逆向思維巧解題

黃旭軍

假期到了，阿木老師帶同學們去參加露營活動。大家準備好物品，坐上船，高高興興地向山里出發。

當船行駛了全程的一半時，阿木老師開始睡覺，同學們剛開始還笑嘻嘻地聊天，后來就覺得無聊了。正好老師醒了，一幫同學問：“老師，我們一共要走多長的路啊，為什么還沒到目的地？”阿木老師對著手機導航一看，發現船又行駛了他睡前路程剩下的一半，這時離目的地還有40千米。

班上的“數學王子”說：“讓我來算算！”他拿出本子寫上：剩下的一半，還有40千米，說明剩下80千米，而這80千米又是全程的一半，所以全程就是160千米！

阿木老師豎起大拇指稱贊道：“倒推法用得很棒！”有很多同學第一次聽說倒推法，好奇地讓老師詳細講講！

阿木老師說道：“有些題目順著做很麻煩，倒過來解題反而方便很多，這種倒過來解題的方法，就叫倒推法！”

這時前面開船的船長傳來一陣驚呼。大家循聲望去，只見岸邊有一顆高高的樹。

“這是什么樹??？”好奇的同學問。

“這是6個月前剛種的新品種，一個月可以長到原來的2倍高！”阿木老師眼珠一轉，出了一道題目。

例1

這棵樹每個月長到原來的2倍高，6個月長到20米，長到5米用了幾個月？

這棵樹開始的高度不知道，但是知道它的生長速度。

設開始時的樹苗有x米高，可列出：

種植1個月，樹的高度變為2x米;

種植2個月，樹的高度變為4x米;

種植3個月，樹的高度變為8x米;

種植4個月，樹的高度變為16x米;

種植5個月，樹的高度變為32x米;

種植6個月，樹的高度變為64x米。

64x=20，解得x=0.3125。

然后算5米是0.3125的幾倍：5÷0.3125=16。

16是2的4次方，推斷出是第4個月樹苗長到了5米高。

答：樹長到5米用了4個月。

下面我們用倒推法。

這棵樹6個月長到20米，那么前一個月它的高度就是10米。

由此就能推斷出，這棵樹4個月時長到了5米。

答：樹長到5米用了4個月。

“小馬虎”在做一道減法題目時，把被減數十位上的6錯寫成了9，減數個位上的9錯寫成了6，最后所得的差是677，這題的正確答案應該是多少？

把被減數十位上的6錯寫成了9，減數個位上的9錯寫成了6，也是錯中求解的問題。

用□來表示不知道的數，寫出算式。

正確的算式：□6□-□9=□。

看錯后的算式：□9□-□6=677。

在方框中填上數字，只要合理的都可以試一下。

看錯后的算式：693-16=677。

把沒看錯的數字填入正確的算式中。

663-19=644

答：正確的答案應該是644。

運用倒推法，把被減數十位上的6錯寫成了9，則差就多了90-60=30。減數個位上的9錯寫成了6，則差就多了9-6=3。最后的差就比正確答案多出了30+3=33，由此即可解決問題。

90-60=30，9-6=3，677-（30+3）=677-33=644。

答：正確的答案應該是644。

工人們修一段通往景區的公路，第一天修了公路全長的一半還多2千米，第二天修了余下的一半還少1千米，還剩20千米沒有修完。公路長多少千米？

題目中間變化過程十分復雜，步驟又多。

運用倒推法來做。先畫示意圖，第二天修了余下的一半還少1千米。

由此我們得到，第一天修完，剩余沒修公路長度為（20-1）×2=

38（千米）。

再算第一天所修公路長度。工人們第一天修了公路全長的一半還多2千米。

如圖，公路一半的長度則為38+2=40（千米），所以公路的總長就是40×2=80（千米）。

答：公路長80千米。

水果店有甲、乙、丙、丁4個竹筐，竹筐里共裝了256個橘子，先從甲筐里拿出與乙筐同樣多的橘子放入乙筐，接著從乙筐里拿出與丙筐同樣多的橘子放入丙筐，再從丙筐里拿出與丁筐同樣多的橘子放入丁筐，最后從丁筐里拿出與甲筐同樣多的橘子放入甲筐。這時，甲、乙、丙、丁4個竹筐里的橘子一樣多。請問甲、乙、丙、丁4個竹筐里原來分別有多少個橘子？

整個過程一共有4步操作，在操作完成后，甲、乙、丙、丁4個竹筐里的橘子變成一樣多了！

先設立4個未知數，即甲筐里原來有a個橘子，乙筐里原來有b個橘子，丙筐里原來有c個橘子，丁筐里原來有d個橘子。

由題意可知：

a+b+c+d=256

2（a-b）=2b-c=2c-d=2d-（a-b）

根據上述兩個等式，計算可得：

a=92，b=60，c=56，d=48。

答：甲筐里原來有92個橘子，乙筐里原來有60個橘子，丙筐里原來有56個橘子，丁筐里原來有48個橘子。

運用倒推法，256÷4=64，然后列表：

答：甲筐里原來有92個橘子，乙筐里原來有60個橘子，丙筐里原來有56個橘子，丁筐里原來有48個橘子。

1. 有一位老人說：“把我的年齡加上14后除以3，再減去26，最后乘以25，恰巧是100歲。”這位老人今年多少歲？

2. 有一籃雞蛋，第一次取出一半多2個，第二次取出余下的一半多2個，第三次拿出8個，籃子里還剩2個雞蛋?；@子里原來有多少個雞蛋？

3. 有甲、乙兩堆小球。甲堆的球比乙堆多，甲堆球數比560多，但不超過640。從甲堆拿出與乙堆同樣多的球放入乙堆，第二次，從乙堆拿出與甲堆所剩球數同樣多的球放到甲堆……如此繼續下去，5次以后，發現甲、乙兩堆小球一樣多。那么，甲堆原有小球多少個？