子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)配置優(yōu)化問題研究

楊 瑋，吳瑩瑩，王 婷

陜西科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，西安 710021

子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)（Shuttle-Carrier Storage and Retrieval System，SCS/RS）作為一種典型的模塊化密集倉儲系統(tǒng)，其提升機和穿梭車獨立運動且配合作業(yè)，等待時間少，與傳統(tǒng)自動化立體倉庫相比，更為靈活高效。“精益物流”要求企業(yè)以最小的投入得到最大的產(chǎn)出，研究SCS/RS的資源配置問題，能夠在建設(shè)初期減少浪費，降低企業(yè)的物流成本，提高倉儲系統(tǒng)的社會效益和經(jīng)濟效益，為加快企業(yè)進行轉(zhuǎn)型升級提供可靠的方案。

系統(tǒng)資源配置是一個典型的多目標優(yōu)化問題，大多數(shù)研究考慮了倉儲布局、貨架配置或運行設(shè)備數(shù)量優(yōu)化。優(yōu)化目標主要有系統(tǒng)效率、系統(tǒng)成本等。馬文凱等[1]以系統(tǒng)分揀效率和訂單揀選時間為性能評估參數(shù)，建立了單任務(wù)周期下系統(tǒng)配置優(yōu)化模型，并設(shè)計進化算法求解模型。楊朋等[2]針對多載具自動化立體倉庫，以最小化存取貨作業(yè)行程時間為目標建立貨位分配模型，并設(shè)計混合遺傳算法對其進行求解。陳璐等[3]提出整數(shù)規(guī)劃模型解決物料動態(tài)儲位的問題，設(shè)計兩階段的啟發(fā)式算法求解，并采用禁忌搜索算法進行改進，實例驗證該模型可以提高堆垛機的利用率和倉儲空間的利用率。

蔡安江等[4-5]建立了堆垛機調(diào)度模型，以堆垛機執(zhí)行任務(wù)所需總時間為評價指標，另外還建立了適合同端式出入庫立體倉庫的多目標貨位分配模型，并設(shè)計多目標遺傳算法，仿真結(jié)果表明該算法性能優(yōu)越。魯建廈等[6]針對SCS/RS 的復(fù)合作業(yè)三維路徑規(guī)劃問題，考慮碳排放成本和設(shè)備作業(yè)時間建立了多目標數(shù)學(xué)模型，并設(shè)計了混合智能水滴求解模型，仿真結(jié)果表明該算法性能較好。歐陽永強等[7]針對堆垛機式立體倉庫，考慮堆垛機的加減速過程，建立以能耗、平均吞吐時間和成本為目標的多目標優(yōu)化模型，并采用非支配排序遺傳算法進行求解，得到的解集為系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)。周奇才等[8]建立了多層穿梭車倉儲系統(tǒng)仿真模型，分析了單命令周期和雙命令周期下如何配置多穿系統(tǒng)倉庫，使得穿梭車與提升機效率匹配，避免設(shè)備冗余。但該方法未考慮穿梭車換層作業(yè)。陳國真[9]針對多層穿梭車系統(tǒng)，建立了以總出庫時間最小為目標的配置優(yōu)化模型，得到的結(jié)果可以為企業(yè)安排穿梭車數(shù)量提供理論依據(jù)。Borovin?ek等[10]提出了一種用于SBS/RS設(shè)計的多目標優(yōu)化模型。該模型綜合考慮了平均吞吐時間的最小化與系統(tǒng)能耗。

