一般黏彈性耗能單自由度系統非均勻和完全非平穩地震響應分析

賈松林 王博文 胡 強 昌明靜

（廣西科技大學土木建筑工程學院，柳州 545006）

0 引 言

黏彈性阻尼器是一種有效的被動減震控制裝置，具有廣泛的工程適應性［1］。它既可用于結構的抗風抗震中，又可用于震損結構的加固及震后修復工程中。

實際工程應用中，阻尼器的安裝往往依附于支撐。對于設置支撐的一般線性黏彈性阻尼器系統，支撐剛度不僅影響結構的整體響應［2-6］，而且影響阻尼器的受力和變形；消能減震構件的損傷和破壞均加劇了主體結構的損傷和破壞［7-8］。所以，對設置支撐的黏彈性阻尼器保護系統的研究具有重要意義。

目前線性黏彈性阻尼器計算模型主要包括一般微分模型及其近似［9-11］、分數導數模型［9，12-17］、復模量模型及其近似［1，19-22］、一般積分型模型［9，19，23-28］。其中，最一般的模型是一般積分型模型，其余模型均為一般積分型模型的近似或無限逼近［9，19，23-28］。

黏彈性耗能結構現有解析法的代表有擴階精確法［29-30］、非擴階近似法［31］等，它們存在物理意義不明確、假設較多、計算效率低等缺陷［22，32］，導致這些方法適用性受限。傳遞函數法降低了積分微分型方程的求解難度，求解過程簡單，計算效率高。

目前，現有研究僅獲得單自由度一般黏彈性耗能結構在簡諧荷載激勵下穩態響應的解析解和一般黏彈性耗能結構在任意激勵和非零初始條件下瞬態響應的解析解［33］，此解析解具有明確的物理意義，揭示耗能結構及其保護系統的振動機理。但單自由度一般黏彈性阻尼器耗能結構及其保護系統在任意激勵和非零初始條件下的時域瞬態位移響應與速度響應的非正交振型疊加精確解尚待深入研究。

地震從發生到結束的整個過程，一般都是非平穩隨機過程［34-36］，因此，科研人員提出了很多地震激勵模型［37-40］，其中 Kanai-Tajimi譜地震激勵模型具有符合地震動特點且表達式相對簡單而受到廣大科研人員的重視［41］。通常采用Priestley提出的演變功率譜模型來分析非均勻非平穩隨機過程；Conte和Peng［42］提出的完全非平穩模型反映了地震的強度非平穩和頻率非平穩特性，其計算參數可通過實際地震加速度演變功率譜擬合得到，具有較強通用性。目前已獲得廣義Maxwell阻尼耗能結構在平穩濾過白噪聲激勵下的平穩響應解析解［43-45］和Maxwell阻尼耗能結構均勻非平穩地震響應解析分析［32］，然而對于單自由度一般黏彈性耗能結構及其保護系統在非均勻與完全非平穩地震激勵下的響應解析分析尚未建立。

本文采用一般積分型黏彈性分析模型，對設置支撐的單自由度一般黏彈性阻尼耗能系統非平穩地震響應進行了研究。獲得了耗能結構及其保護系統（結構位移與速度、阻尼器受力與受力速率，以及支撐和阻尼器位移與速度）在任意激勵作用下瞬態響應解析解，建立了耗能結構及其保護系統非均勻與完全非平穩地震響應分析。采用兩種典型結構，通過復模態法和頻響函數法驗證了本文方法的正確性、簡易性和普適性。傳遞函數法不需要擴階，降低了積分微分型方程的求解難度，求解過程簡單，一般黏彈性阻尼器耗能結構均可以使用本文的方法，進行結構系統的非均勻和完全非平穩地震響應分析，而復模態法只能適應特定的阻尼器形式。為建立單自由度設置支撐的一般黏彈性阻尼耗能系統非均勻與完全非平穩地震響應分析提供方法。

1 阻尼器本構方程

1.1 一般黏彈性阻尼器本構關系

一般積分型模型是黏彈性阻尼器中最一般的模型，能精確、簡潔地描述其應力-應變關系，且計算結果較為準確，計算簡圖如圖1所示。

圖1 一般積分型模型Fig.1 General integral model

式中：PQ(t)為一般積分型阻尼器的受力；xQ(t)為阻尼器的相對位移；?Q(t)為xQ(t)的導數，表示阻尼器的速度；k0為阻尼器的平衡剛度；hQ(t)為阻尼器的松弛函數；Q(t)為阻尼器的松弛模量函數。

