菲爾茲獎兼沃爾夫數學獎得主的科研共性和教育觀點分析

郝順利

菲爾茲獎兼沃爾夫數學獎得主的科研共性和教育觀點分析

郝順利

（北京第二外國語學院 基礎科學部，北京 100024）

菲爾茲獎兼沃爾夫數學獎得主是數學拔尖創新人才的杰出代表．對16位菲爾茲獎兼沃爾夫數學獎得主的科研共性和教育觀點進行分析，發現他們的科研共性包括：具有較高的人文素養和科學素養；有堅定的意志、堅韌的毅力、足夠的耐心等；科研方法科學高效；他們的論文（著）是思想和論述的完美結合．他們的教育觀點主要有激發興趣、人格教育和學術影響、學數學家、以教促研和專業不要分得過早過細等．可以通過培養興趣和能力、引導學習和科研、指導論文、教研相長和專業及課程5個方面的途徑來培養數學拔尖創新人才．

科研共性；教育觀點；菲爾茲獎；沃爾夫數學獎；數學拔尖創新人才

菲爾茲獎（Fields Medal）是據加拿大數學家菲爾茲（John Charles Fields）提議設立的，于1936年首次頒發．菲爾茲獎是由國際數學聯盟（International Mathematical Union）主持評定，并在4年一次的國際數學家大會（International Congress of Mathematicians）上隆重頒發的國際性數學獎，每次頒給2～4名有卓越貢獻的年輕數學家．菲爾茲獎評委由國際數學聯盟執委會挑選，一般由國際數學聯盟主席擔任評委會主席．獲獎者能代表數學某個領域，在獲獎年元旦未滿40歲【懷爾斯（Andrew Wiles）在45歲時獲菲爾茲特別貢獻獎，是迄今為止唯一在40歲以上榮獲此獎的數學家】，每人將得到1.5萬加元的獎金和金質獎章一枚．截止2020年，共有2位華裔數學家獲得過菲爾茲獎，分別是1982年獲獎的丘成桐和2006年獲獎的陶哲軒．沃爾夫數學獎（Wolf Prize in Mathematics）是沃爾夫獎（Wolf Prize）的一個獎項．1976年1月1日，沃爾夫（Ricardo Wolf）及其家族捐獻1?000萬美元成立沃爾夫基金會（The Wolf Foundation），其宗旨是促進全世界科學、藝術的發展．基金會的理事會主席由以色列政府官員擔任，評獎委員會由世界著名科學家組成．沃爾夫基金會設有數學、物理、化學、醫學、農業5個獎（1981年又增設藝術獎），1978年開始頒發，頒給那些為人類利益以及各民族間的友好關系做出貢獻的杰出科學家和藝術家，而不考慮他們的國籍、種族、膚色、宗教信仰、性別和政治立場．通常每年頒發一次，每個獎項的獎金為10萬美元，可以由幾人分得．截止2020年，獲得沃爾夫數學獎的華人數學家也有2位，分別是1984年獲獎的陳省身和2010年獲獎的丘成桐．

菲爾茲獎和沃爾夫數學獎被共同譽為數學界的最高榮譽，也都被譽為“數學界的諾貝爾獎（Nobel Prize）”．菲爾茲獎表彰40歲以下數學家的突出成就，而沃爾夫數學獎是數學家的終身貢獻獎，因此菲爾茲獎兼沃爾夫數學獎得主無疑是數學拔尖創新人才的杰出代表．截止到2020年，共有16位菲爾茲獎兼沃爾夫數學獎得主．數學家阿貝爾（Niels Henrik Abel）認為：一個人如果要在數學上有所進步，就必須向大師學習．認真分析這些數學大師的科研共性和教育觀點，可以方便數學愛好者向他們學習，促進數學拔尖創新人才的培養．

到目前為止，研究者仍然沒有查到專門針對所有菲爾茲獎兼沃爾夫數學獎得主的科研共性和教育觀點進行研究的文獻，更沒有發現有文獻在此基礎上研究培養數學拔尖創新人才的有效途徑．實踐中，從1949年至今，中國還沒有出現菲爾茲獎兼沃爾夫數學獎得主．2017年，黨的十九大報告提出：“建設教育強國是中華民族偉大復興的基礎工程，必須把教育事業放在優先位置，加快教育現代化，辦好人民滿意的教育．加快一流大學和一流學科建設，實現高等教育內涵式發展．”培養基礎學科拔尖創新人才是高等教育強國建設的重大戰略使命．2019年4月29日，教育部啟動實施“六卓越一拔尖”計劃2.0，面向所有高校、所有專業，全面實施一流專業建設“雙萬計劃”、一流課程建設“雙萬計劃”、建設基礎學科拔尖學生培養一流基地．以此為契機，研究者首先分析16位菲爾茲獎兼沃爾夫數學獎得主的科研共性和教育觀點，然后在此基礎上研究培養數學拔尖創新人才的有效途徑．