現(xiàn)有文獻中，針對子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)的研究集中在調(diào)度路徑優(yōu)化和性能評估方面。Marchet等[11]提出了一個開放排隊網(wǎng)絡(luò)模型來估計SCS/RS 績效指標（行程時間和等待時間），通過仿真驗證了該模型的有效性。Tappia等[12]開發(fā)了一個排隊網(wǎng)絡(luò)模型，用于估計單層穿梭車和多層穿梭車系統(tǒng)的性能。仿真結(jié)果表明，多層系統(tǒng)中使用專用穿梭車有利于提高系統(tǒng)的性能。Zou等[13]使用Fork-Join排隊網(wǎng)絡(luò)方法（Fork-Join Queueing Network，F(xiàn)JQN），基于提升機和穿梭車的并行處理策略對SCS/RS 進行了建模，并通過一種近似排隊網(wǎng)絡(luò)方法來評估系統(tǒng)性能。仿真結(jié)果顯示，當(dāng)系統(tǒng)中的層數(shù)小于10 時，并行處理策略的性能將達到最佳。Lerher 等[14-15]建立了行程時間模型，考慮了提升機和穿梭車運行特性，如加速、減速以及最大運行速度。隨后的研究針對單命令周期和雙命令周期提出了行程時間模型，以估計系統(tǒng)中平均行程時間。所提出的雙深位穿梭車系統(tǒng)的優(yōu)點是需要的通道更少，從而可以更有效地利用地面空間。程飛[16]提出了子母車分離調(diào)度策略，在出庫策略方面考慮縮短訂單間隔以及增加緩沖區(qū)等，通過實際案例驗證了該優(yōu)化調(diào)度策略提高了系統(tǒng)效率。

由上述文獻可知，雖然部分文獻研究了子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)的資源配置，但多為單目標優(yōu)化，或只研究了簡單的單命令周期，而且模型中未考慮穿梭車的跨層作業(yè)。由于子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)作業(yè)過程的復(fù)雜性，上述研究成果難以應(yīng)用到子母式穿梭車密集倉儲系統(tǒng)的優(yōu)化配置上。

本文從集成優(yōu)化的角度對子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)的配置問題進行研究，考慮穿梭車跨層作業(yè)以及設(shè)備能耗成本，以最小化平均吞吐時間和成本為目標，建立多目標優(yōu)化模型，采用帶精英保留策略的非支配排序遺傳算法進行求解，得到的Pareto解集可為企業(yè)選用資源配置方案提供參考。

1 問題描述及基本假設(shè)

子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)的配置優(yōu)化主要是在滿足企業(yè)對吞吐能力要求的情況下，進行合理的資源配置，使得成本最小化，吞吐效率最大化。在SCS/RS中，提升機和子母穿梭車同時獨立運動，配合完成貨物的存取作業(yè)。圖1 為SCS/RS 示意圖，坐標原點為系統(tǒng)I/O 站臺，X軸為子車行走方向（貨架排方向），Y軸為母車行走方向（貨架列方向），Z軸為提升機垂直運動方向（貨架層方向），以此建立空間直角坐標系。

圖1 SCS/RS示意圖

本文主要考慮如何建立考慮吞吐效率和成本的多目標優(yōu)化模型，對于吞吐時間模型部分，不同復(fù)合作業(yè)形式以及設(shè)備配置情況，都會影響系統(tǒng)的吞吐時間。對于成本模型而言，設(shè)備在不同運動狀態(tài)下的能耗也不同。因此，本文給出子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)的雙目標優(yōu)化模型。該模型的優(yōu)化目標是最小化平均吞吐時間和成本，決策變量為貨架規(guī)格參數(shù)（單元貨架數(shù)量、層、列、排）和設(shè)備的運行參數(shù)。由這些決策變量確定系統(tǒng)的配置參數(shù)，即貨架的規(guī)格以及設(shè)備選型。

