基于MATLAB的四連桿機構近似直線的線性度優化

李帥， 王俊杰

（1.江蘇中貴重工有限公司，江蘇 鹽城224011；2.長安大學，西安710064）

0 引言

四連桿機構的插值法優化是提高四連桿線性度的重要方法，升降平臺的升降行程較大，多在800～1700 mm之間，基于AutoCAD優化后，其端點運動軌跡的線性度可控制在1%之內。四連桿長度的優化在優化過程中極其重要[1]，尤其是四連桿各桿長度的計算，直接影響到線性度的準確性[2]，因此要盡可能提高計算的精度，以減少計算過程中的誤差。然后利用二維畫圖軟件繪圖的直觀性和便利性，在AutoCAD中進行計算、優化及畫圖。該方法的優點是能很好地進行優化理論方面的研究與實現，每進行一步即可驗證該方法的準確性和有效性，簡單直觀，是研究與理論結合的良好工具，對創新方法的可行性和合理性意義重大；但缺點是計算復雜，重復性工作很大，每次的插值優化都要進行大量的數值計算，使得長度的優化過程十分緩慢，計算完成后還要進行畫圖工作，任務量很大，耗費時間過長，不利于設計優化。每一個參數下的完整優化大概需要5～7次插值優化計算，為了找到合適的優化參數，需要多次修改優化參數，才能得到預期的端點軌跡曲線，即滿意的線性度。因此基于AutoCAD的插值法優化具有很大的局限性，在實際應用中計算速度不理想，但MATLAB的強大的計算和繪圖能力對上述問題的解決效果很好。

1 線性度插值法優化原理

四連桿機構的線性度并沒有一個統一的定義。本文將連桿（如圖1）端點C點的運動軌跡相對初始點B點的最大水平偏差量Δdimax與全行程H的百分比，稱為該四連桿的線性度。參考傳感器線性度計算公式為

如圖1所示，為計算初始點B到最高點C的線性度，根據模型很難追蹤C點的運功軌跡。當C點處于運動狀態時，初始點B并不是固定不動，想要求出當前運動點與初始點的水平方向的位移偏差量，顯然很困難。可以把原模型機構適當簡化處理，簡化后的四連桿運動狀態如圖1所示。其中底盤要求為固定尺寸，即圖中的L1桿長為固定值，其余桿長L2、L3和L4為設計的變量值，通過合理設置各桿長，使線性度盡可能小。

圖1 四連桿運動狀態圖

1）初始狀態為A、K、F、G、B等幾點構成的連桿機構；經過一個行程H運動后，B點運動到C點，F點運動到E點，G點運動到D點；最終運動狀態為A、K、E、D、C等幾點構成的連桿機構。這顯然是理想的運動后的最終狀態，也是最佳的最終運動狀態。

2）知道始終2個運動狀態后，介于兩者之間的運動狀態可以通過插值的方式計算出來，由于方程組中未知量太多，不好解。可以借助MATLAB軟件畫圖的直觀性，繪出中間的狀態，從而可以知道該次插值的偏差量。

3）同理，再插值出幾個關鍵的位置，就可以大致畫出端點軌跡的曲線。插值的數量越多，得到的軌跡曲線越精確。

4）得到一條合理軌跡曲線后，找到該條曲線中的最大偏差量和最小偏差量，再根據目標偏差量，就可以判斷插值出該條曲線的參數是否可取。

5）當找到合理的參數后，計算出各桿長，優化完成。

2 基于MATLAB的插值法計算和優化

線性度直接關系到整個平臺升降的平穩性，為了得到盡可能好的線性度，利用MATLAB軟件強大的計算能力和畫圖能力，編寫一個計算和畫圖的程序，實現上述公式中復雜的插值計算及畫圖的功能[3]，以減少計算，提高優化的速度和質量。具體實現過程如下：該程序可以改變輸入Δx、L2x和H的值，也可以適當改變底盤的參數X1、h1和h2的值，以及改變Δh的值，以滿足不同的設計需求。為了提高計算和優化的速度，首先設置少量的插值次數，先了解C點軌跡曲線和偏差距離的大概趨勢，可以為接下來的程序優化提供優化的方向；然后設置較多的插值次數，得到盡可能精確的軌跡曲線和偏差距離。