1 菲爾茲獎兼沃爾夫數學獎得主的科研共性

經認真分析，對16位菲爾茲獎兼沃爾夫數學獎得主從以下4個方面研究其科研共性．

1.1 高水平數學家的必要條件有人文素養和科學素質

他們都有深厚的愛國之情，濃厚的興趣、豐富的想象力、敏銳的洞察力、很好的數覺、很強的理解力、很高的審美力、勤奮的工作態度和堅實的數學基礎．

他們都具有深厚的愛國熱情，以阿爾福斯（Lars Valerian Ahlfors）、塞爾伯格（Atle Selberg）和丘成桐為例．1978年，在芬蘭首都赫爾辛基召開的國際數學家大會上，當阿爾福斯聽到雄壯而親切的“芬蘭頌”時，非常激動[1]．塞爾伯格常常滿懷深情地談論祖國挪威的自然風光、語言、文學作品等．盡管已在美國度過了六十多年，但他的心從來沒有離開挪威，多次回去作學術報告．丘成桐極為關心中國數學事業的發展，在他的言談、文章和行動中經常體現出愛國之情．1995年5月，他在中國數學會60周年年會開幕式上接受中國科學院頒發給他外籍院士證書時說：“……我也期望自己能夠多多幫忙，促進國內數學的發展，因為無論在什么情形下，我還是把自己看作是中國籍人士；同時，雖然我是一個美籍人士，但數學是無國籍界限的．”[2]2004年3月，他又在“科技獎勵國際論壇”上說：“中國文化博大精深，對我有很大的影響，我引以自傲的是，祖國有源遠流長，迄今猶自欣欣向榮的文明．我雖然畢生研究基礎科學，但亦以推廣普及科學為己任，對與祖國有關的工作，尤其珍惜．”[3]數學沒有國界，但數學家有祖國．每個人必須把自己的事業同祖國的前途命運聯系在一起，才有更大的動力，才有可能取得更大的成功．

他們對數學都有濃厚的興趣，以小平邦彥（Kunihiko Kodaira）、塞爾伯格、德里費爾德（Vladimir Gersho- novich Drinfeld）、塞爾（Jean-Pierre Serre）、費弗曼（Charles Louis Fefferman）、懷爾斯和諾維科夫（Sergei Petrovich Novikov）為例．在中學學習平面幾何時，小平邦彥著迷于通過作輔助線來證明問題，老師稱贊他是“輔助線的愛好者”．在大學三年級時，他醉心于拓撲學，寫出了這方面的論文．塞爾伯格的父親有博士學位，是高級中學的數學教師，他的兩個哥哥都是數學教授，在家庭環境的感染和熏陶下，他自幼就喜歡數學．德里費爾德的父親是數學教授，從小就教他許多數學知識，并使他對數學產生興趣[4]．塞爾從七八歲起就喜歡數學．費弗曼最想做的事情是像所有數學家那樣去證明定理．懷爾斯于2005年8月底游覽故宮、天安門、天壇和北海后說：“我不愿意當皇帝，我寧肯做個數學家．”他還應邀為《中國青年報》的讀者贈言：“我認為中國的年輕人工作非常努力，希望他們勇于追求自己摯愛的東西，因為對事業的投入和熱愛將使他們在前進途中所向披靡．”諾維科夫有著廣泛活躍的研究興趣．興趣是最好的老師，在一個人的學習和科研中發揮著不可替代的作用．

他們都有豐富的想象力和敏銳的洞察力，以塞爾伯格和德利涅（Pierre Deligne）為例．塞爾伯格認為：一個罕見的高水平的數學家的特征是有想象力，足智多謀，對各種關系和模式的敏感，百折不撓，有耐心，有充沛的精力，有點運氣[5]．芒福德（David Bryant Mumford）和蒂茨（Jacques Tits）評價道：“德利涅有淵博的知識、大膽的想象力、強有力的技巧，以及無往不勝的洞察關鍵思想的本能．”[6]想象力和洞察力在數學發現中有重要的作用．

他們都有很好的數覺（數學直覺的簡稱），僅以小平邦彥為例．小平邦彥認為，要理解數學，不靠數覺便一事無成．沒有數覺的人不懂數學，就像五音不全的人不懂音樂一樣[7]．數覺可以幫助人們理解數學和解決數學問題．