為了研究方便又不失一般性，本文提出如下假設(shè)：

（1）貨物提升機的升降臺初始位置為I/O站臺，子母穿梭車初始位置為層I/O 點，任務(wù)結(jié)束后二者需回歸初始位置；

（2）穿梭車提升機的升降臺初始位置位于最底層的巷道末端，每次輸送穿梭車作業(yè)完成后，停留在當(dāng)前位置點，等待執(zhí)行下次任務(wù)；

（3）提升機和穿梭車每次只能裝載單個貨物，且其運行速度不受裝載貨物影響；

（4）提升機和子母車均存在加（減）速度且加（減）速度為定值，同一個設(shè)備的加速度與減速度數(shù)值大小相等；

（5）立體倉庫存儲策略采用隨機存儲，即每個貨位執(zhí)行出入庫作業(yè)的概率相同；

（6）貨架尺寸足夠使設(shè)備達到最大速度，貨格間隙忽略不計。

子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)適合存放輕型貨物，加上提升機和穿梭車的抗沖擊性較好，因此其加速度變化忽略不計，可看作是定值。設(shè)備先做勻加速運動，達到最大速度時做勻速運動，接著做勻減速運動直至停止，其速度時間關(guān)系如圖2所示[17]。

圖2 設(shè)備運動速度-時間關(guān)系圖

根據(jù)Borovin?ek 等人[10]的研究，當(dāng)立體倉庫采用隨機存儲策略時，輸送設(shè)備的位移及時間可通過概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)計算。原點到隨機點之間的單程位移可通過式（2）和式（3）計算，隨機兩點之間的兩目標間位移可通過式（4）和式（5）計算。

2 數(shù)學(xué)建模

子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)的資源配置優(yōu)化主要考慮兩方面，分別是系統(tǒng)吞吐能力的最大化和系統(tǒng)成本最小化。系統(tǒng)吞吐能力通常用平均吞吐時間來衡量，而系統(tǒng)成本應(yīng)包括原始投資成本和后期使用過程中系統(tǒng)能耗引起的耗電成本。二者存在“效益背反”關(guān)系，但通過建立多目標優(yōu)化模型，可以找到一個均衡點，使二者都達到最優(yōu)狀態(tài)。基于倉儲貨架參數(shù)和設(shè)備參數(shù)，設(shè)置13個決策變量，建立的目標模型如下

其中，X為通用決策變量，L為貨架層數(shù)，C為貨架列數(shù)，R為貨架排數(shù)，N為貨架數(shù)量，S為子母穿梭車成套數(shù)量，vA為貨物提升機最大速度，aA為貨物提升機加速度，vB為穿梭車提升機速度，aB為穿梭車提升機加速度，vx為子車最大速度，ax為子車加速度，vy為母車最大速度，ay為母車加速度，Xl為變量范圍的下限，Xu為變量范圍的上限。

2.1 基本參數(shù)

基本參數(shù)如表1所示。

表1 基本參數(shù)

2.2 最小化平均吞吐時間TSCS/RS

2.2.1 貨物提升機執(zhí)行任務(wù)時間

提升機在執(zhí)行復(fù)合作業(yè)時，步驟如下：①貨物提升機執(zhí)行入庫指令，載著待入庫貨物從I/O 站臺出發(fā)至入庫層I/O點，將貨物釋放至緩存區(qū)；②執(zhí)行出庫指令，從入庫層I/O 點運行至出庫層I/O 點；③載著待出庫貨物由出庫層I/O 點回到I/O 站臺，此時單次復(fù)合作業(yè)任務(wù)完成。提升機執(zhí)行一次復(fù)合作業(yè)如圖3所示，提升機作業(yè)時間模型計算應(yīng)包括兩段單程時間①和③，一段兩目標間行程時間②，以及四段貨物提升機搬運/釋放貨物時間：

圖3 提升機作業(yè)示意圖

2.2.2 子母穿梭車執(zhí)行任務(wù)時間

穿梭車在執(zhí)行復(fù)合作業(yè)模式時，需要考慮存取貨物位置以及穿梭車配置，分為單層作業(yè)和跨層作業(yè)四種子情況，即M1、M2、M3和M4，如圖4所示。

圖4 復(fù)合作業(yè)模式分析

由概率論基本公式，待入庫貨物與待出庫貨物同層的概率P1=S/L，作業(yè)層有穿梭車的概率P2=S/L，則子母穿梭車在不同復(fù)合作業(yè)模式下執(zhí)行指令的概率分別為P(M1)=P1×P2,P(M2)=P1×(1-P2),P(M3)=(1-P1)×P2,P(M4)=(1-P1)×(1-P2),可以得出每套子母穿梭車執(zhí)行一次復(fù)合作業(yè)任務(wù)的平均行程時間TSC為：