1.2 設置支撐的一般黏彈性阻尼器等效方程

實際工程中，阻尼器需與支撐串聯設置在結構中，以發揮較好的耗能效果。現將水平支撐與阻尼器的整體串聯系統作為等效阻尼器PG(t)，以考慮水平支撐剛度kb對阻尼器響應特性的影響，其計算模型如圖2所示。kG為等效阻尼器的平衡剛度，hG(t)為等效阻尼器的松弛函數，G(t)為等效阻尼器的松弛模量函數，等效阻尼器PG(t)的計算模型如圖3所示。

圖2 設置支撐一般線性黏彈性阻尼器計算模型Fig.2 The calculation model of general linear viscoelastic damper with support

圖3 等效阻尼器計算模型Fig.3 The calculation model of equivalent damper

設xb為水平支撐kb的相對位移；xQ為阻尼器PQ(t)的相對位移，x為等效阻尼器PG(t)的相對位移，為x的導數，表示阻尼器的速度，則阻尼器PQ(t)的力和變形滿足：

2 結構運動方程

設置支撐的單自由度一般黏彈性阻尼耗能結構的動力方程可表示為

式中：m、k、c分別為結構的質量、剛度、阻尼；x為結構位移，為結構速度，為結構加速度；f(t)為結構的任意外部激勵；特別地，對于地震動激勵，f(t)=-mg(t)，其中g(t)為地震地面加速度。等效阻尼器PG(t)的平衡剛度和松弛函數為kG、hG(t)。結構整體方程式（9）和式（10）可化簡為

式中：ω0為結構的自振頻率；ξ0為結構的阻尼比。

3 結構系統傳遞函數法

3.1 阻尼器特征分析

設結構的初始條件為

由拉氏變換，式（11）可表示為

由拉氏變換，并考慮式（14），式（10）可得：

故等效阻尼器PG(t)的動剛函數DG(s)和傳遞函數HG(s)分別為

由PG(t)的實際物理意義和式（10），知PG(t)≠0，故

式（22）對任意初始位移x0均成立，故有

由式（15）和式（21），可得結構特征值sj及其對應模態uj、等效阻尼器特征值λj及其對應模態vj滿足的方程分別為

式（23）—式（26）表明：結構特征值和等效阻尼器的特征值完全一樣，N為特征值的個數，即sj=λj(j=1～N；N=n+2)。

根據前期研究［33］對具有實際物理意義的任意動剛Dx(s)均成立。故對于PG(t)的傳遞函數HG(s)和sHG(s)，下列解析式均成立：

由式（21），并考慮關系式（24），可得：

3.2 阻尼力瞬態響應解析解

由式（27）、式（19）和式（17），有

由拉氏逆變換，式（32）可表示為

式中，δ(t)為Dirac delta函數。

當t＞0時，阻尼力響應表示為

式中，aj(t)表示由初始條件產生的部分響應。

顯然，對于零初始條件，aj(t)=0(j=1～N)。

當t＞0時，由式（28）、式（19）和式（17）阻尼力速率響應可表示為

3.3 結構瞬態響應解析解

結構位移和速度瞬態響應解析解：

3.4 支撐和阻尼器瞬態響應解析解

支撐剛度、原阻尼器和等效阻尼器有以下關系：

式中：xb、xQ和x分別為支撐位移、原阻尼器位移和層間相對位移；kb為支撐剛度。

對于t＞0，由式（39）可得：

將式（34）、式（36）—式（38）分別代入式（40）和式（41），可得：

3.5 結構系統地震響應

對于地震動激勵，f(t)=-mg，在零初始條件下，由式（34）、式（36）—式（38）和式（42）—式（45），阻尼器受力、受力速率，結構及支撐位移、速度，阻尼器位移、速度系統響應量S(t)均可以統一表示為

