沉陷量,能夠反映地表下沉的全過(guò)程,對(duì)于采動(dòng)過(guò)程中引發(fā)的地表移動(dòng)與變形的預(yù)測(cè)和控制的研究有著積極意義。 Logistic模型能夠滿足單個(gè)點(diǎn)動(dòng)態(tài)下沉預(yù)測(cè)的要求,模型簡(jiǎn)單,參數(shù)少,應(yīng)用方便。本文通過(guò)控制參與擬合的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),一組使用72期的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,另一組使用81期的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,得到模型預(yù)測(cè)方程,與實(shí)測(cè)值的對(duì)比表明81期數(shù)據(jù)組的預(yù)計(jì)方程要優(yōu)于72期數(shù)據(jù)組,通過(guò)預(yù)測(cè)方程對(duì)82期91期的沉降值進(jìn)行預(yù)測(cè),得到了較高的預(yù)測(cè)精度。

1 Logistics模型概述

在當(dāng)前的社會(huì)學(xué),生物學(xué),計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面,邏輯回歸模型都有廣泛的應(yīng)用。Logistic模型在最初研究人口增長(zhǎng)規(guī)律時(shí)由馬爾薩斯提出, 之后荷蘭數(shù)學(xué)家威赫爾斯特將其歸納為一般的數(shù)學(xué)公式,Logistic曲線在有限空間內(nèi)的數(shù)值的增長(zhǎng)會(huì)趨于一個(gè)穩(wěn)定值。其發(fā)展具有三個(gè)過(guò)程:緩慢發(fā)展期、加速發(fā)展期、發(fā)展衰減期,它反映了事物的發(fā)生、發(fā)展、成熟并趨于穩(wěn)定的過(guò)程[9]。

Logistic增長(zhǎng)模型的微分方程為:

(1)

對(duì)該微分形式進(jìn)行積分求解可得到該方程的解如下:

(2)

式(2)所表示的曲線即為L(zhǎng)ogistic模型,總體上呈現(xiàn)S型或反S型曲線(圖1),其特點(diǎn)是單調(diào)遞增(S型)或單調(diào)遞減(反S型)。由于該曲線為S型,具有地表下沉的相關(guān)特征,曲線經(jīng)歷緩慢發(fā)展,加速發(fā)展,最終趨于穩(wěn)定的三個(gè)階段,可以將該函數(shù)看為L(zhǎng)ogistic地表下沉?xí)r間函數(shù),其中y代表采動(dòng)過(guò)程中該點(diǎn)任意時(shí)間的下沉值,參數(shù)K為該點(diǎn)最終沉降量W0,參數(shù)A跟b為下沉影響因子。其表達(dá)式如下:

(3)

圖1 Logistic模型示意圖

2 基于 Logistic模型的預(yù)計(jì)流程

Logistic模型曲線形態(tài)規(guī)律與采動(dòng)引起的地表下沉規(guī)律相符合[10],運(yùn)用Logistics模型可以預(yù)計(jì)地表下沉,通過(guò)預(yù)測(cè)的值和實(shí)測(cè)的值之間的對(duì)比來(lái)驗(yàn)證模型。Logistic模型預(yù)計(jì)流程如圖2所示。

圖2 Logistic模型預(yù)計(jì)流程

3 Logistic模型參數(shù)估計(jì)

Logistic曲線是以參數(shù)K為漸近線,連續(xù)的、單調(diào)遞減(增)的曲線,曲線隨時(shí)間T的變化速度由參數(shù)a和b確定。對(duì)于式(2)中的三個(gè)未知參數(shù),本文將采用在倒數(shù)求和法的基礎(chǔ)上,使用非線性回歸的方法,估計(jì)模型參數(shù)。

(1)倒數(shù)求和法確定迭代初始值

為了提高精度,對(duì)W0,A,b初值的估計(jì)采用倒數(shù)求和法[11]。倒數(shù)求和法是將樣本均分為三等分,要求時(shí)間間隔一樣,設(shè)樣本為(ti,Wi),i=1,2,…,n;令r=int(n/3),當(dāng)樣本數(shù)量N不能等分為三部分時(shí),可以適當(dāng)舍棄開(kāi)始的1～2個(gè)數(shù)。

(4)

令D1=S1-S2,D2=S2-S3,則

(5)

(6)

(7)

(2)非線性回歸

為了提高擬合精度,迭代的方法采用Levenberg-Marquardt算法(簡(jiǎn)稱L-M算法)。L-M算法是一種以最小二乘原理對(duì)多個(gè)參數(shù)進(jìn)行擬合的方法,它是介于牛頓法與梯度下降法之間的一種非線性優(yōu)化方法。L-M算法結(jié)合了最速下降法與線性方法,能有效處理冗余參數(shù)問(wèn)題,保證在值域范圍內(nèi)快速收斂[12]。用L-M算法求得各參數(shù)的最佳估計(jì)值可以作為L(zhǎng)ogistic模型參數(shù)的最小二乘無(wú)偏性估計(jì)值。

