自適應耦合權重下的異質群體一致性研究

陳世明，林子朋，高彥麗，裴惠琴

華東交通大學 電氣與自動化工程學院，南昌 330013

網絡化的網絡物理系統和嵌入式系統技術的進步引起控制領域對研究多智能體系統（Multi-agent System，MAS）的興趣的增長。迄今為止，為MAS開發的控制技術使人們能夠將彈性、廉價和靈活的方法應用于維護、監視、偵察、搜索和救援任務，建設和操縱等許多領域的各種協同合作任務。MAS 中的個體同時工作，個體之間相互有規則地進行信息傳遞，具有自主協調控制和分布式控制的性能和很強的魯棒性，以及較高的運轉效率[1]。一致性是MAS中的一項基本性合作任務，要求系統中的每一個體都應就某個特定的狀態量達到一致，但是只需要利用自身狀態和鄰居局部信息來更新其狀態量[2]。

現有的許多一致性問題研究都是在同質或者同階數的模型下完成的，但是在實際應用的過程中發現這個前提過于理想，而包含不同動力學結構的異質多智能體系統更符合廣泛的應用需求。Tian和Zhang[3]提出針對不同通信延遲的系統，高階系統一致性不要求每個智能體的固有時延等于智能體之間的通信延遲，并給出了自身固有延遲和通信延遲的匹配條件。Liu 等[4]通過設計基于事件觸發原理的分布式輸出控制器，令智能體的最終一致性誤差為0，從而解決了無向拓撲下的系統輸出一致問題。

以上研究結果的通信網絡都是基于無向圖，而實際應用中有向通信拓撲應用更加廣泛。Zheng 和Wang[5]研究了包含二階和一階的異質MAS 在固定有向通信拓撲和切換有向通信拓撲下達到一致性的充要條件。Zhang 等[6]采用了包含Markov 鏈的控制器來解決異質MAS在實際網絡內部的未知通信狀態和局部信息交換問題，并通過設計狀態反饋控制器使系統達到一致狀態。Li 和Liu[7]提出了基于隨機不可分非周期矩陣和偽預測方法的二級一致性控制協議，用以解決線性時不變異質MAS的通信時延。

隨著研究的深入，多智能體系統的應用環境變得更加復雜，為了應對實際任務中存在的未知變化或者任務本身需要多個小組分工完成，要求系統中的智能體能夠自行組織成個體群組完成分工任務。群一致性就是使網絡中的智能體分成多個子群體，不同的子群分別向不同特定狀態量漸進收斂并分別實現狀態一致。

Yu和Wang最早在文獻[8]中提出，當系統滿足兩個子群之間的相互影響達到平衡時可以實現異質MAS的群一致性。宋海裕等[9]提出了融合牽制控制器的一階多智能體系統群一致性。實際應用中除了要考慮智能體的位置信息，也要考慮智能體的速度信息。Cui 等[10]研究了二階有向拓撲結構下的群一致性追蹤控制，設計了智能體入度平衡的控制協議，使得研究結果可以從兩個子群擴展到n個子群。Xu等[11]設計了分布式自適應牽制控制協議，使得二階非線性多智能體系統在全局信息缺失的情況下實現漸進群一致性。Xie等[12]使用不同于常規切換拓撲或馬爾科夫切換拓撲的切換信號集來實現二階多智能體系統群一致性。Gao等[13]根據拓撲圖入度是否為0和非負矩陣群一致性準則，討論了存在切換拓撲和時延條件的二階離散時間多智能體系統的群一致性。

現有關于多智能體的文獻中，或者考慮異質多智能體一致性，或者考慮高階系統或分數階系統的一致性，或者考慮同質多智能體系統群體一致性，關于異質多智能體系統群體一致性方面研究還較少。然而，研究具有異質多智能體系統的群體一致性控制具有現實意義和理論意義。本文基于固定通信拓撲研究異質多智能體系統，針對通信拓撲結構中每一條邊施加自適應耦合權重，使得多智能體系統僅依賴智能體鄰居個體信息來實現群體一致性控制，與經典多智能體群一致性相比，經典異質多智能體系統通信拓撲邊的耦合權重是固定值，而通過加入自適應控制調節邊的耦合權重可以有效提高多智能體系統的收斂速度。

1 預備知識和問題描述

1.1 代數圖論

假設G=(v,ε,A)為一個無向的通信拓撲，其中包含n個節點，MAS網絡內部的邊體現所連接的個體之間的通信關系。每個智能體依靠其鄰居個體的狀態信息來更新其控制輸入。其中V=(v1,v2,…,vn) 表示節點集合；ε=v×v表示邊集合；A=[aij]n×n是加權鄰接矩陣，如果eij∈ε，則aij ＞0 ，否則aij=0 ，并且aij=aji。如果存在邊eij=(vi,vj)，則說明節點vi可以從節點vj中獲得信息。Ni={vj|eji∈ε} 表示節點vi的鄰居節點集。如果節點vi和vk之間存在一系列的邊(vi,v1),(vi,v2),…,(vk-1,vk)，則表示一條通路存在于MAS網絡的兩個體之間。如果無向通信網絡內部每一對節點之間存在一條通路，則說明網絡拓撲圖G是無向連通圖。L=D-A表示拓撲圖的Laplace 矩陣，其中D=diag(d1,d2,…,dn)表示拓撲圖的度矩陣，表示節點i的度。L=[lij]n×n可定義為：