式中：ρj為系統響應S(t)對應的組合系數，例如，結構位移響應S(t)，ρj=ηj；

4 非平穩地震激勵響應分析

4.1 非平穩地震激勵模型

地震動過程通常包含強度非平穩和頻率非平穩兩個非平穩過程，通常采用Priestley提出的演變功率譜模型，它可以表示為

特別是當t1=t2時，

4.2 結構系統非均勻與完全非平穩響應的解析式

結構系統一般響應S(t)的非平穩協方差函數的表達式為

將式（51）代入式（54）可得：

式（56）為標準一階系統在激勵eiωta(ω,t)下響應積分形式。因此，可表示為如下方程的解：

式中：Yh，j(ω，t)為式（57）的齊次解；Yp，j(ω，t)為式（57）的特解。

?由初始狀態t=0所決定的。假定特解Yp，j(ω，t)已經求出。

由式（55）和式（56）可得：

將式（58）—式（60）可得：

4.2.1 Spanos-Solomos型調制函數

式中，ε(ω)、α(ω)表示以ω為自變量的函數。

式（59）中?由初始狀態t=0時，Yj(ω,0)=0所決定的。Yp，j可表示為

將式（63）代入式（61）得：

4.2.2 Conte-Peng非平穩功率譜模型

完全非平穩模型［42］的演變功率譜密度函數為：

式中，U(t-tf)為單位階躍函數。

式中，Sx?f(ω)為第f個平穩高斯過程的功率譜密度函數；af(t)為第f個高斯過程的調制函數；vf和ηf分別為隨機過程的頻帶寬和卓越頻率；εf，tf，rf，αf為描述調制函數af(t)的4個參數。

式（59）中?由初始狀態t=tf時所決定的。由式（57）—式（61）可得：

式中：Yj，f(ω，t)和Yp，j(f)(ω，t)分別為在C-P譜p個相互獨立、零均值、均勻調制高斯激勵下，式（57）中的第f個通解和特解。

因此，式（69）的特解為

將式（70）代入式（69）得：

將式（72）代入式（55）得：

本文第3節為瞬態響應的非擴階模態疊加解析解的求解，其中，式（34）、式（36）—式（38）和式（42）—式（45）為重點公式；本文第4節為非均勻與完全非平穩地震激勵下響應解析解求解，其中，式（61）、式（64）和式（72）為重點公式。

5 驗證和算例分析

下面對2種典型耗能結構的驗證分析和算例分析，來驗證本文方法的正確性。

5.1 Maxwell阻尼減震系統

5.1.1 運動方程

單自由度帶支撐Maxwell阻尼耗能系統計算簡圖如圖4所示，在地震動激勵作用下，結構運動方程可表示為

圖4 結構模型Fig.4 Model of structure

式中：xb為水平支撐kb的相對位移；x為結構的相對位移；xQ(t)為阻尼器的相對位移；阻尼器的平衡剛度和松弛函數為k0和hQ(t)；阻尼單元的剛度和阻尼為k1和c1，阻尼單元松弛時間的倒數為μ1；hQ(t)的拉氏變換為Q(s)；s為拉氏變換的狀態變量。