4 實(shí)例驗(yàn)證

對(duì)某礦區(qū)觀測(cè)線上的某監(jiān)測(cè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)91個(gè)周期的地表沉降監(jiān)測(cè),該監(jiān)測(cè)點(diǎn)的累計(jì)沉降量達(dá)到38.7 cm。借助Logistic模型進(jìn)行擬合,將A組使用72期的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合并預(yù)測(cè)沉降,B組使用81期的數(shù)據(jù)進(jìn)行模型驗(yàn)證,并分別預(yù)測(cè)82期至91期的沉降值,本文采用計(jì)算機(jī)模擬分析參數(shù)。分別得到A、B組的預(yù)測(cè)函數(shù)與實(shí)測(cè)值的擬合方程及成果圖(圖3)及根據(jù)兩組擬合方程得到的82期至91期的沉降值預(yù)測(cè)曲線圖(圖4)。

圖3 某個(gè)地表沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)實(shí)測(cè)值與A組與B組Logistic擬合結(jié)果圖

圖4 某個(gè)地表沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)實(shí)測(cè)值與Logistic模型預(yù)測(cè)值圖

WA=-0.368 555/(1+14.790 1·
exp(-0.0787 091·t))

WB=-0.381 006/(1+13.702 2·
exp(-0.074 0703·t))

如圖3所示,擬合曲線WA、WB與該點(diǎn)地表下沉實(shí)測(cè)值在三個(gè)階段內(nèi)的吻合度較高,曲線WB較WA擬合程度更高,原因是WB較WA選取了較多的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),并且具有較多處于下沉第三個(gè)階段的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),從預(yù)測(cè)結(jié)果來(lái)看,如圖4,WB也比WA更接近真實(shí)值,擬合程度高相應(yīng)的預(yù)測(cè)精度也高,這說(shuō)明在本例中,單點(diǎn)下沉符合Logistic下沉?xí)r間曲線,兩者具有一致的規(guī)律性。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示出B組采用的81期數(shù)據(jù)擬合方程要優(yōu)于A組采用72期數(shù)據(jù)擬合方程,其誤差平方和及誤差均方都較A組更接近于0,表明其擬合程度要優(yōu)于采用較少觀測(cè)點(diǎn)的擬合方程。B組參數(shù)估計(jì)成果表如表1,結(jié)果顯示運(yùn)用L-M算法對(duì)三點(diǎn)法估計(jì)值進(jìn)行修正,得到了較好的效果。B組擬合方程統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示采用該擬合方法的誤差平方和SSE為0.006 621 8,誤差均方MSE為0.000 087 1。通過(guò)A、B組Logistic預(yù)測(cè)方程分別得出82期到91期沉降預(yù)測(cè)值,并與實(shí)測(cè)沉降值進(jìn)行比較,統(tǒng)計(jì)誤差,結(jié)果見(jiàn)表2。

表1 B組參數(shù)估計(jì)成果表

(1)表1、表2結(jié)果表明,采用81期數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)結(jié)果要優(yōu)于采用72天數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)結(jié)果,兩組的預(yù)測(cè)差在1 cm左右,結(jié)果表明采用該方法時(shí),選用的數(shù)據(jù)越多,擬合的程度就越高,預(yù)測(cè)的結(jié)果也會(huì)更準(zhǔn)確。

表2 實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值對(duì)比 單位：m

(2)在采用72期的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)的結(jié)果表明,采用較少的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的誤差為2 cm左右,同樣具有比較高的精度,表明在應(yīng)用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí),可以采用較少的數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行地表下沉預(yù)測(cè),選取的地表沉降值數(shù)據(jù)組將對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生直接影響。

(3)B組實(shí)驗(yàn)組采用該擬合方法的誤差平方和SSE為0.006 621 8,誤差均方MSE為0.000 087 1,接近于0,擬合精度較高,說(shuō)明該方法對(duì)于動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)具有一定的精度可靠性。

(4)由表2結(jié)果知B組預(yù)測(cè)函數(shù)與實(shí)測(cè)值的最大殘差出現(xiàn)在第91期,為0.012 067 3 m,最小殘差出現(xiàn)第85期,為0.007 882 1 m,平均誤差僅為0.01 m,具有較高的預(yù)測(cè)精度。

5 結(jié)束語(yǔ)

(1)通過(guò)Logistics模型進(jìn)行參數(shù)擬合,運(yùn)用L-M算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行修正,統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示效果較好,并得到了動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)方程。

(2)從實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與擬合曲線圖可以看出,單點(diǎn)下沉關(guān)系曲線為反S型。A、B組誤差平方和SSE與均方MSE均接近于0,擬合精度較高。

(3)在大量的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,Logistic模型對(duì)于單點(diǎn)的地表沉降具有較好的擬合結(jié)果,預(yù)測(cè)精度較高,B組模型預(yù)測(cè)差最大為0.012 067 3 m,平均誤差為0.01 m。對(duì)礦區(qū)地表建筑物損壞的實(shí)時(shí)預(yù)防和維護(hù)具有實(shí)際的指導(dǎo)意義。

(4)對(duì)比信息表明采用該方法進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí),選用的數(shù)據(jù)越多,擬合程度越優(yōu),沉陷預(yù)測(cè)結(jié)果也更接近于真實(shí)值,選取不同的沉降值參與擬合會(huì)直接影響預(yù)測(cè)結(jié)果。

(5)Logistics模型簡(jiǎn)單,參數(shù)少,可以適當(dāng)減少觀測(cè)次數(shù),對(duì)地表下沉的動(dòng)態(tài)過(guò)程具有一定的使用價(jià)值。