基于二階滑模的永磁同步電機(jī)直接轉(zhuǎn)矩控制研究

周志宇，文定都，張 陽，田其章，劉建華

（湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

永磁同步電機(jī)（permanent magnet synchronous motor，PMSM）結(jié)構(gòu)簡單、損耗小、效率高、電機(jī)形狀及尺寸可靈活多樣。隨著材料技術(shù)的不斷發(fā)展和性能提高，PMSM 已經(jīng)在民用、航天和軍事等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[1-2]。然而，PMSM 是個(gè)多變量、非線性和變參數(shù)的復(fù)雜對(duì)象，為獲得較好性能，需對(duì)其采用一定的控制算法。

無傳感器控制技術(shù)采用一定的控制算法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子位置及速度估算，這代表了PMSM 控制系統(tǒng)的發(fā)展趨勢。目前常用的算法包括滑模觀測器算法、模型參考自適應(yīng)控制算法、擴(kuò)展卡爾曼濾波器算法等[3]。其中，滑模觀測器算法對(duì)系統(tǒng)模型精度要求不高，對(duì)參數(shù)變化和外部干擾反應(yīng)不靈敏，但這種算法魯棒性較強(qiáng)。在PMSM 控制系統(tǒng)中，該算法是基于給定電流與反饋電流間的誤差設(shè)計(jì)滑模觀測器（sliding mode observer，SMO），通過該誤差重構(gòu)電機(jī)的反電動(dòng)勢，估算轉(zhuǎn)子速度[4-5]。而實(shí)際控制量是不連續(xù)的高頻切換信號(hào)，為獲得連續(xù)的擴(kuò)展反電動(dòng)勢估計(jì)值，需外加一個(gè)低通濾波器，采用反正切函數(shù)來獲得轉(zhuǎn)子的位置信息。

傳統(tǒng)的直接轉(zhuǎn)矩控制（direct torque control，DTC）采用兩個(gè)Bang-bang 控制器分別對(duì)轉(zhuǎn)矩與磁鏈進(jìn)行控制，響應(yīng)速度較快、對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化和外干擾魯棒性較強(qiáng)，但逆變器不穩(wěn)定的開關(guān)頻率，導(dǎo)致一個(gè)數(shù)字控制周期中所選用的有效電壓矢量無法與期望的電壓矢量一致，使得傳統(tǒng)DTC 中磁鏈和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)過大[6]。為獲得連續(xù)且更多的電壓矢量，保證逆變器開關(guān)頻率的恒定，本研究采用空間電壓矢量脈寬調(diào)制（space vector pulse width modulation，SVPWM） 方法，同時(shí)引入二階滑模控制器，構(gòu)建轉(zhuǎn)矩與磁鏈調(diào)節(jié)器[7-8]。基于理論與系統(tǒng)仿真分析表明，該算法控制精度高，抗干擾性強(qiáng)，增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。

2 PMSM 數(shù)學(xué)模型

為了簡化分析，假設(shè)永磁同步電機(jī)在以下理想情況的基礎(chǔ)上建立簡單可行的數(shù)學(xué)模型：1）忽略鐵芯的飽和；2）忽略電機(jī)中的渦流和磁滯損耗；3）電機(jī)中電流為對(duì)稱的三相正弦波電流。

根據(jù)電機(jī)理論，將同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的方程利用反Park 變換，可得靜止坐標(biāo)系下的方程：

式中：uα、uβ為靜止坐標(biāo)系下的定子電壓；iα、iβ為定子電流；R、Ls分別為定子電阻與定子電感；eα、eβ為靜止坐標(biāo)系下的反電動(dòng)勢，具體公式為

式中：ωe為電角速度；ψf為永磁體磁鏈；θ為轉(zhuǎn)子角度。

根據(jù)式（1）可得出PMSM 在靜止坐標(biāo)系下的電流模型：

3 系統(tǒng)設(shè)計(jì)

3.1 滑模控制器的設(shè)計(jì)