5.1.2 驗證分析

1）本文方法

由式（11），則式（74）—式（77）可以簡寫為

結構特征值sj(j=1～3)滿足特征方程式（15）為

由式（30）可得：

在零初始條件下，由式（37）、式（38）、式（34）、式（36）和式（42）—式（45），結構系統所有的響應可以表示為

2）復模態法

（1）結構狀態方程

引進一個內部變量P1(t)為

考慮式（78），可得：

將式（75）代入式（76），同時考慮式（77）、式（74）和式（76），可以寫為

將式（96）分別代入式（95）和式（94），最終可得：

式（99）、式（97）和式（98）以擴階的形式表示為

寫成矩陣形式為

（2）結構特征值和特征向量分析

特征值sj為特征方程式（104）的根，即

式中，I為單位矩陣。

比較式（108）和式（84），可以看出由兩種方法得到的特征值sj(j=1～3)是完全相同的。

由特征值sj(j=1～3)和右、左模態向量可得：

式中，[·]T表示矩陣的轉置。

由式（109）和式（110），特征值sj(j=1～3)對應的右、左模態向量可取：

（3）結構響應分析

對于零初始條件，系統響應可以由式（104）以擴階的方法表示如下：

比較式（115）和式（86），并考慮式（108），可得：

可由式（113）、式（114）和式（117）得到結構響應為

式中，Φj=[Φ1jΦ2jΦ3j]T。

比較式（118）、式（119）和式（87），兩種方法所得的結果完全一樣。

（4）支撐和阻尼器響應分析

由式（100）和式（120），可得：

由式（98）、式（119）和式（121），可得：

由式（96）、式（118）、式（119）、式（121）和式（122），可得：

由式（75）、式（118）、式（119）、式（123）和式（124），可得：

比較式（123）—式（126）和式（89）、式（90），兩種方法所得的支撐和阻尼器響應解析式完全相同。

（5）阻尼器受力響應分析

由式（77）、式（93）、式（119）、式（123）和式（124），可得

比較式（127）、式（128）和式（88），兩種方法所得的阻尼器受力響應解析式完全相同。

5.2 廣義Maxwell阻尼減震系統

5.2.1 運動方程

單自由度帶支撐廣義Maxwell阻尼耗能系統計算簡圖如圖5所示，在地震動激勵作用下，結構運動方程可表示為

圖5 結構模型Fig.5 Model of structure

式中：xb為水平支撐kb的相對位移；x為結構的相對位移；xQ(t)為阻尼器的相對位移；阻尼器的平衡剛度和松弛函數為k0和hQ(t)；阻尼器各單元的剛度和阻尼為ki和ci，阻尼器各單元松弛時間的倒數為μi；hQ(t)的拉氏變換為Q(s)；s為拉氏變換的狀態變量。

由式（9）—式（11），則式（129）—式（132）可以簡寫為

5.2.2 驗證分析

1）直接計算法

由傅氏變換，式（135）和式（136）可得到結構位移和等效阻尼器頻響函數表達式為

式中，HG(iω)是hG(t)的傅氏變換：

2）特征值法

由式（15），結構的特征值sj(j=1～N)可由下式求出：

由式（30）可求得：

由式（37）和式（34），結構位移和阻尼力響應解析解為

由式（142）和式（143），結構位移和等效阻尼器的頻響函數表達式為

由直接法獲得的精確解是正確的，如果本文方法正確，直接法得到的頻響函數解析式（141）、式（142）和本文方法得到的頻響函數解析式（147）、式（148）應該相等，否則就不正確，下面通過算例來驗證。

3）驗證分析算例

設置支撐的五參數Maxwell阻尼器單自由度耗能系統計算簡圖，如圖6所示，其結構的基本參數為：質量m=42 500 kg，剛度k=145.43×105N/m，阻尼比ξ0分別取 0.05、0.1、0.15、0.20。五參數Maxwell阻尼器的基本參數為：平衡剛度為k0=0.36×105N/m，支撐剛度為kb=1.5k，五參數Maxwell阻尼器兩分支單元的剛度和阻尼分別為k1=42.08×105N/m，c1=0.83×105N·s/m；k2=6.87×105N/m，c2=2.15×105N·s/m。

圖6 結構模型Fig.6 Model of structure

阻尼比ξ0分別取四種工況 0.05、0.1、0.15、0.20，圖像從上到下依次是阻尼比為0.05、0.1、0.15、0.20。分別按照式（136）、式（137）和式（144）、式（145）頻響函數表達式的計算，結果如圖7、圖8所示，圖中曲線代表直接計算法，點線代表本文方法，結構的位移和阻尼力的頻響函數，在四種工況下，通過直接計算法和本文方法，計算得到的圖像都是重合的，可驗證本文方法的正確性。

圖7 結構位移頻率響應函數Fig.7 Structural displacement’s frequency response function

圖8 阻尼力頻響函數Fig.8 Frequency response function of damping force

4）響應分析算例

設置支撐的五參數Maxwell阻尼器單自由度耗能系統計算簡圖，如圖6所示，其結構的基本參數為：質量m=1000kg，剛度k=2×105N/m，阻尼比ξ0取0.04。五參數Maxwell阻尼器的基本參數為：平衡剛度k0=1×105N/m，支撐剛度kb=rbk，按4種工況分別取kb=0.8k，kb=1.5k，kb=10k，kb=∞；五參數Maxwell阻尼器兩分支單元的剛度和松弛時間倒數分別為k1=1.2×104N/m，k2=0.8×104N/m；μ1=50s-1，μ2=40s-1。f(t)的功率譜密度取Kanai-Tajimi譜：