他們對數學都有很強的理解力，以斯梅爾（Stephen Smale）和小平邦彥為例．斯梅爾認為，對數學的理解不是來自于讀甚或聽，而是來自對于所看到或聽到的知識進行再思考，只有按照自己的術語重新組織了數學時，才感覺理解了它，否則決不認為理解了數學[8]．小平邦彥也認為，數學的證明不只是論證，還有思考實驗的意思．所謂理解證明，也不是確認論證中沒有錯誤，而是自己嘗試重新修改思考實驗[7]．數學理解力對學習數學和研究數學的人都至關重要．

他們對數學都有很高的審美力，僅以塞爾伯格為例．塞爾伯格認為，在數學中，美學的考慮，漂亮、簡潔、別致等是與其真理性一樣重要的[9]．數學審美力決定著一個人的數學品味，也影響著一個人對數學的興趣．

他們都有勤奮的工作態度，僅以湯普森（John Griggs Thompson）為例．湯普森非常勤奮刻苦，他的工作習慣是每天至少工作10小時．勤奮的工作態度是工作取得成功所必需的和最重要的．實際上，一個取得成功的人往往是個勤奮的人．

他們都有堅實的數學基礎，以阿爾福斯、諾維科夫和芒福德為例．阿爾福斯在赫爾辛基大學學習期間，受到芬蘭現代數學奠基者林德勒夫（Ernst Leonard Lindel?f）和奈旺林納（Rolf Herman Nevanlinna）的教導，閱讀了許多名著，打下了堅實的數學基礎．諾維科夫也有深厚的數學功底．芒福德以其睿智和數學功底在計算機視覺領域做出了原創性和奠基性的貢獻．萬丈高樓平地起，堅實的數學基礎對于在數學方面和數學應用方面取得成功尤為重要．

1.2 高水平數學家的個性特征

他們都有堅定的意志，堅韌的毅力，足夠的耐心等個性特征．下面以懷爾斯、諾維科夫和費弗曼為例．懷爾斯證明費馬猜想用了將近7年，諾維科夫為了將當代幾何與拓撲學轉化為理論物理學家們能夠接受的形式，花了至少5年來專門學習物理學．費弗曼思索有些（數學）問題會用幾年或幾十年，他花了很多年研究關于原子的數學問題，最終將這個問題歸結為對系統能量的估計[10-12]．

可見，堅定的意志、堅韌的毅力、足夠的耐心等個性特征是高水平數學家取得成功必不可少的特質．世上沒有一項偉大成果的取得是輕而易舉的，都必須克服許多困難，付出很多努力．只有具備堅定的意志、堅韌的毅力、足夠的耐心等個性特征，才可能成為拔尖創新人才．

1.3 高水平數學家的科研方法

他們全面了解數學的主要領域，研究領域廣而深，注重各數學分支之間以及數學與其它學科之間的聯系，利用不同方向甚至不同領域的工具集中解決難題，重視數學成果在其它學科領域的應用，預測數學發展的趨勢，選擇有意義的研究問題，先整理、總結一個新分支的已知結果，再向它進軍，提出猜想和問題，向大科學家學習并跟他們交流與合作等．下面依次舉例說明．

小平邦彥認為，要研究數學，首先必須全面地、大概地了解數學的主要領域[7]．德利涅的研究領域非常廣泛和深入．德里費爾德的導師馬寧（Yuri Manin）說：“我希望我已讓你們對德里費爾德工作的廣度、概念的豐度、技巧的力度以及工作的優美有所了解……”[13]

德利涅認為，數學雖然有很多分支，不同分支對問題的處理方式可能不同，但本質上是一樣的，而且各數學分支之間有著必然的聯系．費弗曼把實分析與復分析方法進行和諧融合．德里費爾德認為，按純粹數學發展過來的與按數學物理發展過來的知識，兩者之間有很深的關系[4]．丘成桐是一位具有分析學家氣質的幾何學家，具有高超的分析技巧，用一種根本性的全新方法將偏微分方程、幾何和數學物理結合起來，塑造了幾何分析領域．馬爾古利斯（Grigory Margulis）善于利用不同數學分支甚至不同領域的工具來集中解決一個艱深難題．沃爾夫基金會公告稱：“馬爾古利斯的工作以其特別的深度、強有力的技巧、數學不同領域中思想、方法的創造性集成以及其最終形式結構上的完全協調為其特點．雖然他專注于研究那些深刻的未解決的問題……”[14]米爾諾（John Willard Milnor）善于利用拓撲學等的方法和結果解決其它領域的問題，他曾利用拓撲學的結果解決代數和幾何學中的經典問題，證明實數域上的可除代數只有實數域、復數域、四元數體和凱萊代數等．

諾維科夫注重抽象的數學成果在其它學科領域中的應用，也從事應用數學的研究．

阿爾福斯的研究方法是從過去看未來[15]．因為人們的數學思想不會發生突變，數學也會像過去一樣繼續發展．丘成桐認為，非線性現象是21世紀的研究對象，對計算機算法的認識將會導致深刻數學理論的產生，數學的統一是現代數學的趨勢[16-18]．懷爾斯選擇證明大難題費馬猜想，在試圖證明費馬猜想的不斷努力中，近代數論的許多內容被創建．他的證明被譽為20世紀最偉大的成就之一．