3.1.1 速度控制器的設(shè)計(jì)

PMSM 是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合的多變量系統(tǒng)。控制系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)的影響，電機(jī)內(nèi)部參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，傳統(tǒng)的PI 控制方法并不能滿足實(shí)際要求[9]。因此，為提高PMSM 調(diào)速系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，本研究利用滑模控制器（sliding mode control，SMC）對(duì)擾動(dòng)與參數(shù)不敏感、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)采用滑模速度控制器。以表貼式PMSM 為例，建立同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型如下：

式中：ud、uq分別為定子電壓的d-q軸分量；id、iq分別為定子電流的d-q軸分量；ωm為角速度；pn為電機(jī)相數(shù)；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；B為轉(zhuǎn)矩阻尼系數(shù)。

當(dāng)id=0 時(shí)，轉(zhuǎn)子磁場定向控制方法可以獲得較好的控制效果，數(shù)學(xué)模型變?yōu)?/p>

電磁轉(zhuǎn)矩方程為

定義永磁同步電機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)變量方程為

式中：ωref為電機(jī)的參考轉(zhuǎn)速；ωm為實(shí)際轉(zhuǎn)速。

根據(jù)式（5）～（7），聯(lián)立求解可得方程組：

定義滑模面函數(shù)為

式中，c為設(shè)計(jì)參數(shù)，且c＞0。

對(duì)式（10）求導(dǎo)，可得出：

本研究采用指數(shù)趨近率，可得：

為了從根本上避免或削弱系統(tǒng)抖振，采用準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)控制。將繼電特性連續(xù)化，用連續(xù)函數(shù)θ(z)取代sgn(z)，可得：

為保證PMSM 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)有良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，定義控制器的表達(dá)式如下：

參考轉(zhuǎn)矩為

容易驗(yàn)證在滑模控制器的作用下，系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定。

3.1.2 直接轉(zhuǎn)矩控制器設(shè)計(jì)

同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d-q下，求解電磁轉(zhuǎn)矩Te的表達(dá)式為

定子磁鏈?zhǔn)噶康姆较蚺cd軸方向相同時(shí)，ψr=ψd，定子磁鏈幅值可表示為

在二階滑模控制算法中，對(duì)于一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其表達(dá)式如下：

式中：n為輸入變量；y為輸出量；a、b、g為未知函數(shù)。

在二階滑模控制中，一個(gè)為不連續(xù)的滑動(dòng)變量函數(shù)，另一個(gè)為連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)：

定義磁鏈的滑模面函數(shù)為

利用二階滑模控制原理，此時(shí)磁鏈控制器的表達(dá)式為

式中Ki、Kp為待設(shè)計(jì)參數(shù)，且Ki、Kp＞0。

同樣，利用二階滑模原理，此時(shí)轉(zhuǎn)矩控制器的表達(dá)式為

式中ST為轉(zhuǎn)矩的滑模面函數(shù)。

令設(shè)計(jì)參數(shù)r=0.5，基于滑模控制的DTC 控制框圖如圖1 所示。

圖1 基于二階滑模的DTC 控制框圖Fig.1 DTC control block diagram based on second order sliding mode

3.2 滑模觀測器的設(shè)計(jì)

滑模控制系統(tǒng)是一種特殊的非線性控制系統(tǒng)，它與常規(guī)控制的根本區(qū)別在于控制的不連續(xù)性，即一種使系統(tǒng)“結(jié)構(gòu)”隨時(shí)變化的開關(guān)特性[10-11]。這種方法實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵在于滑模面函數(shù)的選取和滑模增益的選擇，既要保證收斂的速度，又要避免增益過大引起電機(jī)運(yùn)行產(chǎn)生過大抖振[12]。在PMSM 控制系統(tǒng)中，該方法是基于給定電流與反饋電流間的誤差，并由該誤差來重構(gòu)電機(jī)的反電動(dòng)勢、估算轉(zhuǎn)子速度[13]。

