基于MATLAB的四連桿機(jī)構(gòu)近似直線的線性度優(yōu)化

李帥， 王俊杰

（1.江蘇中貴重工有限公司，江蘇 鹽城224011；2.長安大學(xué)，西安710064）

0 引言

四連桿機(jī)構(gòu)的插值法優(yōu)化是提高四連桿線性度的重要方法，升降平臺(tái)的升降行程較大，多在800～1700 mm之間，基于AutoCAD優(yōu)化后，其端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的線性度可控制在1%之內(nèi)。四連桿長度的優(yōu)化在優(yōu)化過程中極其重要[1]，尤其是四連桿各桿長度的計(jì)算，直接影響到線性度的準(zhǔn)確性[2]，因此要盡可能提高計(jì)算的精度，以減少計(jì)算過程中的誤差。然后利用二維畫圖軟件繪圖的直觀性和便利性，在AutoCAD中進(jìn)行計(jì)算、優(yōu)化及畫圖。該方法的優(yōu)點(diǎn)是能很好地進(jìn)行優(yōu)化理論方面的研究與實(shí)現(xiàn)，每進(jìn)行一步即可驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性和有效性，簡單直觀，是研究與理論結(jié)合的良好工具，對創(chuàng)新方法的可行性和合理性意義重大；但缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜，重復(fù)性工作很大，每次的插值優(yōu)化都要進(jìn)行大量的數(shù)值計(jì)算，使得長度的優(yōu)化過程十分緩慢，計(jì)算完成后還要進(jìn)行畫圖工作，任務(wù)量很大，耗費(fèi)時(shí)間過長，不利于設(shè)計(jì)優(yōu)化。每一個(gè)參數(shù)下的完整優(yōu)化大概需要5～7次插值優(yōu)化計(jì)算，為了找到合適的優(yōu)化參數(shù)，需要多次修改優(yōu)化參數(shù)，才能得到預(yù)期的端點(diǎn)軌跡曲線，即滿意的線性度。因此基于AutoCAD的插值法優(yōu)化具有很大的局限性，在實(shí)際應(yīng)用中計(jì)算速度不理想，但MATLAB的強(qiáng)大的計(jì)算和繪圖能力對上述問題的解決效果很好。

1 線性度插值法優(yōu)化原理

四連桿機(jī)構(gòu)的線性度并沒有一個(gè)統(tǒng)一的定義。本文將連桿（如圖1）端點(diǎn)C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡相對初始點(diǎn)B點(diǎn)的最大水平偏差量Δdimax與全行程H的百分比，稱為該四連桿的線性度。參考傳感器線性度計(jì)算公式為

如圖1所示，為計(jì)算初始點(diǎn)B到最高點(diǎn)C的線性度，根據(jù)模型很難追蹤C(jī)點(diǎn)的運(yùn)功軌跡。當(dāng)C點(diǎn)處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，初始點(diǎn)B并不是固定不動(dòng)，想要求出當(dāng)前運(yùn)動(dòng)點(diǎn)與初始點(diǎn)的水平方向的位移偏差量，顯然很困難。可以把原模型機(jī)構(gòu)適當(dāng)簡化處理，簡化后的四連桿運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如圖1所示。其中底盤要求為固定尺寸，即圖中的L1桿長為固定值，其余桿長L2、L3和L4為設(shè)計(jì)的變量值，通過合理設(shè)置各桿長，使線性度盡可能小。

圖1 四連桿運(yùn)動(dòng)狀態(tài)圖

1）初始狀態(tài)為A、K、F、G、B等幾點(diǎn)構(gòu)成的連桿機(jī)構(gòu)；經(jīng)過一個(gè)行程H運(yùn)動(dòng)后，B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)；最終運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為A、K、E、D、C等幾點(diǎn)構(gòu)成的連桿機(jī)構(gòu)。這顯然是理想的運(yùn)動(dòng)后的最終狀態(tài)，也是最佳的最終運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

2）知道始終2個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)后，介于兩者之間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以通過插值的方式計(jì)算出來，由于方程組中未知量太多，不好解。可以借助MATLAB軟件畫圖的直觀性，繪出中間的狀態(tài)，從而可以知道該次插值的偏差量。

3）同理，再插值出幾個(gè)關(guān)鍵的位置，就可以大致畫出端點(diǎn)軌跡的曲線。插值的數(shù)量越多，得到的軌跡曲線越精確。

4）得到一條合理軌跡曲線后，找到該條曲線中的最大偏差量和最小偏差量，再根據(jù)目標(biāo)偏差量，就可以判斷插值出該條曲線的參數(shù)是否可取。

5）當(dāng)找到合理的參數(shù)后，計(jì)算出各桿長，優(yōu)化完成。

2 基于MATLAB的插值法計(jì)算和優(yōu)化

線性度直接關(guān)系到整個(gè)平臺(tái)升降的平穩(wěn)性，為了得到盡可能好的線性度，利用MATLAB軟件強(qiáng)大的計(jì)算能力和畫圖能力，編寫一個(gè)計(jì)算和畫圖的程序，實(shí)現(xiàn)上述公式中復(fù)雜的插值計(jì)算及畫圖的功能[3]，以減少計(jì)算，提高優(yōu)化的速度和質(zhì)量。具體實(shí)現(xiàn)過程如下：該程序可以改變輸入Δx、L2x和H的值，也可以適當(dāng)改變底盤的參數(shù)X1、h1和h2的值，以及改變?chǔ)的值，以滿足不同的設(shè)計(jì)需求。為了提高計(jì)算和優(yōu)化的速度，首先設(shè)置少量的插值次數(shù)，先了解C點(diǎn)軌跡曲線和偏差距離的大概趨勢，可以為接下來的程序優(yōu)化提供優(yōu)化的方向；然后設(shè)置較多的插值次數(shù)，得到盡可能精確的軌跡曲線和偏差距離。

