軌道非線性能量阱尖端效應(yīng)分析及簡化設(shè)計方法研究

張 超，鄭雨強，王菁菁

（1.湖南工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 株洲 412007；2.中國建筑第四工程局有限公司，廣東 廣州 510000；3.廣州大學(xué) 土木工程學(xué)院，廣東 廣州 510006）

1 研究背景

結(jié)構(gòu)控制技術(shù)通過對主體結(jié)構(gòu)施加被動或主動的作用力，改變主體結(jié)構(gòu)的剛度或阻尼以有效減小結(jié)構(gòu)振動[1]。其中，調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（tuned mass damping，TMD）是工程結(jié)構(gòu)中應(yīng)用最為廣泛的被動控制方法，一般被放置在主體結(jié)構(gòu)頂層，當(dāng)TMD 與主體結(jié)構(gòu)相調(diào)諧時兩者形成共振機制，從而減小主體結(jié)構(gòu)響應(yīng)[2-3]。但當(dāng)主體結(jié)構(gòu)受到損傷、沉降或其他因素影響時，結(jié)構(gòu)自振頻率發(fā)生變化，TMD 與之失諧而導(dǎo)致減振性能退化，甚至?xí)龃蠼Y(jié)構(gòu)響應(yīng)[4]。

為了解決TMD 對結(jié)構(gòu)變化頻率敏感的問題，有學(xué)者提出非線性的結(jié)構(gòu)控制方法——非線性能量阱（nonlinear energy sink，NES）[5]。 國 外 學(xué) 者S.Aubry[6]、G.Kopidakis[7]等的研究表明，與TMD 相比，NES 的非線性力-位移使其能夠在寬頻范圍內(nèi)發(fā)生共振，降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)，其頻率魯棒性能優(yōu)于TMD。此外，國內(nèi)學(xué)者也對NES 進(jìn)行了相關(guān)的研究，如張也弛等[8]使用數(shù)值方法研究了兩自由度NES 在簡諧荷載下的力學(xué)特性和振動控制效果。王菁菁等[9-11]提出了一類新型被動質(zhì)量阻尼器——軌道非線性能量阱，該裝置由軌道和附加質(zhì)量塊組成，如圖1 所示。通過軌道形狀實現(xiàn)非線性恢復(fù)力，軌道固定在主體結(jié)構(gòu)頂層，質(zhì)量塊沿軌道運動，如圖2 所示。Wang J.J.等[12]研究了兩自由度主體結(jié)構(gòu)附加軌道NES 在脈沖荷載作用下的減振性能，實現(xiàn)了具有近似3 次方恢復(fù)力的軌道NES。同時，研究發(fā)現(xiàn)軌道NES 的力-位移關(guān)系中產(chǎn)生尖端效應(yīng)，這是軌道NES 特有的現(xiàn)象，未見于其他類型的NES。尖端效應(yīng)是指當(dāng)NES 質(zhì)量塊位移較大、軌道斜率極大時，恢復(fù)力隨著位移的增大反而減小。當(dāng)無尖端效應(yīng)發(fā)生時，軌道NES 的減振效率難以達(dá)到最佳；當(dāng)存在一定程度的尖端效應(yīng)時，軌道NES 的減振效率較好。尖端效應(yīng)可以防止軌道NES 恢復(fù)力過大而造成局部構(gòu)件發(fā)生破壞。

本研究對軌道NES 尖端效應(yīng)進(jìn)行理論推導(dǎo)，得到了軌道NES 尖端效應(yīng)產(chǎn)生的主要原因，并分析了尖端效應(yīng)的強烈程度。分別通過不同輸入能量下的無阻尼軌道NES 的自由振動、有阻尼軌道NES 的受迫振動，對軌道NES 的尖端效應(yīng)進(jìn)行分析。根據(jù)所得到的分析結(jié)果，揭示了軌道NES 尖端效應(yīng)產(chǎn)生的主要原因，從而提出了基于尖端效應(yīng)的軌道NES 簡化設(shè)計方法。