米爾諾總是先整理、總結一個新分支的已知結果，有時還寫成系統的講義作為入門，然后再向它進軍．

丘成桐說：“……許多猜想的提出是試圖知道正確的方向是什么樣的……我們不能只解決別人提出的問題．我們必須創設我們自己的問題．只有這樣，我們才能發展出一般理論……”[19]塞爾認為論文應該含有更多的注記、未解決的問題等，這常常比精確證明了的定理更使人感興趣[20]．

丘成桐深信與偉大科學家相識相知是年輕才俊躋身一流的重要保證．他只要有機會，總是盡可能去聽第一流科學家的演講[21]．質樸的湯普森為人謙遜，樂于并善于與人合作，數學家們都愿意跟他交往．芒福德和蒂茨這樣評價德利涅：“……他為人自信而謙遜，有能力并愿意和任何人討論任何數學問題．在討論中，他的提問與意見總是使人獲益匪淺．他喜歡與別人交談，認為交談是獲取知識的重要途徑．他的成果中，有不少都是與他人合作研究完成的．”[6]芒福德指出恢復純粹數學家與應用數學家之間的思想交流是一個非常重要的問題[22]．

科學高效的科研方法在科研中有事半功倍的效果．要成為拔尖創新人才，必須掌握并運用科學高效的科研方法．

1.4 高水平數學家的論文（著）的特點

他們的論文（著）的特點都有獨創、深刻的思想和精美、簡明、清晰、富于啟發性的論述，下面以塞爾、塞爾伯格、德利涅和米爾諾為例．塞爾的論著是思想的獨創性和論述的清晰性的完美結合．他的論文極富啟發性和刺激力，反映出他深邃的洞察力．深刻、精美以及方法的簡練是塞爾伯格的風格和標志．他追求數學論證的簡捷、明快和富于啟發性[23]．德利涅指出，數學有非常簡單的特點，好的數學問題應該是用簡單的語言就能夠表述的問題．芒福德和蒂茨這樣認為：德利涅的論著中很少有多余的字句，幾乎每句話都是必要的，想法簡單而清楚[6]．米爾諾的著作寫得簡明、清晰，是精確性和非形式化相結合的典范，讀起來是一種享受．

獨創、深刻的思想是論文（著）的靈魂，精美、簡明、清晰、富于啟發性的論述有利于內容的準確表達和廣泛傳播．

2 菲爾茲獎兼沃爾夫數學獎得主的教育觀點

經仔細分析，對16位菲爾茲獎兼沃爾夫數學獎得主將從以下5點研究其教育觀點．

2.1 激發學生的興趣 幫助堅持搞數學的學生

他們都認為應該激發學生的興趣，幫助堅持搞數學的學生．例如，塞爾伯格認為中學數學的內容應該增加一些涉及如何發現并令人振奮的內容，也認為公共圖書館應藏有相當數量的數學書籍，以便幫助那些希望在學校課程之外找到什么新東西的人，使他們產生興趣[9]．費弗曼教書非常認真，能把非常復雜的思想用非常簡單的語言表述出來．塞爾講課富有啟發性而且極其清楚明白[24]．他認為，如果人們堅持要搞數學，就應該實實在在地鼓勵并幫助他們[20]．

興趣是推動人們求知的一種內在力量．激發學生的興趣對于他們將來走上科研之路很重要，幫助堅持搞數學的學生可以讓喜歡數學的學生脫穎而出，成為數學拔尖創新人才．

2.2 加強對學生的人格教育和學術影響

他們都認為應該通過通識教育和言傳身教，加強對學生的人格教育和學術影響．例如，丘成桐在北師大附中發表的一次演講中談到：“美國的中學注重通才教育，數學以外的學科，例如文學、物理學、哲學，都會刺激學生的思考能力，值得鼓勵．”他認為，數學是人文科學和自然科學的橋梁．他說：“不少偉大的數學家，以文學、音樂來培養自己的氣質，與古人神交，直追數學的本源，來達到高超的意境．”[25]湯普森每天至少工作10小時，非常勤奮刻苦，這一點深深地影響著他的學生．丘成桐說過，人格教育和專業教育必須并重，才能夠成就一個偉大的民族[3]．美國華盛頓大學數學教授克蘭茨（Steven George Krantz）曾評論道：“對他的學生及世界各處向他學習的同行來說，阿爾福斯確是他們的楷模和良師．”[26]