（1）M1模式

此模式下，待入庫貨物與待出庫貨物同層且該層有穿梭車，此時為單層作業(yè)，子母穿梭車的平均行程時間模型為：

式中，TS-y為母車單程行駛時間，TB-y為母車兩目標間行駛時間，TS-x為子車單程行駛時間。

（2）M2模式

此模式下，待入庫貨物與待出庫貨物同層，但該層沒有穿梭車，需提前進行穿梭車的預(yù)換層作業(yè)，此時為跨層作業(yè)。由以往研究可知，單次復(fù)合作業(yè)時，穿梭車的行駛時間大于同時作業(yè)的穿梭車提升機行駛時間[8]，即當(dāng)子母車換層到層I/O點時，提升機早已到達，因此換層作業(yè)不單獨計算穿梭車提升機從上一任務(wù)結(jié)束位置到下一任務(wù)目標層巷道末端點的行駛時間。子母穿梭車換層作業(yè)的平均行程時間TSC-change模型如式（11），該模式下子母穿梭車的平均行程時間模型如式（12）：

式中，TB-liftB為穿梭車提升機兩目標間行駛時間，即從穿梭車所在層巷道末端到目標作業(yè)層巷道末端的行駛時間。

（3）M3模式

此模式下，待入庫貨物與待出庫貨物分布在不同層，但入庫層有子母穿梭車。此時為跨層作業(yè)模式，預(yù)期行程時間模型應(yīng)計算四段母車單程行駛時間，四段子車單程行駛時間以及一段穿梭車兩目標間行駛時間，還有四次母車裝卸子車的時間、四次子車裝卸貨物的時間以及兩次穿梭車提升機裝卸子母車的時間。

（4）M4模式

此模式下，待入庫貨物與待出庫貨物分布在不同層，且作業(yè)層沒有穿梭車，此時的跨層作業(yè)需要在M3模式上先將穿梭車換層到目標作業(yè)層，因此需要先將穿梭車換層到待入庫貨位所在層，而后執(zhí)行M3模式。

結(jié)合式（1）～（5），各時間計算分別如下：

由圖1貨架設(shè)備布置情況所示，母車在貨架列方向上的最遠行駛距離為貨格長度乘以貨格數(shù)（忽略貨格間隙），即dy=LSR=lcell×C，子車在貨架排方向上的最遠行駛距離為貨架總寬度的1/2，即dx=WSR/2=wcell×R/2，在進行穿梭車換層作業(yè)時，穿梭車提升機在垂直方向上的最遠行駛距離 dz′=hcell×L/S時，此時TSC整理為：

由于穿梭車與提升機同時獨立運動完成作業(yè)，系統(tǒng)平均吞吐時間為貨物提升機和穿梭車作業(yè)時間的最大值，因此整個系統(tǒng)的平均行程時間：

綜上，整個系統(tǒng)平均吞吐時間TSCS/RS為：

式中，λSCS/RS為SCS/RS 每小時的吞吐能力；k為單次復(fù)合作業(yè)模式下的交易次數(shù)(k=2)。

2.3 最小化成本計算模型CSCS/RS

2.3.1 原始投資成本

SCS/RS建設(shè)初期的投資成本包括系統(tǒng)設(shè)備購置成本CE、貨架建造成本CSR以及廠房租賃成本CR，各部分計算如下所示：

式中，CliftA為貨物提升機單價；CliftB為穿梭車提升機單價；Cshuttle-carrier為單套穿梭車價格；Ccell為貨格建造成本；CA為單位面積廠房租金；TP為系統(tǒng)使用壽命。

2.3.2 系統(tǒng)能耗成本

子母穿梭車系統(tǒng)中包含N個單元貨架，因此整個系統(tǒng)的能耗成本為：

式中，P為單元貨架系統(tǒng)運行的總功率；Tday為系統(tǒng)每天工作小時數(shù)；nw-days為系統(tǒng)每周工作天數(shù)；nweeks為系統(tǒng)每年的工作周數(shù)；ηSCS/RS為系統(tǒng)的效率；CSE為單位工業(yè)用電費用。