1.2 問題描述

考慮一個具有n個智能體的異質MAS，其中包含n-m個一階多智能體、m個二階多智能體。一階結構的多智能體動力學方程定義為：

Tam等[41]研究了光柵軌跡和Peano軌跡對材料去除的影響。實驗結果表明在光柵軌跡加工過程中存在明顯的邊緣效應，而Peano軌跡則有效避免了邊緣效應的產生(圖4(a)、圖4(b))。同時文獻中指出，為了更均勻地移除材料，軌跡方向的變化應當均勻地分布在整個表面上。

式中，xi(t)∈Rn,ui(t)∈Rn，體現第i個智能體在t時刻所處的位置狀態和其自身的控制輸入。二階結構的智能體的動力學方程定義為：

式中，用xi(t)∈Rn,vi(t)∈Rn,ui(t)∈Rn,體現第i個智能體在t時刻所處的位置狀態、速度狀態及其自身的控制輸入。

假設將異質MAS網絡中的個體分成k(k≥2)群，如果智能體屬于第k個群，則記σi=t。xσi是智能體系統的分群系數，且當σi=σj時，表示個體屬于同一子群，并且有xσi=xσj，否則xσi≠xσj。

定義1當智能體系統具有任意的初始狀態xi(0)，vi(0)如果滿足：

其中，?i,j∈{1,2,…,n}，?σi,σj∈{1,2,…,k}。滿足上述條件則說明異質MAS實現了k群一致性(k≥2)。

注1本文的論證都是基于一維向量空間，所得結論都可以利用克羅內克積（Kronecker product）拓展到n維向量空間。

（1）當‖x‖ →∞時，V(x)→∞。

引理2[15]無向圖G的拉普拉斯矩陣L是半正定的，L矩陣所對應的特征值有一個0 根，其余特征值都是整數當且僅當圖G是連通的。

2 自適應耦合權重下的群體一致性算法

根據MAS 網絡內部鄰居個體的信息交流情況，定義控制器如下：

其中，智能體i和智能體j屬于同一子群時，hij=1，否則hij=0；cij(t)表示鄰居智能體間的自適應耦合權重，并有cij(t)=cji(t),cij(0)=c ＞0；εij表示自適應控制律cij(t)的耦合強度且εij ＞0。

定理1如果MAS 的通信網絡是固定無向連通的，那么由線性一階二階智能體組成的異質MAS在控制器（4）的作用下可以實現k群一致性。

證明根據控制器（4），可以將式（1）、（2）改寫成：

因為設定MAS 的通信網絡為無向連通的，那么鄰接矩陣A=[aij]n×n是對稱矩陣，因此：

根據上式形式可看出當ψ ＞0 時，可以調節參數ψ=1，得到：

然后利用引理 1，設S={(e1,e2,…,en,v1,v2,…,vm)|是S中的最大不變子集，當時：

根據上面得到的結果，最大不變子集M化為：

3 數值仿真

本文將進行Matlab 平臺仿真實驗來驗證自適應耦合權重控制對MAS 的有效性。給定異質MAS 網絡內部具有7個個體，節點個體間的通信關系如圖1所示，且通信拓撲是無向連通的，其中1、2、3號個體具有一階動力學特征，4、5、6、7號個體具有二階動力學特征。7個個體的初始狀態為xi(0)=[3,5,1,4,2,6]T,vi(0)=[4,0.2,1,2.5]T,自適應控制策略下的隨機初始耦合權重為cij(0)=[5,1,4,2,3,6,7]T,分群系數xσ1=5,xσ2=2 。經典群體一致性的模型基于文獻[16]提出，初始速度位置狀態以及通信拓撲和以上相同。實驗結果如圖2～圖6所示。

圖1 通信拓撲圖

圖2 經典異質多智能體群一致性位置變化曲線

對比圖2和圖4可以發現，在初始條件相同的情況下，經典群體一致性算法的各子群在第52秒位置狀態達到一致，應用自適應耦合權重調節系統后，各子群位置狀態達到一致的時間為第11秒，收斂速度提高了78.8%。

對比圖3 和圖5 可以發現，應用自適應耦合權重調節系統后，系統內部二階個體速度達到一致的時間為第11秒，與位置狀態的變化是吻合的。

圖3 經典異質多智能體群一致性速度變化曲線

圖4 自適應控制協議下的位置狀態軌跡

圖5 自適應控制協議下的速度狀態軌跡

圖6 自適應耦合權重變化曲線

根據圖6 的耦合權重變化曲線和圖2～圖5 中的狀態變化可以發現，由于經典群體一致性控制算法的耦合權重是固定的，系統部分個體在前期運動時的調整步長較小，在中后期個體距離較近時的調整步長又偏大。依靠位置狀態設計的自適應耦合權重算法針對這一缺陷進行了有效的改進，因而較好地提高了系統的整體收斂速度。

經典群體一致性采用固定耦合權重，而本文在加入自適應耦合權重之后經過證明發現，系統依舊可以在時間t趨近于無窮時同一子群收斂到同一位置，不同子群收斂于不同位置，這表明了改進算法依舊保持了良好的魯棒性，數值仿真也很好地表現了這一點。

綜上所述，仿真驗證了系統能漸進收斂地達到群體一致性，且有效提高了系統的收斂速度。

4 結束語

本文針對包含一階和二階智能體的異質MAS，設計了基于固定無向通信拓撲的分布式的群體一致性控制協議，在基于邊的自適應耦合權重控制協議和控制輸入的作用下，多智能體系統能夠漸進收斂達到群體一致性，數值仿真結果表明了理論分析的正確性和可行性。