可見，人格教育要和專業教育并重，教師要用自己的人格魅力和做學問的態度在潛移默化中影響學生．

2.3 教給學生怎樣做一個數學家和尋求重大成就的知識

他們都認為應該教給學生怎樣做一個數學家和怎樣尋求重大成就的知識．例如，阿爾福斯教學生很多關于怎樣做一個數學家和怎樣尋求有質量的成就的知識[26]．塞爾認為，對于中學生，關鍵是要讓他們明白數學是活生生的，有很多尚未解決的問題．講授數學的傳統方法有個缺陷，就是教師從來不提這類問題[20]．丘成桐說：“大部分中國的高中已經不再教平面幾何了．也許他們正在借鑒美國改革者的做法．然而，這會造成對理論科學有興趣的人數下降，也可能造成邏輯教學的減少．”[27]德里費爾德認為現代教育的危險點之一就是，在對19世紀誰都知道的非常古典的事實沒有任何經驗的情況下，便開始學習同調代數這樣的知識[4]．芒福德堅信數學教育應當進行十分嚴肅的努力，從思想上重視實際應用[22]．他也認為：“統計學是中學課程中應當增設的一門十分重要的科目，因為中學生常犯有許多數值判斷方面的錯誤，如果在中學里引進這門課，他們將得到更好的訓練．”[22]米爾諾認為，一個研究生發展出一種數學理論來改變人們思考社會科學的方式是最自然不過的事[28]．

怎樣做一個數學家和怎樣尋求重大成就應該是每一位立志從事數學研究的工作者應該熟知其答案的重要問題，對于數學拔尖創新人才尤其如此．

2.4 適當教學是科研不可缺少的部分

他們都認為教學可以調節、促進科研，適當教學是科研不可缺少的部分．例如，費弗曼在做研究停滯不前時，一想到他正在做一些有用的事情可以陪伴他的大一新生度過一段不那么痛苦的時光，就很知足[10]．丘成桐認為，教學不只可以支持研究，而且在與年輕人相處的過程中往往也能迸發出新的想法[29]．他也認為適當教學是研究不可缺少的部分[29]．

適當教學會對科研起到積極的推動和促進作用．在全身心投入的教學過程中，在激烈的討論交流中，好而新的思想往往更容易被激發．

2.5 專業不要分得過細過早

他們都認為專業不要分得過細過早，課程不要設置得太專．例如，赫爾曼德爾（Lars Valter H?rmander）于1982年來長春參加第三屆微分幾何和微分方程國際會議，會后指出：專業不要分得過細、過早，學習偏微分方程的青年人應該在代數、拓撲等方面有一個堅實的基礎，不然是不會有太大發展的．芒福德認為必須避免課程越來越專門化的強烈傾向[22]．

專業分得太細太早不利于學生打下一個寬廣而堅實的基礎，會影響到他們長遠的發展．課程設置得太專門化不利于把整個數學知識體系作為一個有機的系統，會影響到學生掌握知識的廣度和應用知識的靈活性．

3 數學拔尖創新人才的培養途徑

在以上兩部分研究的基礎上，得到培養數學拔尖創新人才的有效途徑．

3.1 培養學生的人文素養和科學素質

通過通識教育和言傳身教，培養學生深厚的愛國之情、健全的人格，濃厚的興趣、豐富的想象力、敏銳的洞察力、很好的數覺、很強的理解力、很高的審美力，堅定的意志、堅韌的毅力、足夠的耐心、勤奮的學習態度、堅實的數學基礎．高校應該實施全面的通識教育，構建以培養“全面發展的人”為核心的通識教育平臺．通識教育是在對人與社會本質的認識基礎上提出的一種教育思想和體系、培養理念和模式，是指大學生均應通過對人文科學、社會科學和自然科學中一些共同課程的學習，接受有關共同內容的教育，使學生用不同的理解模式來認識現象、獲得知識，以便開拓學生的視野，了解與人生、社會相關的原則、知識和方法，具有適應社會的能力．在高等教育領域中的通識教育目標就是要使受教育者不僅能夠獲得一技之長，而且具備一個健全的職業人和社會人所必須具備的足夠的文化、生活常識及正確的道德觀和價值觀．通識教育是培養大學生綜合素質和創新思維的重要載體．通過在數學教育中滲透通識教育理念，培養學生深厚的愛國之情、健全的人格，增強學生追求真理、獻身科學的意志和決心，從而加強對學生的情感、態度、價值觀與文化素質的培養．教師要通過言傳特別是身教加強對學生的人格教育和學術影響．要用自己的人格魅力感染學生，要把自己在數學前沿積極探索的熱情等展現給學生．

