圓錐曲線綜合問題熱點(diǎn)題型分析

■安徽省利辛高級(jí)中學(xué)胡彬名師工作室

圓錐曲線的綜合題型包括：圓錐曲線與直線或與圓的聯(lián)立問題；直線與曲線、曲線與曲線的位置關(guān)系問題；圓錐曲線與其他知識(shí)(如函數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、導(dǎo)數(shù)等)的綜合問題。

圓錐曲線的綜合問題已經(jīng)逐漸向多元化、復(fù)雜化發(fā)展，視分類標(biāo)準(zhǔn)而定，常可分為：弦長(zhǎng)問題、中點(diǎn)弦問題、范圍與最值問題、定點(diǎn)(值)問題、軌跡問題與探索性問題，同時(shí)還增加開放性等創(chuàng)新型問題，筆者通過對(duì)該類問題的歸納發(fā)現(xiàn)：除了具有必備知識(shí)、關(guān)鍵能力，還要具有良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，才能較好地處理此類綜合問題。下面以典型例題來分類剖析這類問題。

熱點(diǎn)題型1 弦長(zhǎng)問題

例1(2020 年鄭州模擬卷)已知拋物線E：y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，直線l：y=2x-2，直線l與拋物線E的交點(diǎn)為A，B，同時(shí)|AF|+|BF|=8，直線m∥l。直線m與拋物線E的交點(diǎn)為C，D，與y軸交于點(diǎn)P。

(1)求拋物線E的方程；

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)直線和圓錐曲線相交時(shí)，求弦長(zhǎng)問題的方法有以下幾種：

(1)定義法，過圓錐曲線的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題，利用圓錐曲線的定義，可優(yōu)化解題過程;

(2)點(diǎn)距法，將直線方程和圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，再運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng);

(3)弦長(zhǎng)公式法，它體現(xiàn)了解析幾何中設(shè)而不求的思想，其實(shí)質(zhì)是利用兩點(diǎn)之間的距離公式以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解。

熱點(diǎn)題型2 中點(diǎn)弦問題

例2(2019年泉州模擬卷)已知拋物線C：x2=2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線C上，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)，|AB|=4。

(1)求拋物線C的方程；

(2)過F的直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，若拋物線C上僅存在三個(gè)點(diǎn)Ki(i=1，2，3)，使得△MNKi的面積等于16，求直線l的方程。

(2)綜合法，設(shè)中點(diǎn)弦所在直線的方程，并與圓錐曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)得關(guān)于y(或x)的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可得兩根之和即為中點(diǎn)縱(或橫)坐標(biāo)的2倍，于是得到直線的斜率，進(jìn)而獲解。

熱點(diǎn)題型3 范圍問題

例 3(2020年福建模擬卷)如圖1，橢圓C：1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，上、下頂點(diǎn)分別為B1、B2，且B1(0，1)，△A1B1B2為等邊三角形，過點(diǎn)(1，0)的直線與橢圓C在y軸右側(cè)的部分交于M、N兩點(diǎn)。

圖1

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求四邊形B2MNB1面積的取值范圍。

點(diǎn)評(píng)：范圍問題常用解題方法：

(1)函數(shù)法，利用函數(shù)的思想，將所求問題轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的函數(shù)，再用代數(shù)方法解決;

(2)基本不等式法，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化，把問題轉(zhuǎn)化為基本不等式型問題求解;

(3)判別式法，利用方程的思想，注意一元二次方程判別式的運(yùn)用。

熱點(diǎn)題型4 最值問題

例4(2020 年安徽模擬卷)已知為橢圓C：=1(a＞b＞0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且PF垂直于x軸，不過原點(diǎn)O的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線OP上。

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)△ABP的面積最大時(shí)，求直線l的方程。

(2)因?yàn)椴贿^原點(diǎn)O的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線OP上，所以直線l的斜率存在且不為0。

設(shè)直線AB：y=kx+t(k≠0，t≠0)，代入橢圓的方程，整理得：

分析可知，當(dāng)t∈(-2，-1)時(shí)，函數(shù)y=f(t)為增函數(shù)；當(dāng)t∈(-1，0)，t∈(0，2)時(shí)，函數(shù)y=f(t)為減函數(shù)。所以當(dāng)t=-1時(shí)，△ABP的面積取得最大值。

綜上，當(dāng)△ABP的面積取得最大值時(shí)，直線l的方程為y=-x-1，即x+2y+2=0。

點(diǎn)評(píng)：最值問題有以下兩種常見解法。

(1)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值。求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、換元法、均值不等式法、單調(diào)性法。

(2)幾何法，若題目的條件與結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用幾何圖形性質(zhì)來解決。

熱點(diǎn)題型5 定點(diǎn)問題

例5(2020年吉林模擬卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓+x2=1的下焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)。

點(diǎn)評(píng)：定點(diǎn)問題的兩種解法：

(1)探求法，由特殊到一般的方法，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊位置情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān);

(2)參數(shù)法，直接推理、計(jì)算，將要求的定值表示為某個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，再化簡(jiǎn)這個(gè)關(guān)系，消去變量，從而得到定值。

熱點(diǎn)題型6 定值問題

例6(2020 年濟(jì)南模擬)已知橢圓=1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為A，B，且|AB|=，過橢圓焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦的長(zhǎng)為2。

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知M為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)(M不與A，B重合)，直線AM與y軸交于點(diǎn)P，直線BM與x軸交于點(diǎn)Q，證明：|AQ|·|BP|為定值。

所以|AQ|·|BP|為定值16。

點(diǎn)評(píng)：(1)求出待求定值式的代數(shù)表達(dá)式;(2)對(duì)代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理，消去變量，得到定值，有時(shí)可從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)。

熱點(diǎn)題型7 軌跡問題

例7(2020年鄭州模擬卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)A到定點(diǎn)F(3，0)的距離與A到定直線x=4距離的比值為。

(1)求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)M，N是軌跡C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線OM，ON與軌跡C的另一交點(diǎn)分別為P，Q，且直線OM，ON的斜率之積等于-，問四邊形MNPQ的面積S是否為定值，請(qǐng)說明理由。

點(diǎn)評(píng)：求軌跡方程的常用方法有：

(1)直譯法，先表示出動(dòng)點(diǎn)P滿足的幾何等量關(guān)系，再用P(x，y)的坐標(biāo)表示該等量關(guān)系;

(2)相關(guān)點(diǎn)法，若P(x，y)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另一點(diǎn)P′(x′，y′)運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，且P′(x′，y′)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，則用P(x，y)表示出P′(x′，y′)的坐標(biāo)，代入動(dòng)點(diǎn)P′的方程即可;

(3)待定系數(shù)法，若已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律符合已知的某種曲線的定義，則可先設(shè)出方程，再根據(jù)已知條件求出方程中的系數(shù);

(4)交軌法，求兩條曲線的交點(diǎn)軌跡問題，通常用解方程組方法求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再消參得到所求方程;

(5)參數(shù)法，尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的幾何變量t，將P(x，y)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)用t表示，進(jìn)而消去參數(shù)t。

熱點(diǎn)題型8 探索性問題

(2)當(dāng)直線EF的斜率為零時(shí)，則點(diǎn)E，F(xiàn)為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)。

點(diǎn)評(píng)：常見的題型有存在性探究問題、條件探究性問題、結(jié)論探究性問題等。解題需要經(jīng)歷觀察、試驗(yàn)、類比、歸納、猜想等探究活動(dòng)，需要把直覺思維與邏輯思維結(jié)合起來，此類題型具有較高的訓(xùn)練價(jià)值。