圖1 軌道NES 示意圖Fig.1 configuration of track NES

圖2 軌道NES 系統(tǒng)示意圖Fig.2 Illustration of track NES system

2 軌道NES 恢復(fù)力

軌道NES 的自由體受力示意圖如圖3 所示，其中，mN為NES 的質(zhì)量，g為重力加速度，θ為軌道切線角度，F(xiàn)Normal為NES 作用在軌道上的法向力，uN和vN分別為NES 相對于軌道的水平位移和豎向位移，z為軌道的水平位移，h(uN)為軌道的形狀函數(shù)，即NES 的豎向位移。

圖3 軌道NES 自由體的受力示意圖Fig.3 Force diagram of track NES

推導(dǎo)中假設(shè)NES 質(zhì)量不發(fā)生轉(zhuǎn)動且始終與軌道接觸，采用牛頓方法可以得到軌道NES 的運動方程。根據(jù)圖3 列出水平方向上的力平衡方程為

豎直方向上的力平衡方程為

將式（3）和式（4）代入力平衡方程式（1）和式（2），并聯(lián)立式（5）可得：

3 軌道NES 尖端效應(yīng)理論推導(dǎo)

本節(jié)對軌道NES 尖端效應(yīng)進(jìn)行理論推導(dǎo)，得出了軌道NES 尖端效應(yīng)的產(chǎn)生原因，分析了尖端效應(yīng)的強烈程度。

在恢復(fù)力表達(dá)式（8）中，第一項和第二項分別與軌道NES 的加速度和速度有關(guān)，同時也與位移的高階項有關(guān)，而第三項僅與位移相關(guān)。為了簡便起見，將這3 項分別記為Fa、Fv和Fd，可得它們之間的關(guān)系如下：

式中：

采用諧波平衡法進(jìn)行分析，相關(guān)研究[13]中，當(dāng)且僅當(dāng)取一階頻率進(jìn)行近似求解時所得結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果吻合良好，因此，本文取一階頻率項進(jìn)行分析。無阻尼軌道NES 的自由振動可以寫成：

式（13）～（16）中：A為振動的振幅；ωN為根據(jù)式（16）定義的軌道NES 的瞬態(tài)自然頻率；φN為振動的初相。

因此，恢復(fù)力可寫成

式中：

由于fd等于1，fa和fv表示Fa和Fv相對于Fd的作用力方向和大小比例。

分析式（18）～（21），可以得出：

1）由于R始終為正，因此fa為負(fù)，fv為正，這說明Fa始終與Fd方向相反，F(xiàn)v始終與Fd方向相同。

2）R是與軌道NES 參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。因此，當(dāng)ωN非常小時，F(xiàn)a和Fv的量級遠(yuǎn)小于Fd，可以在FN中忽略。此時FN≈Fd，且軌道NES 的瞬態(tài)自然頻率變成

令

ra和rv是關(guān)于ωN的單變量函數(shù)，其函數(shù)圖像如圖4所示，可用于分析軌道NES尖端效應(yīng)的強烈程度。

根據(jù)圖4 所示曲線圖可以得知：當(dāng)φN=0 時（即對應(yīng)初始位移為0，僅具有初始速度的自由振動）ra和rv隨著ωN而變化。

圖4 ra 函數(shù)和rv 函數(shù)Fig.4 ra and rv as functions of ωN

根據(jù)觀察可以推導(dǎo)得到有關(guān)軌道NES 恢復(fù)力的一些特點：

1）在rv曲線中，觀察到其絕對值首次減小發(fā)生在ωN=1 rad/s，其頻率低于ra絕對值首次減小時所對應(yīng)的頻率，ra和rv絕對值的減小表明了其對應(yīng)分力Fa和Fv的減小。

