雙臨界項的分數階薛定諤-泊松方程組非平凡解

馮勝豪，王 莉，黃 玲

（華東交通大學理學院，江西 南昌 330013）

討論了以下非線性分數階薛定諤-泊松方程組的一個非平凡解的存在性。

（f2） 存在u∈（2，2）使得

方程（1）更一般的形式為下列薛定諤-泊松方程組：

并利用山路引理和集中緊原理得到了方程（3）正解的存在性。 而涉及兩個或多個非局部項的方程組問題研究較少。 Zhang 等[7]研究了分數階非線性薛定諤-泊松方程組

通過擾動法證明了方程（4）正解的存在性，并研究了含有參數λ 時方程解的漸近性。文獻[8-9]有關于分數階更多的薛定諤-泊松方程組的研究結果。

基于上述工作，本文通過變分法，也就是把方程的解轉化為相應能量泛函臨界點的問題， 即在尋找函數的極大和極小值。 主要目的是通過集中緊原理和山路定理證明具有雙臨界增長分數階薛定諤-泊松方程（1）的非平凡解的存在性。

定理1.1假設（f1）和（f2）成立，則方程組（1）至少有一個非平凡解。

1 定義

在本節中我們將給出相關函數空間的定義和非局部項φ 的一些性質。 分數階Sobolev 空間Hs（R3）描述如下

定義其內積和范數為

齊次分數階Sobolev 空間

對于u∈Hs（R3），我們定義

作為在Hs（R3）的范數，其內積為

根據Lax-Milgram 定理，對?u∈Hs（R3），存在唯一的φus∈Ds，2（R3）使得

這叫做s-Riesz 勢[12], 其中

那么

將φus替代φ 到方程（1），得到下面的分數階薛定諤方程

其能量泛函為

此外，由式（9）和式（10）知I（u）是C1泛函。對于任何v∈Hs（R3），可得

如果v∈Hs（R3）是一個臨界點，則存在一對（u，φus）是方程（1）的解。

2 主要引理及其證明

引理2.1假設（f1）和（f2）成立，則存在ρ＞0，η＞0 使得當?u∈Hs（R3）滿足‖u‖=ρ 時有inf I（u）＞η＞0。

證明對任何ε＞0，根據（f1），（f2）和Sobolev 不等式知，存在Cε＞0 使得

其中C 是一個正常數。 比較式（5），式（10），式（12），對于u∈?Ωρ和C＞0，有

因為2＜min｛2s*，2（2s*－1）｝，選取ε∈（0，1），所以一定存在ρ＞0 足夠小使得inf I（u）＝η＞0。

引理2.2假設（f1）和（f2）成立，則存在e∈Hs（R3）使得當‖e‖≥ρ 時有I（e）＜0，其中ρ 是引理2.1 給出的。

證明利用（f1）和（f2），可得存在M，L＞0，μ∈（2，2s*）使得

選擇μ0∈C0∞（R3）｛0｝，通過引理2.1，當t→+∞，有

讓T≥1 足夠大使‖Tu0‖＞ρ，取e=Tu0，則有I（Tu0）＜0。

根據2.1，2.2 兩個引理，可定義

式中：Γ=｛γ∈C（［0，1］；Hs（R3））｜γ（0）＝0；I（γ（1））＜0｝。

引理2.3假設（f1）和（f2）成立，如果｛un｝?Hs（R3）是一個Cerami 序列，即

則｛un｝是有界的。

證明當n 足夠大時，根據（f2）有

從而｛un｝在Hs（R3）是有界的。

引理2.4假設｛un｝?Hs（R3）且滿足當n→∞時，有

則存在｛yn｝?R3和R，σ＞0 使得

證明我們用反證法證明。 假設結論不成立，通過（f1）和（f2）可知

然后根據式（17）和［Ι′（un），un］＝On（1），當n→∞時，有

引理2.5設A，B，C＞0，定義h∶［0，∞）→R，其中

則有

證明對于t≥0，有

其中κ∈R｛0｝，τ＞0，x0∈R3。 根據文獻[13－14]可以得到

且

引理2.6令

則當ε→0+時，有

由式（19）可得，當ε＞0 足夠小時，

聯合引理2.5 即得

引理2.7式（14）所定義的c 滿足

證明根據引理2.1 和引理2.2 知，存在tε＞0 使得

并且

由（f1）有

由I 的連續性， 存在ε1＞0，T1＞0 使得對任意的ε∈（0，ε1），有tε≥T1。

由（f2）有

可知存在ε2＞0 和T2＞0 使得對任意的ε∈（0，ε2），有tε≤T2。

根據（f1）和（f2），存在M1，L1＞0 使得

結合引理2.6，可以得到當ε＞0 足夠小時，有

取ε＞0 足夠小，由μ∈（2，2s*），有

3 主要結果的證明

注意‖un‖=‖vn‖，則存在子序列，仍記為vn，vn∈Hs（R3）使得vn（x）→v，并且在R 內vn→v 幾乎處處成立。 根據式（22）知v≠0。 選取φ∈C0∞（R3），可得

又因為

則當n→∞時，有

通過式（23）和式（24），發現當n→∞時，

從而當n→∞時，有