教師要通過調整教學內容，改進教學方法，幫助堅持搞數學的學生等途徑來培養學生對數學濃厚的興趣．具體來講，教師要在數學教學中適當地融入數學前沿的觀點、思想和方法，針對授課對象調整教學內容，刪掉現實中較少用到的內容和比較陳舊的習題，增加一些當代經濟、科技和社會發展所需要的內容．要通過“本原教學法”、抽象思維和形象思維相結合，使抽象內容形象化、直觀化．數學是一門較抽象化、形式化的課程，它的很多概念、定理等都經過高度的概括和抽象，學生在學習中困難較大．因此教師要實施“本原教學法”：在講解數學的概念、公式、定理、方法時，要從它們的源頭出發，先把它們的引入動機、背景知識和形成過程清楚地展現給學生，再抽象化、直觀化，并且要遵循由淺入深、由表及里、由分到合的認識規律．要把抽象思維和形象思維結合起來，通過在抽象的概念、定理等中加入形象思維的元素，多用現實生活中生動鮮活的例子，使學生更加深刻地理解并能靈活應用抽象的內容，并試著把多門數學知識融會貫通、綜合運用，讓學生在學習數學的過程中不再覺得枯燥和深奧．要通過介紹優秀的數學文化和哲學促使學生自覺地接受熏陶．教師要促使學生自覺地接受優秀數學文化和哲學的熏陶．要讓學生領悟到，教材上的定義、定理、公式等不是憑空產生的，它們背后往往都有一段關于數學家和數學發現的故事；教材上系統完整、邏輯嚴密、準確無誤的知識并不是開始就有的，在數學發展的歷史中，它們也曾經離散凌亂、前后矛盾甚至出現錯誤；數學來源于現實世界也應用到現實世界．在教學過程中，教師可以通過介紹數學思想的起源和背景，幫助學生了解數學思想的形成過程；通過介紹數學家的奇聞軼事，增添數學課的趣味性，激發學生的興趣和好奇心；通過介紹數學在當今高新技術中的應用及與其它學科、領域的聯系，體現數學之用；通過介紹相關的數學哲學，引導學生怎樣形成假設，進行論證并形成屬于自己的見解．要實實在在地鼓勵并幫助堅持搞數學的學生．教師要培養一批喜歡數學而肯用功的本科生，讓他們愿意繼續努力；要重點培養一些研究生，讓他們能夠快速成長．教師要培養學生豐富的想象力和敏銳的洞察力．數學想象力是創新數學思維的一種能力，是數學創造力的源泉．提出數學猜想和數學問題都需要數學想象力．通過精心創設情境，積極啟發和引導，聯系生活實際等具體的途徑，可以培養學生豐富的想象力．數學洞察力是從理性角度幫數學研究者走近真理，質疑現成數學結論，推進數學思想深度發展的一種能力．在某種意義上，洞察力是對現成答案和現有結論的質疑能力．通過充分解放思想，對數學理論和問題獨立思考這些具體的途徑，可以培養學生敏銳的洞察力．教師要培養學生很好的數覺，很強的數學理解力和很高的數學審美力．數覺是指運用經驗觀察、知識組塊和形象直感對當前問題進行敏銳的分析，并能迅速發現解決問題的方向或途徑的思維形式．通過引導學生形成自己的數學知識體系并靈活運用數學思想方法，鼓勵學生進行數學猜想，激發學生對數學美的追求，提示學生注重數形結合能力和數學語言的直觀性，留給學生運用數覺的時間和空間等具體的策略，可以培養學生很好的數覺．數學理解力是從多角度、多維度對待數學理論和數學家的智力和能力．通過引導學生對所看到或聽到的知識進行再思考并按照自己的術語重新組織，嘗試重新修改思考實驗等具體的方法，可以培養學生很強的數學理解力．數學美是一種與真、善緊密聯系的，人的自由創造的本質力量通過數學思維以宜人的形式在數學理論中呈現．通過引導學生提高美學、藝術修養，有意識地把與教學內容有聯系的美的因素引入課堂教學，產生對教育事業、數學和學生的真摯熱愛之情，引導學生積極投身于數學的創造實踐等具體的途徑，可以培養學生很高的數學審美力．

教師要引導學生在學習、科研實踐中鍛煉堅定的意志，堅韌的毅力和足夠的耐心．愛迪生曾說過：“偉大人物最明顯的標志，就是他堅強的意志，不管環境變幻到什么地步，他的初衷與希望仍不會有絲毫的改變，而終于克服困難，達到預期的目的．”要引導學生直面挫折，迎難而上，在經歷足夠的困難和挫折后，磨練出堅定的意志．學習和科研都忌諱浮躁和急功近利，要引導學生在實踐中培養堅韌的毅力和足夠的耐心．教師要用言傳特別是身教來培養學生勤奮的學習態度．要讓學生相信，始終堅持以勤奮刻苦的態度來對待學習和科研，必然會有所收獲．教師要引導學生循序漸進地打下堅實的數學基礎．萬丈高樓平地起，數學尤其如此．只有經過漫長積累的過程，循序漸進地打好數學基礎，才有可能厚積薄發，培養出數學拔尖創新人才．具體來說，要以大學本科畢業生應具備的專業知識作為基礎中的基礎，在以后的專業研究中逐步擴大基礎．