每個單元貨架配備一臺貨物提升機，一臺穿梭車提升機和S套子母穿梭車。因此，單個貨架系統(tǒng)的運行總功率P如式（24）所示：

設(shè)備運動主要由電機做功產(chǎn)生的牽引力或者制動力來帶動，分為加速階段、勻速階段和減速階段三個階段。忽略空氣阻力，功率計算可由得出，牽引力（或制動力）計算可由基本力學(xué)平衡公式得出。

提升機在垂直方向上運動，子母穿梭車在水平方向上運動，二者運動可看作是同時進行，貨物提升機、穿梭車提升機的平均功率如式（25）和式（26）所示，母車沿主巷道運行的平均功率如式（27），子車沿貨物巷道運行的平均輸出功率如式（28）：

式中，PAa、PAv、PAb分別為貨物提升機加速運動、勻速運動、減速運動的功率；tAa、tAv、tAb分別為貨物提升機加速運動、勻速運動、減速運動的時間；PBa、PBv、PBb分別為穿梭車提升機加速運動、勻速運動、減速運動的功率；tBa、tBv、tBb分別為穿梭車提升機加速運動、勻速運動、減速運動的時間；Pya、Pyv、Pyb分別為母車加速運動、勻速運動、減速運動的功率；tya、tyv、tyb分別為母車加速運動、勻速運動、減速運動所需時間；Pxa、Pxv、Pxb分別為子車加速運動、勻速運動、減速運動的功率，txa、txv、txb分別為子車加速運動、勻速運動、減速運動的時間，具體計算過程如下。

（1）貨物提升機平均功率計算

貨物提升機勻加速運動時，牽引力計算如下：

則貨物提升機勻加速運動時平均功率為：

式中，ηe為貨物提升機的效率。

貨物提升機勻速運動時，牽引力計算如下：

則貨物提升機勻速運動時平均功率為：

貨物提升機勻減速運動時，受到的制動力如下：

勻加速運動時間tAa、勻速運動時間tAv、勻減速運動時間tAb計算如下：

（2）穿梭車提升機平均功率計算

計算步驟與貨物提升機類似，各運動階段平均功率及時間計算如下：

（3）母車平均功率計算

母車勻加速運動時，牽引力計算如下：

式中，kir為旋轉(zhuǎn)質(zhì)量因子；kr為滾動摩擦系數(shù)。則母車平均功率計算為：

式中，ηe為母車的效率。

母車勻速運動時，牽引力計算如下：

則母車的平均功率為：

母車勻減速運動時，牽引力計算：

則母車平均功率為：

母車各個運動階段所用時間為：

（4）子車平均功率計算

與母車類似，子車勻加速、勻速、勻減速運動時，功率計算如下：

則子車勻加速運動時平均功率為：

綜上所述，總成本模型為：

3 算法求解

帶精英保留的非支配排序遺傳算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm，NSGA-II）在求解多目標優(yōu)化問題時具有優(yōu)越性。該算法由Deb等人[18]提出，采用快速非支配排序法，大大降低了算法的復(fù)雜度，且擁擠度的引入保證了種群的多樣性，引入精英保留策略擴大采樣空間，防止最佳個體的丟失，提高了算法的運算速度和魯棒性。算法流程圖如圖5所示。

圖5 NSGA-II算法流程圖

NSGA-II算法具體步驟如下：

（1）種群初始化

隨機產(chǎn)生初始父代種群P0，并對種群進行非支配排序，使每個個體被賦予秩，即每一個解都被分配到一個和非支配層級（1是最優(yōu)層級）相應(yīng)的適應(yīng)度值。