已知條件為：底盤水平長度X1=450 mm；底盤高度h1=210 mm；底盤高度h2=60 mm；連架桿1水平長度L2x=450 mm；C點(diǎn)初始高度Δh=100 mm；液壓缸全行程H=800 mm。

如圖2所示，初始狀態(tài)，由勾股定理可得：帶入已知數(shù)據(jù)可解得L1=474.34 mm。聯(lián)立B點(diǎn)方程和J點(diǎn)方程：

聯(lián) 立 式（3）和 式（4）可 得F 點(diǎn) 坐 標(biāo)（x4，y4）=（900，310）,則

圖2 四連桿各構(gòu)件長度計(jì)算分析

帶入已知數(shù)據(jù)可解得L2=514.78 mm。

由圖2易得：

以點(diǎn)K（450，60）為圓心、以L2為半徑畫圓L2圓，以點(diǎn)（x6，y6）=（Δx，310+H）為圓心、以L4為半徑畫圓L4圓，可得交點(diǎn)坐標(biāo)（x7，y7）=（678.94，521.07），連接EK兩點(diǎn)可得L2終點(diǎn)狀態(tài)L2′；連接CE兩點(diǎn)可得L4終點(diǎn)狀態(tài)L4′。如圖2所示，設(shè)G（x9，y9）和D（x10，y10）分別為初始狀態(tài)L4和最終狀態(tài)L4′上的兩點(diǎn)，由L32=L3′2，可得

由L41=L41′，可得

由L4-L41=L4′-L41′，可得：

聯(lián)立式（6）、式（7）、式（8）、式（9）和式（10）可得G 點(diǎn) 坐 標(biāo)（x9，y9）=（679，310） 和D點(diǎn)坐標(biāo)（x10，y10）=（512.52，666.49）。因此：

代入已知數(shù)據(jù)可解得：L3=686.33 mm，L41=221 mm。

3 在MATLAB中程序化插值法優(yōu)化計(jì)算實(shí)例

編寫好程序后，在MATLAB軟件中輸入適當(dāng)?shù)膮?shù)，即可進(jìn)行計(jì)算[4]。當(dāng)行程為H=800 mm、L2桿水平距離為L2x=450 mm、向里偏移量為Δx=5及插值步長為5 mm、插值次數(shù)為43時(shí)，適當(dāng)增加插值的次數(shù)以得出更精確的軌跡曲線，優(yōu)化結(jié)果如圖3（a）所示，偏差位移圖如圖3（b）所示，插值優(yōu)化的各個(gè)具體的偏差距離如表1所示。當(dāng)行程H=1700 mm、L2桿水平距離L2x=1000 mm、向里偏移量為Δx=50 mm及插值步長為20 mm、插值次數(shù)為22時(shí)，優(yōu)化結(jié)果如圖4（a）所示，偏差位移圖如圖4（b）所示，插值優(yōu)化的各個(gè)具體的偏差距離如表2所示。

圖3 H=800 mm時(shí)L4連桿端點(diǎn)軌跡優(yōu)化圖

圖4 H=1700 mm時(shí)L4連桿端點(diǎn)軌跡優(yōu)化圖

由表1可以看出，800 mm全行程運(yùn)動(dòng)過程中L4連桿端點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)軌跡的偏移量相對于整個(gè)四連桿行程不算大，為Δdmax=3.62 mm，完全在可接受的范圍內(nèi)。由圖5（b）可以看出，在前1000 mm高度內(nèi)，偏移量從0 mm一直增加到最大偏移量；在1000～1110 mm內(nèi)，偏移量很快下降到0 mm。運(yùn)動(dòng)過程中L4連桿端點(diǎn)在直線xB=Δx左側(cè)附近運(yùn)動(dòng)，線性度為δ=0.45%，完全滿足煤礦機(jī)械精度需要。

由表2可以看出，1700 mm全行程運(yùn)動(dòng)過程中L4連桿端點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)軌跡的偏移量相對于整個(gè)四連桿行程不算大，為Δdmax=9.63 mm，完全在可接受的范圍內(nèi)。由圖6（b）可以看出，在大約1300 mm前高度內(nèi)，L4連桿端點(diǎn)在直線xB=Δx右側(cè)附近運(yùn)動(dòng)；在1300～2030 mm內(nèi)，L4連桿端點(diǎn)在直線xB=Δx左側(cè)附近運(yùn)動(dòng)，且偏移量從0 mm增加至最大又很快下降至0 mm。全行程運(yùn)動(dòng)過程中L4連桿端點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)軌跡呈“S”形，線性度為δ=0.57%，滿足煤礦機(jī)械精度需要。

程序化的計(jì)算與優(yōu)化可節(jié)省大量時(shí)間，提高設(shè)計(jì)效率。

4 結(jié)語

本文探討了一種基于MATLAB大行程下的四連桿機(jī)構(gòu)近似直線的插值法優(yōu)化方法，實(shí)現(xiàn)了對四連桿機(jī)構(gòu)線性度的程序化計(jì)算和優(yōu)化，得出四連桿的各桿長度，且在計(jì)算速度和準(zhǔn)確性方面有了很大提高。結(jié)果表明：與以前的優(yōu)化方法相比效果更顯著，線性度更精確，且人工計(jì)算量大大減少，有利于設(shè)計(jì)工作。為以后相似的程序化計(jì)算與優(yōu)化提供了參考，實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值很大。

表2 1700 mm插值優(yōu)化的偏差距離