已知條件為：底盤水平長度X1=450 mm；底盤高度h1=210 mm；底盤高度h2=60 mm；連架桿1水平長度L2x=450 mm；C點初始高度Δh=100 mm；液壓缸全行程H=800 mm。

如圖2所示，初始狀態，由勾股定理可得：帶入已知數據可解得L1=474.34 mm。聯立B點方程和J點方程：

聯 立 式（3）和 式（4）可 得F 點 坐 標（x4，y4）=（900，310）,則

圖2 四連桿各構件長度計算分析

帶入已知數據可解得L2=514.78 mm。

由圖2易得：

以點K（450，60）為圓心、以L2為半徑畫圓L2圓，以點（x6，y6）=（Δx，310+H）為圓心、以L4為半徑畫圓L4圓，可得交點坐標（x7，y7）=（678.94，521.07），連接EK兩點可得L2終點狀態L2′；連接CE兩點可得L4終點狀態L4′。如圖2所示，設G（x9，y9）和D（x10，y10）分別為初始狀態L4和最終狀態L4′上的兩點，由L32=L3′2，可得

由L41=L41′，可得

由L4-L41=L4′-L41′，可得：

聯立式（6）、式（7）、式（8）、式（9）和式（10）可得G 點 坐 標（x9，y9）=（679，310） 和D點坐標（x10，y10）=（512.52，666.49）。因此：

代入已知數據可解得：L3=686.33 mm，L41=221 mm。

3 在MATLAB中程序化插值法優化計算實例

編寫好程序后，在MATLAB軟件中輸入適當的參數，即可進行計算[4]。當行程為H=800 mm、L2桿水平距離為L2x=450 mm、向里偏移量為Δx=5及插值步長為5 mm、插值次數為43時，適當增加插值的次數以得出更精確的軌跡曲線，優化結果如圖3（a）所示，偏差位移圖如圖3（b）所示，插值優化的各個具體的偏差距離如表1所示。當行程H=1700 mm、L2桿水平距離L2x=1000 mm、向里偏移量為Δx=50 mm及插值步長為20 mm、插值次數為22時，優化結果如圖4（a）所示，偏差位移圖如圖4（b）所示，插值優化的各個具體的偏差距離如表2所示。

圖3 H=800 mm時L4連桿端點軌跡優化圖

圖4 H=1700 mm時L4連桿端點軌跡優化圖

由表1可以看出，800 mm全行程運動過程中L4連桿端點B運動軌跡的偏移量相對于整個四連桿行程不算大，為Δdmax=3.62 mm，完全在可接受的范圍內。由圖5（b）可以看出，在前1000 mm高度內，偏移量從0 mm一直增加到最大偏移量；在1000～1110 mm內，偏移量很快下降到0 mm。運動過程中L4連桿端點在直線xB=Δx左側附近運動，線性度為δ=0.45%，完全滿足煤礦機械精度需要。

由表2可以看出，1700 mm全行程運動過程中L4連桿端點B運動軌跡的偏移量相對于整個四連桿行程不算大，為Δdmax=9.63 mm，完全在可接受的范圍內。由圖6（b）可以看出，在大約1300 mm前高度內，L4連桿端點在直線xB=Δx右側附近運動；在1300～2030 mm內，L4連桿端點在直線xB=Δx左側附近運動，且偏移量從0 mm增加至最大又很快下降至0 mm。全行程運動過程中L4連桿端點B運動軌跡呈“S”形，線性度為δ=0.57%，滿足煤礦機械精度需要。

程序化的計算與優化可節省大量時間，提高設計效率。

4 結語

本文探討了一種基于MATLAB大行程下的四連桿機構近似直線的插值法優化方法，實現了對四連桿機構線性度的程序化計算和優化，得出四連桿的各桿長度，且在計算速度和準確性方面有了很大提高。結果表明：與以前的優化方法相比效果更顯著，線性度更精確，且人工計算量大大減少，有利于設計工作。為以后相似的程序化計算與優化提供了參考，實際工程應用價值很大。

表2 1700 mm插值優化的偏差距離