3.2 引導學生學會學習和做好科研

引導學生全面了解數學的主要領域、加深并拓寬研究領域，注意數學各分支之間以及數學與其它學科之間的聯系，利用不同方向甚至不同領域的工具集中解決難題，重視數學成果在其它學科領域的應用，預測數學發展的趨勢．學習怎樣做一個數學家和怎樣尋求重大成就的知識，選擇有意義的研究問題，先整理、總結一個新分支的已知結果再向它進軍，引導學生提出猜想和問題，向大科學家學習并跟他們交流與合作等．數學教育的目的是為了引導和啟發學生自我發展．引導、啟發學生學會學習和做好科研對于培養數學拔尖創新人才非常重要．

教師要引導學生全面了解數學的主要領域、加深并拓寬自己的研究領域．要研究數學，首先要全面地、大概地了解數學的主要領域，知道自己研究領域所處的位置和與其它領域的關系．要引導學生爭取機會逐漸加深并擴大自己的研究領域．每位研究者都應該有自己的研究陣地，穩固陣地之后再逐漸擴大．

教師要引導學生注意數學各分支之間以及數學與其它學科之間的聯系、利用不同方向甚至不同領域的工具集中解決難題．當前數學各分支之間、數學與其它學科之間的相互聯系越來越緊密，數學整體的容量、深度和復雜性，使得尋找溝通不同分支之間的新方法更為迫切和重要．數學中許多重要的工作是在子領域之間、領域之間以及學科之間的邊緣上做出的．要引導學生將數學甚至一切自然科學作為統一的有機整體去理解，注意數學學科內外的聯系．愛爾迪希（Paul Erd?s）就總想將世界上的事物都與數學聯系．不同方向甚至不同領域中多種思想的互相滲透是數學發展的關鍵．21世紀人類面對的大問題，要求科學家們必須在多學科互動中解決．要引導學生利用滲透到不同方向甚至不同領域的思想、方法和工具，集中解決關鍵科學問題．

教師要引導學生重視數學成果在其它學科領域的應用．數學成果的應用多種多樣，從理論上講，數學思維可以應用到任何知識領域，數學方法的應用范圍也沒有邊際．

教師要引導學生預測數學發展的趨勢、學習怎樣做一個數學家和怎樣尋求重大成就的知識、選擇有意義的研究問題．要引導學生從數學的過去看未來的發展，關注多樣化、復雜化、專門化、綜合化、統一化等這些數學發展的途徑，注重非線性現象和計算機算法等．教師要通過研究性教學模式引導學生學習數學家做學問的方式．研究性教學模式是培養學生創新能力，進而培養拔尖創新人才的重要手段．教育部《關于進一步加強高等學校本科教學工作的若干意見》中提出“要積極推進研究性教學，提高大學生的創新能力”．在教學中，要引導學生模擬并學習數學家做數學的方式，還原數學研究及應用的過程，使學生像當年的數學大家們一樣，體驗在一片黑暗中摸索前進，體驗知識的產生和使用的過程．一個好的選題相當于成功了一半．要引導學生選擇最有意義、最有價值、最感興趣且能研究的問題．

教師要引導學生先整理、總結一個新分支的已知結果再向它進軍．一方面要引導學生精讀新分支的經典文獻，另一方面要提醒學生關注最新出現的思想、方法和工具．引導學生努力做到對新分支的現有理論徹底了解，對其中的核心問題深刻估量，一步步完成研究任務．具體地說，要引導學生閱讀新分支方面的大量相關文獻，并研讀其中重要的文獻，思考基本問題，整理、總結已知結果，對于文獻中的主要概念和關鍵方法，盡力尋找它們互相滲透時逐步發展的線索；讓學生盡量弄清楚某些特殊情形，增加關于這些情形的詳細知識；讓學生首先構思一些簡單但基本的、直指問題本質的想法，然后用強有力的工具發展這些想法，最后用成熟的想法去努力探索所考慮問題的本質．

