由圓錐曲線離心率引起的十類變式

■福建省泉州市第七中學

求解圓錐曲線離心率的取值范圍，常涉及列不等式、三角形中角的變化，圓錐曲線的定義、性質等知識點，綜合性強，計算量大。很多同學解題時感到吃力，甚至半途而廢，若掌握問題本質，解題就變得容易了。下面給出由圓錐曲線離心率引起的十類變式，希望同學們在閱讀完這些題目后能有所收獲！

圖1

例1雙曲線=1(a＞0，b＞0)的兩個焦點為F1，F2，若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為( )。

A.(1，3) B.(1，3]

C.(3，+∞) D.[3，+∞)

解法一：利用三角形正余弦定理。

解法二：利用三角形的兩邊之和大于第三邊，及兩邊之差小于第三邊。但要注意可以取到等號成立，因為可以三點共線。

設|PF2|=m，則|PF1|=2m，|PF1|-|PF2|=m=2a。又因為|PF1|+|PF2|≥|F1F2|(當且僅當P，F1，F2三點共線等號成立)，所以3m≥2c，6a≥2c?e=。

又e＞1，故e∈(1，3]，選B。

解法三：利用焦半徑公式確定a與c的關系。

設點P(x0，y0)(x0≥a)，則由焦半徑公式可得|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a。因為|PF1|=2|PF2|，所以ex0+a=2(ex0-a)，解得x0=。因x0=≥a，故e≤3。又e＞1，故e∈(1，3]，選B。

解法四：數形結合和有界性。

因為|PF1|-|PF2|=2a，且|PF1|=2|PF2|，所以|PF2|=2a。即在雙曲線的右支上恒存在點P，使得|PF2|=2a。由圖1可知|AF2|≤|PF2|，故|OF2|-|OA|=ca≤2a，c≤3a?e=。

又e＞1，故e∈(1，3]，選B。

理解了這道題的解法及對策后，我們再來看看一些同類變式題，有助于我們解決此類問題！

同類變式1：已知雙曲線0，b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支上，若此雙曲線的離心率為e，且|PF1|=e|PF2|，則e的最大值為( )。

圖2

解析：可采用例1的解法四。如圖2所示，|PF1|-|PF2|=(e-1)|PF2|=2a?|PF2|

由解法四可知：

A.(1，+∞) B.(0，3]

C.(1，3] D.(1，2]

同類變式3：已知點F是雙曲線=1(a＞0，b＞0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線離心率e的取值范圍是( )。

圖3

解析：可采用例1的解法一。如圖3 所示，設∠AEB=θ＜90°，由雙曲線的對稱性及通徑可知，∠AEF=。在Rt△AEF中，tan＜1?b2＜a2+ac，即c2-a2＜a2+ac，兩邊同除以c2，化簡可得e2-e-2＜0?-1＜e＜2。

又e＞1，故e∈(1，2)，選B。

同類變式4：(2008 年江西理卷第7 題)已知F1、F2是橢圓=1的兩個焦點，滿足=0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是( )。

圖4

解析：可采用例1的解法四。

如圖4 所示，點M的軌跡是以F1F2為直徑的圓，因它在橢圓內部，故c＜b?c2＜b2=a2-。

解析：由題意可得橢圓的焦點在x軸上。如圖5 所示，設|F1F2|=2c，所以△PF1F2為 等腰三角形，且∠F1F2P=120°。

圖5

圖6

同類變式7：如圖6，設橢圓E的兩焦點分別為F1，F2，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與橢圓E交于P，Q兩點，若△PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率是( )。

圖7

圖8

同類變式10：(2018年福建省質檢)如圖8，已知雙曲線1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，左頂點為A。以F為圓心，FA為半徑的圓交雙曲線C的右支于P，Q兩點，△APQ的一個內角為60°，則雙曲線C的離心率為_____。

解析：因為雙曲線=1 關 于x軸對稱，所以△APQ是以PQ為底的等腰三角形。又△APQ的一個內角為60°，故△APQ為等邊三角形，且∠PAF=30°。又|FA|=|FP|=a+c，故∠AFP=120°。

設雙曲線的左焦點為F′，連接F′P，則|PF′|-|PF|=2a，|PF′|=3a+c。

在△PFF′中，由余弦定理得，|PF′|2=|FF′|2+|PF|2-2|FF′|·|FP|cos120°。

(3a+c)2=(2c)2+(a+c)2-2×2c×(a+c)×cos120°，整理得4a2+ac-3c2=0，兩邊同時除以-a2，得3e2-e-4=0。

解得e=或e=-1(舍去)。

以上十道同類變式題也可采用本文例題的其他解法，這里僅供大家參考。求解圓錐曲線離心率的取值范圍是解析幾何的主要題型，也是高考常考的內容之一，解決此類問題的關鍵是掌握其曲線本質，這樣難題也變得容易了。