3.2.1 電流滑模觀測器的搭建

電流SMO 算法的設(shè)計(jì)是基于靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，電機(jī)方程為

式中[EαEβ]T為反電動(dòng)勢，其表達(dá)式為

為方便觀察擴(kuò)展反電動(dòng)勢，將式（26）的電壓方程改寫為電流方程

為獲得擴(kuò)展反電動(dòng)勢的估計(jì)值，設(shè)計(jì)電流滑模為

將式（28）與式（29）作差，可得出電流的誤差方程為

滑模控制率設(shè)計(jì)為

式中：

觀測器的狀態(tài)變化達(dá)到滑模面后，觀測器狀態(tài)會(huì)一直保持在滑模面上，根據(jù)滑模控制基本原理，可得：

3.2.2 反正切函數(shù)的轉(zhuǎn)子位置估計(jì)

實(shí)際控制量為不連續(xù)的高頻切換信號(hào)，為提取連續(xù)的擴(kuò)展反電動(dòng)勢估計(jì)值，需要加一個(gè)低通濾波器：

式中τ0為低通濾波器時(shí)間常數(shù)。

在進(jìn)行低通濾波處理時(shí)，濾除高頻切換信號(hào)的同時(shí)，擴(kuò)展反電動(dòng)勢的估計(jì)值也會(huì)相應(yīng)變化，本研究采用反正切函數(shù)獲得轉(zhuǎn)子位置信息：

濾波處理獲得的反電動(dòng)勢估算分量會(huì)引發(fā)相位延遲，通常需要在式（34）基礎(chǔ)上加一個(gè)角度補(bǔ)償，如式（35）所示：

式中ωc為濾波器的截止頻率。

反正切SMO 算法的實(shí)現(xiàn)原理框圖如圖2 所示。

圖2 反正切SMO 原理框圖Fig.2 Principle block diagram of arctangent SMO

4 系統(tǒng)建模仿真與結(jié)果分析

4.1 仿真模型的搭建

根據(jù)文中算法描述，在Matlab/Simulink 環(huán)境下搭建仿真模型，以此驗(yàn)證基于二階滑模的PMSM 直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)在動(dòng)靜態(tài)性能上的優(yōu)勢。其系統(tǒng)框圖如圖3 所示。

圖3 基于二階滑模的永磁同步電機(jī)直接轉(zhuǎn)矩控制框圖Fig.3 Direct torque control block diagram of permanent magnet synchronous motor based on second order sliding mode

根據(jù)滑模控制器的原理，滑模速度控制環(huán)仿真模型如圖4 所示，其中的參數(shù)設(shè)置為c=60、ε=200、m=300。

圖4 滑模速度控制器仿真模型Fig.4 Simulation model of sliding mode speed controller

反正切觀測器仿真模型如圖5 所示，基于反正切函數(shù)部分仿真模型如圖6 所示。基于二階滑模的永磁同步電機(jī)直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)仿真模型如圖7 所示，永磁同步電機(jī)的參數(shù)設(shè)置如表1 所示。其中的仿真的條件為Vdc=311 V，SVPWM 的開關(guān)頻率為10 kHz，仿真運(yùn)行時(shí)間為0.4 s。

圖5 反正切觀測器仿真模型Fig.5 Simulation model of arctangent observer

圖6 滑模觀測器中使用反正切函數(shù)仿真模型Fig.6 Simulation model use arctangent function in sliding mode observe

圖7 基于二階滑模的永磁同步電機(jī)直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)仿真模型Fig.7 Simulation model of PMSM direct torque control system based on second order sliding mode