地震動激勵參數取為：軟土；地震烈度I=8；軟土場地特征頻率和阻尼比ωf=10.9rad/s，ξf=0.96；地震動譜強度：

調幅函數a(t)分別取為Spanos-Solomos型非均勻非平穩和完全非平穩地震激勵模型。

Spanos-Solomos型非均勻調制函數：

完全非平穩模型取1940年El Centro地震動模型［42］。

計算結果為：

在Spanos-Solomos型非均勻非平穩地震激勵下，阻尼器受力、受力速率，支撐位移、速度，阻尼器位移、速度響應方差如圖9—圖16所示。

圖9 Spanos-Solomos型調幅函數下結構位移響應方差Fig.9 Variance of structural displacement response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖10 Spanos-Solomos型調幅函數下結構速度響應方差Fig.10 Variance of structural velocity response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖11 Spanos-Solomos型調幅函數下阻尼力響應方差Fig.11 Variance of damping force response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖12 Spanos-Solomos型調幅函數下阻尼力速度響應方差Fig.12 Variance of damping force velocity response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖13 Spanos-Solomos型調幅函數下支撐位移響應方差Fig.13 Variance of support displacement response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖14 Spanos-Solomos型調幅函數下支撐速度響應方差Fig.14 Variance of support speed response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖15 Spanos-Solomos型調幅函數下阻尼器位移響應方差Fig.15 Variance of damper displacement response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖16 Spanos-Solomos型調幅函數下阻尼器速度響應方差Fig.16 Variance of damper velocity response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

在完全非平穩地震激勵下，阻尼器受力、受力速率，支撐位移、速度，阻尼器位移、速度響應方差如圖17—圖24所示。

圖17 完全非平穩地震激勵下結構位移響應方差Fig.17 Variance of structural displacement response under the fully non-stationary seismic excitation

圖18 完全非平穩地震激勵下結構速度響應方差Fig.18 Variance of structural velocity response under the fully non-stationary seismic excitation

圖19 完全非平穩地震激勵下阻尼力響應方差Fig.19 Variance of damping force response under the fully non-stationary seismic excitation

圖20 完全非平穩地震激勵下阻尼力速度響應方差Fig.20 Variance of damping force velocity response under the fully non-stationary seismic excitation

圖21 完全非平穩地震激勵下支撐位移響應方差Fig.21 Variance of support displacement response under the fully non-stationary seismic excitation

圖22 完全非平穩地震激勵下支撐速度響應方差Fig.22 Variance of support speed response under the fully non-stationary seismic excitation

圖23 完全非平穩地震激勵下阻尼器位移響應方差Fig.23 Variance of damper displacement response under the fully non-stationary seismic excitation

圖24 完全非平穩地震激勵下阻尼器速度響應方差Fig.24 Variance of damper velocity response under the fully non-stationary seismic excitation

由計算結果可以看出：在阻尼器其他參數不變情況下，隨著支撐剛度的增加，結構位移和速度，支撐位移和速度的響應方差減小，阻尼力、阻尼力速度、阻尼器位移和速度的響應方差增大。當kb≥10k時，支撐位移和速度的響應方差無明顯變化，其余各響應效果接近于kb=∞，此時可按kb=∞近似計算。

6 結 論

為建立一般黏彈性耗能結構及其保護系統的抗震分析與設計方法，對單自由度設置支撐的一般黏彈性耗能結構及其保護系統（結構位移與速度、阻尼器受力與受力速率以及支撐和阻尼器位移與速度）瞬態響應解析解和非平穩響應分析進行了研究；獲得了結構及其保護系統在任意激勵和非零初始條件下時域瞬態響應的非擴階模態疊加解析解，以及在非均勻與完全非平穩地震激勵下的響應解析解；通過復模態法和頻響函數法證明了本文方法的正確性，并通過兩種典型減震結構在非均勻與完全非平穩地震激勵下的響應分析算例，驗證了該方法的簡易性和普適性。為建立單自由度設置支撐的一般黏彈性阻尼耗能系統非均勻與完全非平穩地震響應解析分析提供方法。