2）軌道NES 的剛度隨位移增大而增大，因此分力Fv減小所對應(yīng)的位移小于分力Fa減小所對應(yīng)的位移，表明Fv絕對值的減小早于Fa絕對值的減小，當(dāng)各分力的減小程度不同步時會導(dǎo)致合力FN的大小發(fā)生上下波動，即產(chǎn)生尖端效應(yīng)。

3）ra和rv的變化隨著頻率的增加而變得更加劇烈，表明在更大的位移處尖端效應(yīng)更加顯著。

4）隨著Fv首次減小，F(xiàn)N中觀察到尖端效應(yīng)，而尖端效應(yīng)發(fā)生后，隨著位移的增加，ωN不增大反而減小，這使得Fa的減小太可能發(fā)生。

為了直觀地說明軌道NES 的尖端效應(yīng)，下面討論無阻尼軌道NES 的自由振動和有阻尼軌道NES 的受迫振動，軌道形狀均采用h(uN)=0.015uN4。

4 無阻尼軌道NES 尖端效應(yīng)分析

圖5 為NES 質(zhì)量塊的初始速度為0.42 m/s 時，無阻尼軌道NES 的加速度、速度和位移時程曲線圖。

圖5 0.42 m/s 初始速度下無阻尼軌道NES 的響應(yīng)曲線Fig.5 Responses curve of undamped track NES at an initial velocity of 0.42 m/s

可以很明顯地從圖5 中得知振動頻率，ωN,a=0.57 rad/s。同時，為了在同一張圖中顯示3 個運動變量的時程曲線，速度和加速度分別按進(jìn)行縮小，縮小后的曲線如圖5 所示。

圖6 為圖5 中的運動產(chǎn)生的恢復(fù)力FN及其分力Fa、Fv和Fd隨位移變化的曲線圖。從圖6a 可以看出，F(xiàn)a始終與Fd方向相反，F(xiàn)v始終與Fd方向相同，這與第3 節(jié)中得出的結(jié)論相同。

圖6 0.42 m/s 初始速度下無阻尼軌道NES 的力-位移關(guān)系曲線Fig.6 Force-displacement relationship curve of undamped track NES at an initial velocity of 0.42 m/s

此外，在所示運動的能量等級，F(xiàn)a和Fv非常小并且與Fd相比可以忽略。fa和fv的大小可以將ωN,a=0.57 rad/s 代入進(jìn)行計算，如式（26）和（27），均遠(yuǎn)小于fd=1。因此，式（22）可用于計算Fv在如式（28）所示的絕對值（ωN=1）處首次減小時，軌道NES 的位移，與圖6c 所示的Fv峰值時的位移（約為0.75 m）相一致。然而，F(xiàn)v的這種減小不會在FN中產(chǎn)生有效的尖端效應(yīng)，因為此時負(fù)向分力Fa增加的速率遠(yuǎn)快于Fv，并且Fa和Fv都遠(yuǎn)小于Fd，不能使FN發(fā)生顯著的變化。

圖7 和圖8 分別描述了當(dāng)自由體獲得5 m/s 初始速度（輸入能量相對較高）的無阻尼軌道NES 的運動狀態(tài)時程曲線圖和恢復(fù)力-位移關(guān)系曲線。圖7 中，速度和加速度時程分別按1/ωN,a（ωN,a=1.53 rad/s）和進(jìn)行縮小。在這種情況下，圖8 中，F(xiàn)a和Fv與Fd具有相同的數(shù)量級。在Fv中可以很清晰地觀察到力隨位移先增大后減小的變化，在位移的終端可以識別出在Fa中發(fā)生了微弱的尖端趨勢，在FN中尖端效應(yīng)顯著。此時，由于FN與Fd已不再相同，式（22）不能在此處用于計算Fv達(dá)到峰值時的位移。

圖7 5 m/s 初始速度下無阻尼軌道NES 的響應(yīng)曲線Fig.7 Responses curve of undamped track NES at an initial velocity of 5 m/s