表1 永磁同步電機(jī)參數(shù)Table 1 Parameters of permanent magnet synchronous motor

4.2 仿真結(jié)果與分析

永磁同步電機(jī)傳統(tǒng)直接轉(zhuǎn)矩控制和基于二階滑模的永磁同步電機(jī)直接轉(zhuǎn)矩控制仿真結(jié)果如圖8～11所示。由圖8a、b 所示傳統(tǒng)直接轉(zhuǎn)矩系統(tǒng)轉(zhuǎn)速波形與改進(jìn)后的控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)速波形可以看出，與傳統(tǒng)直接轉(zhuǎn)矩控制相比，改進(jìn)后的轉(zhuǎn)速觀測值較為穩(wěn)定，超調(diào)量基本為0。

圖8 系統(tǒng)轉(zhuǎn)速波形Fig.8 System speed waveform

圖9 TL=5 N·m 時(shí)的系統(tǒng)轉(zhuǎn)速波形Fig.9 System speed waveform with TL =5 N·m

由圖9 可看出，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)加載5 N·m 時(shí)，傳統(tǒng)的直接轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速波形波動(dòng)十分明顯，超調(diào)量σ接近10%，調(diào)節(jié)時(shí)間為0.07 s，而改進(jìn)后的控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)速波形響應(yīng)速度快且超調(diào)量σ接近0，調(diào)節(jié)時(shí)間為0.055 s。在0.2 s 后，傳統(tǒng)直接轉(zhuǎn)矩由于負(fù)載較大，無法恢復(fù)到額定轉(zhuǎn)速，而改進(jìn)后的控制系統(tǒng)能在較短時(shí)間內(nèi)恢復(fù)到額定轉(zhuǎn)速，表明系統(tǒng)的抗干擾能力增強(qiáng)。

圖10 TL=5 N·m 時(shí)的系統(tǒng)電磁轉(zhuǎn)矩波形Fig.10 system electromagnetic torque waveform with TL =5 N·m

由圖10 可以看出，選取[0.250 s，0.260 s]時(shí)間段觀察，傳統(tǒng)直接轉(zhuǎn)矩波動(dòng)范圍為4.0～5.5 N·m，轉(zhuǎn)矩波動(dòng)為1.5 N·m，而改進(jìn)后的系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)范圍為5.0～5.6 N·m，轉(zhuǎn)矩波動(dòng)為0.6 N·m，可見轉(zhuǎn)矩波動(dòng)范圍明顯減小。

圖11 系統(tǒng)磁鏈波形圖Fig.11 Flux linkage waveform of system

由圖11 可看出，傳統(tǒng)直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)的磁鏈波動(dòng)為0.294～0.304 Wb，磁鏈脈動(dòng)為0.01 Wb，而改進(jìn)后的系統(tǒng)磁鏈波動(dòng)范圍為0.297～0.301 Wb，磁鏈脈動(dòng)為0.004 Wb，可見磁鏈波動(dòng)范圍也明顯減小，這樣電機(jī)抖動(dòng)噪聲比明顯減小。

根據(jù)上述的仿真曲線與分析可知，傳統(tǒng)直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)產(chǎn)生的超調(diào)量比較大，響應(yīng)時(shí)間比較長，抖振嚴(yán)重；改進(jìn)后的基于二階滑模直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)產(chǎn)生的超調(diào)量小，響應(yīng)時(shí)間短，抖振很小，抗干擾性能強(qiáng)，具有較強(qiáng)的魯棒性能。

5 結(jié)語

本研究提出了一種基于二階滑模的直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)。用SVPWM 空間矢量脈沖寬度調(diào)制技術(shù)代替滯環(huán)控制與開關(guān)表，獲取了更多連續(xù)的電壓矢量，使逆變器的開關(guān)頻率得到控制。采用二階滑模控制器調(diào)節(jié)磁鏈和轉(zhuǎn)矩，減少了電機(jī)參數(shù)與外界干擾對(duì)磁鏈和轉(zhuǎn)矩控制的影響。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：基于二階滑模的直接轉(zhuǎn)矩永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)，在超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間、轉(zhuǎn)矩和磁鏈脈動(dòng)上，都優(yōu)于傳統(tǒng)直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)，能較好地消除抖振，提高了系統(tǒng)的抗干擾能力和魯棒性能。