（2）產(chǎn)生子代種群

選擇二進制錦標賽對初始種群進行選擇、交叉、變異操作，得到新的種群大小為N的子代種群Q0。

（3）非支配排序

合并父代與子代為新的群體Rt=Pt+Qt，對Rt進行非支配排序，依次得到非支配解集Z1,Z2,…。

（4）擁擠距離排序

將非支配解集Zi按照擁擠距離進行排序，選擇最好的N個個體組成新父種群Pt+1，即采用精英保留策略。

4 案例分析

4.1 參數(shù)設(shè)置

本文以某SCS/RS倉儲設(shè)備供應(yīng)商以及某電商配送中心提供的實驗參數(shù)為基礎(chǔ)進行研究，各固定參數(shù)設(shè)置如表2，決策變量取值范圍如表3。

表2 參數(shù)值

表3 決策變量取值范圍

4.2 算法求解

采用NSGA-II 求解時，算法參數(shù)設(shè)置如表4 所示，最終結(jié)果為100 組不同配置組合方案，得到Pareto 前沿如圖6所示。表5列出按平均吞吐時間由低到高排序的前10組解，表6按成本由低到高排序的前10組解。

從圖6 可以看出，吞吐時間減少的同時，總成本在增加，這與二者之間的“效益背反”關(guān)系一致，由此可驗證模型結(jié)果的正確性。表5中，平均吞吐時間最短可至2.3 s，此時系統(tǒng)配置方案為：倉庫設(shè)置5個貨架，每個單元貨架為 4 層、48 列、22 排，并且配備 4 套子母穿梭車，即每層配備一套穿梭車，易知系統(tǒng)進行單層作業(yè)時效率更高，但同時該方案花費較大，適合對貨物周轉(zhuǎn)率要求極高的電商物流中心等。

表4 算法參數(shù)設(shè)置

圖6 Pareto前沿

表5 按平均吞吐時間排序

表6 按成本排序

成本從低到高進行排序，成本最低方案中，系統(tǒng)只包含一個單元貨架，貨架為15 層，兩套子母車，此時系統(tǒng)平均吞吐時間為27.14 s，可知這是由于頻繁的換層作業(yè)導(dǎo)致作業(yè)時間較長。該方案適合占地面積有限且對吞吐時間要求不高的企業(yè)。

分析模型結(jié)果，SCS/RS 高吞吐效率要求高設(shè)備水平，企業(yè)需要投入高資金成本，因此在進行早期倉儲規(guī)劃時，企業(yè)應(yīng)結(jié)合自身需求以及能力，選擇適合整體發(fā)展目標的倉儲配置方案，并不是一味追求越快越好。合理的資源配置方案將為企業(yè)節(jié)省一定的成本，這就是本文研究的目標。

5 結(jié)束語

本文針對子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)的配置問題，進行了資源分配問題的詳細分析。通過分析影響系統(tǒng)資源配置的因素，考慮子母穿梭車是否換層以及提升機和子母穿梭車的加減速度特性，以此建立了以系統(tǒng)平均吞吐時間、成本最小為目標的多目標優(yōu)化模型。針對該問題，本文采用非支配排序遺傳算法，引入精英策略，防止獲得的Pareto 最優(yōu)解丟失。最后，數(shù)據(jù)實驗結(jié)果顯示，本文的模型結(jié)果可為企業(yè)進行資源配置提供優(yōu)質(zhì)方案。隨著自動化立體倉庫的迅速發(fā)展與應(yīng)用，資源配置方案的研究仍具有廣闊的研究空間。本文資源配置的結(jié)果為一組Pareto最優(yōu)解，企業(yè)在選擇時還需要根據(jù)自身需求進行甄選。本文的研究方法和思路可為后續(xù)建立資源配置系統(tǒng)提供經(jīng)驗和方法，為企業(yè)定制個性化資源配置方案提供理論依據(jù)。由于實際情況下，系統(tǒng)中單一作業(yè)和復(fù)合作業(yè)同時存在，而本文單考慮了設(shè)備的復(fù)合作業(yè)，因此如何確定混合作業(yè)模式下的系統(tǒng)吞吐時間還有待進一步研究。