圖8 5 m/s 初始速度下無阻尼軌道NES 的力-位移關(guān)系曲線Fig.8 Force-displacement relationship curve of undamped track NES at an initial velocity of 5 m/s

5 有阻尼軌道NES 尖端效應(yīng)分析

圖9 和10 分別是阻尼系數(shù)為1.7×105N·m/s 時，有阻尼軌道NES 附加在文獻(xiàn)[14]中的32 自由度，主體結(jié)構(gòu)頂層時的運動狀態(tài)時程曲線圖和恢復(fù)力-位移關(guān)系曲線圖。主體結(jié)構(gòu)每層以及NES 質(zhì)量塊的初始速度都為1 m/s。圖9 中軌道NES 的運動以主體結(jié)構(gòu)頂層運動為參考，即為兩者的相對運動，并且速度和加速度時程曲線分別按1/ωN,a（ωN,a=1.58 rad/s）和進(jìn)行縮小。由于軌道NES 中阻尼的存在以及主體結(jié)構(gòu)運動的激勵，軌道NES 的特性變得更加難以推測。Fv和Fa絕對值的減小每次都發(fā)生在不同的位移處，并且在尖端效應(yīng)發(fā)生的位移范圍內(nèi)有小幅度波動。此示例定性地論證了圖4 中的推論：Fv的減小比Fa的減小更容易發(fā)生，F(xiàn)v是軌道NES 中產(chǎn)生尖端效應(yīng)的主要原因，并且在較大的位移處尖端效應(yīng)更加顯著。

圖9 基激勵下有阻尼軌道NES 的響應(yīng)曲線Fig.9 Responses curve of damped track NES under base excitation

圖10 基激勵下有阻尼軌道NES 的力-位移關(guān)系曲線Fig.10 Force-displacement relationship curve of damped track NES under base excitation

6 結(jié)論

尖端效應(yīng)是軌道非線性能量阱的力-位移關(guān)系中存在的特有現(xiàn)象。本研究進(jìn)行了尖端效應(yīng)理論推導(dǎo)，分析了不同情況下軌道NES 的尖端效應(yīng)，得出以下結(jié)論：

1）分力Fv減小所對應(yīng)的位移小于分力Fa減小所對應(yīng)的位移，表明Fv絕對值的減小早于Fa絕對值的減小，各分力的減小程度不同步導(dǎo)致合力FN的大小發(fā)生上下波動，即產(chǎn)生尖端效應(yīng)。

2）無阻尼軌道NES 尖端效應(yīng)分析結(jié)果表明，輸入能量相對較低時，分力Fa和Fv非常小且與Fd相比均可以忽略。由于負(fù)向分力Fa增加的速率遠(yuǎn)快于Fv，且Fa和Fv都遠(yuǎn)小于Fd，不能使FN發(fā)生顯著的變化，F(xiàn)v的減小不會在FN中產(chǎn)生有效的尖端效應(yīng)。輸入能量相對較高時，在Fv中可以很清晰地觀察到力隨著位移先增大后減小的變化，在位移終端可以識別到在Fa中發(fā)生了微弱的尖端趨勢，且在FN中尖端效應(yīng)顯著。

3）有阻尼軌道NES 尖端效應(yīng)分析結(jié)果表明，F(xiàn)v和Fa絕對值的減小每次都發(fā)生在不同的位移且在尖端效應(yīng)發(fā)生的位移范圍內(nèi)有小幅度波動，可以定性地說明Fv的減小比Fa的減小更容易發(fā)生，F(xiàn)v是軌道NES 中產(chǎn)生尖端效應(yīng)的主要原因，在較大的位移處尖端效應(yīng)更強。

基于上述結(jié)論：在Fv達(dá)到峰值以前，F(xiàn)v和Fa的絕對值大小相近，且由于Fa和Fv的方向總是相反，F(xiàn)d成為FN中最具有代表性的項，可采用Fd（式（12））作為其恢復(fù)力進(jìn)行軌道NES 的初步設(shè)計。