教師要引導學生提出猜想和問題．波利亞（George Polya）指出：“對于正積極搞研究的數學家來說，數學也許往往像是猜想游戲：在你證明一個數學定理之前，你必須猜想到這個定理，在你搞清楚證明細節之前，你必須先猜想出證明的主導思想．”[30]在數學史上，創造性的發現往往要經歷“猜測—不斷試證—不斷糾錯—確證真理”的過程，杰出的數學家大都有類似的經歷．法國大數學家阿達瑪（Jacques Hadamard）指出：“在數學中，我們不怕錯誤，實際上錯誤是經常發生的……”[31]數學史的啟示是：大數學家們出的錯通常要比一般人多，但他們總是在不斷地加以改正，所以在最后的結果中那些錯誤的痕跡已沒有了．教師要鼓勵學生去積極嘗試，不怕出錯，通過不斷地糾錯去體會真正的數學研究．科學地提出問題是科學發現的重要組成部分，需要洞察力和創造力．在數學中，提出問題比解答問題更為重要．學生一旦提出了問題，其注意力會更集中，主動性會更強烈．在教學中應堅持從問題出發，注重培養學生提出問題的能力．要從不同學科的滲透中對某一知識進行全方位、多角度地分析，設法讓學生提出有意義的問題．

教師要引導學生向大科學家學習并跟他們交流與合作．將學生的自然想法與大科學家的思想聯系起來的最可靠的辦法是進行真正的交流與合作．要引導學生向大科學家學習，并跟他們進行深入地交流與持續地合作．這種學習、交流和合作可能開啟某些新的發現．

3.3 指導學生寫好論文（著）

指導學生寫出既有獨創、深刻的思想，又有精美、簡明、清晰、富于啟發性的論文（著）．有獨創、深刻的思想是拔尖創新人才的主要特征之一．既有獨創、深刻的思想，又有精美、簡明、清晰、富于啟發性的論述更有利于傳播思想和產生影響．

3.4 教研相長

堅持教學科研并舉，實現教研相長．教學與科研既存在矛盾又相互促進，是對立統一的．教學是教師的天職，是科研的必要條件，但做好教學的同時必須做好科研．因為科學發展極其迅速，只有堅持進行科研的人，才能真正理解創新精神，培養具有創新精神的人．一般地，做科研的人對數學中一些基本概念的認識要比不做科研的人深刻，因為他有自己的觀點，而且有一些新的發展，因此能講得更深刻．同時，教師從事科研活動可以擴大眼界，了解他所從事專業領域的發展狀況及其發展中存在的問題，對這些問題有無解決的辦法，如何解決等，這樣可豐富該專業、學科的內容，使之不斷向前發展．另外，教師在從事科研活動時，他們的科研方法、創新精神和人格魅力都會給學生以潛移默化的影響，促進學生的全面發展．實踐也證明教師進行科研是提高教學質量的可靠保證．

3.5 專業不要分得過早過細 課程不要設置得太專

一方面，各個專業的知識、各種領域的課程能夠培養學生從不同專業、領域中去尋求思想和方法的能力，這種能力對于學生將來取得突破性進展是至關重要的；另一方面，現代數學的趨勢之一是統一，專業不分得太早太細，課程不太專門化，都順應了這一趨勢．

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Analyzing Scientific Research Commonalities and Education Viewpoints of Winners of both the Fields Medalists and Wolf Prize Winners

HAO Shun-li

(Department of Basic Sciences, Beijing International Studies University, Beijing 100024, China)

Winners of both the Fields Medal and Wolf Prize in Mathematics represent the most excellent, innovative talents in mathematics. By analyzing scientific research commonalities and education viewpoints of the 16 winners of both the Fields Medal and Wolf Prize in Mathematics, it was found that their scientific research commonalities mainly include three aspects: necessary conditions, personality characteristics and scientific research methods of high-level mathematicians, and characteristics of their papers or works. Their education viewpoints comprise five aspects: stimulating interest, personality education and academic influence, learning from mathematicians, promoting research through teaching, and specialties and courses. From this, top-notch innovative talents in mathematics can be cultivated by teachers and schools through the following five ways: cultivating the students’ interest and ability, guiding their learning, fostering research and paper writing, improving teachers’ teaching and research proficiency, and implementing reasonable course planning and specialties. From this, we can cultivate top-notch innovative talents in mathematics through five ways: cultivating interest and ability, guiding learning and scientific research, guiding the writing of papers, teaching and research, and specialization and curriculum.

scientific research commonalities; education viewpoints; Fields Medal; Wolf Prize in Mathematics; top-notch innovative talents in mathematics

G632.4

A

1004–9894（2021）06–0085–07

郝順利．菲爾茲獎兼沃爾夫數學獎得主的科研共性和教育觀點分析[J]．數學教育學報，2021，30（6）：85-91．

2021–07–30

2016年度國家自然科學基金青年基金項目——多型分枝隨機游動在依時隨機環境中的漸近性質（11601019）

郝順利（1980—），男，山西忻州人，副教授，博士，主要從事大學數學的教育教學、鞅極限理論研究．

[責任編校：陳漢君、陳雋]