引源頭活水，滋養兒童的數學靈性

虢小鵬

【摘要】課程標準指出：數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.“圓錐的體積”一課重在對體積公式推導過程的探究.學生通過觀察、比較圓柱和圓錐的特點，建立二者之間的初步聯系，進而提出猜想，設計方案，在動手實踐中得出圓錐的體積公式并進行運用.學生在學習過程中不斷地進行質疑互動、自我領悟，使自身的數學活動經驗從粗略走向細致，從淺顯走向深刻.

【關鍵詞】圓錐體積;數學基本思想;數學基本活動經驗

“圓錐的體積”一課被編排在“圓柱”這一知識內容之后，因此學生已經了解了圓柱體積的推導過程.教材對于圓錐體積推導過程的編寫是非常系統且完整的，遵循的是“提出問題—喚醒經驗—建立聯系—實驗操作—推導公式—應用公式”的教和學的過程，其呈現方式是先提出問題“我們已經會計算圓柱的體積，那如何計算圓錐的體積呢？”逐步引導學生建立圓柱與圓錐的關系，并設計了一組探究實驗：準備等底等高的圓柱、圓錐形容器，用倒沙法或倒水法進行探究，發現兩者之間的體積關系，進而得出圓錐的體積公式.

一、教學前議

通過仔細閱讀教材可以發現這樣一個問題：教材在編排圓錐體積公式的推導過程中，“圓柱”這個點有著非常明顯的先入為主的感覺，其與圓錐的聯系以及實驗的設計似乎都來自教材編者，而不是學生在思維碰撞和遴選甄別中得來的.如果教師不加思考、平鋪直敘地將教材流程走完，那么學生對圓錐體積的認識就是膚淺的，獲取的數學經驗也是空洞的.當然，教材的編排一定是編者經過深思熟慮的，可以照顧到大多數學生的情況，故教材承載的是一般的、普遍的教學建議.但對于學生來說，實驗對象的確定、器材的優化、探究方法的確立都應該是在探究過程中遇到問題后逐步了解的.因此，教師在教學過程中發展學生的數學情感、增強數學活動經驗、滲透數學思想是很有必要的.

整體上來說，本節課從觀察猜想、制訂方案，再到實驗探究、推導公式都是在教師的引導下，學生主動地去合作探究，親身經歷完整的圓錐體積的學習過程.

首先，引導學生思考為什么要學習圓錐的體積.數學知識來源于生活，運用于生活，要讓學生明白學習圓錐的體積是因為生產、生活的需要.

其次，自主選擇關系.教學中，教師應充分尊重學生已有的知識經驗，放手讓學生聯想、回憶長方體、正方體、圓柱（重點演示）的體積探究過程，喚醒學生的已有經驗，體會“轉化”的數學思想.學生通過自身經驗很自然地在已有的知識中搜索與圓錐有關的立體圖形——圓柱.教師通過以往的教學經驗可以發現：很多數學知識在學生腦海中的建立，就是引導學生自主發現數學知識間的緊密聯系.

再次，自主分析關系.教師引導學生自主選擇實驗工具，讓學生感受到控制變量的意義，明晰為何選擇等底等高的圓柱、圓錐來進行實驗，使學生經歷一系列的遴選、質疑、推理、驗證的過程，理解數學知識一般與特殊的關系，在思辨中逐步獲得理性分析的經驗.

然后，自主發現體積的計算方法.在本節課中，教師應鼓勵學生大膽“發明”圓錐體積的計算公式，讓學生自主制訂實驗方案去驗證圓柱與圓錐的關系，最后得出圓錐體積的計算公式.學生在積累數學活動經驗的同時，將圓錐體積公式的“數”與圓錐的“形”合二為一地進行思考，為思維發展提供足夠的空間.這樣，學生對于圓錐體積的認識將是動態的、立體的、有層次的.

最后，完整回顧探究歷程.對于學生來說，一次數學探究活動后能用自己的話說清楚學習的過程是很重要的，特別是經歷了面積、體積等知識的學習后，有一次完整的回顧與總結是非常有必要的，既加深對當堂知識點的理解，又有助于數學思想方法的滲透，培養了科學嚴謹的探究精神.

二、教學片段剖析

學生已有的經驗猶如源頭的“活水”.在探究活動中，教師應遵循學生學習的自然路徑，“引流”得當.

（一）情境導入，喚醒經驗

1.（出示圓錐形的沙堆）建筑工地上有一個圓錐形的沙堆，你能想辦法知道它有多少立方米的沙子嗎？有多少立方米的沙子就是求什么？（板書課題）今天我們就來探究圓錐的體積.

2.提問：我們在之前學習過哪些立體圖形的體積？（長方體、正方體、圓柱）

3.回憶圓柱體積公式的推導過程.（PPT動畫演示，意在喚醒“轉化”）

4.繼續回憶轉化前后的關系.（意在提取“等底、等高”）

提問：轉化后的長方體與圓柱有哪些相等的關系？（二者底面積相等、高相等，圓柱底面的半徑等于長方體的寬，圓柱底面周長的一半等于長方體的長）

【設計意圖】通過重點回顧圓柱體積公式的推導過程，明確“轉化”的數學思想方法，使學生感受轉化前后的聯系，喚醒學生相應的學習經驗，為探究新知做好鋪墊.

（二）實驗操作，探究新知

1.明確問題

圓錐的體積與它的底面積和高有怎樣的關系？

2.選擇實驗對象

師：（出示圖片）這是我們要研究的立體圖形，這些圓柱和圓錐如果要你來挑，你會挑哪一組圓柱和圓錐來研究呢？先獨立思考，然后在小組內交流你的看法.

預設1：選①號圓錐和②號圓柱比較合理，這兩個圖形的底面積和高一樣大，大小差異小一些.

預設2：我們覺得選⑤號圓錐和⑥號圓柱也行，這兩個圖形的底面積和高也是一樣的.

追問：為什么不選擇①號圓錐與③號、④號、⑥號、⑦號圓柱中的一個來研究呢？

預設3：這幾組圓柱和圓錐，有些等底不等高，有些等高不等底，有些既不等高也不等底，不太方便研究，實驗的結果會出現很多情況，不好比較.

3.明確的沙子用途，制訂實驗方案

提問：教師提供的實驗用品中的沙子有什么用處？

預設：圓錐里裝滿沙子，倒入圓柱內;或者圓柱里裝滿沙子，倒入圓錐里，看能倒幾次.

【設計意圖】學生通過觀察、比較，自主選擇實驗工具，明確控制變量在對比實驗時能直觀地對實驗數據進行分析，培養科學探究精神的同時，突破為什么選擇等底等高的圓柱和圓錐來研究的難點.教師適時引入倒沙法，引導學生制訂實驗方案.

4.分組實驗，匯報交流

（1）分組實驗：

①號圓錐和②號圓柱;

⑤號圓錐和⑥號圓柱;

①號圓錐和③號圓柱;

①號圓錐和④號圓柱;

①號圓錐和⑥號圓柱.

（發放實驗器材，每個小組不同）

（2）實驗思考：

①你們組拿到的是一組怎樣的圓錐與圓柱？

②通過實驗，你們發現這組圓錐和圓柱的體積之間有怎樣的關系？

（3）匯報交流：

等底等高的圓錐和圓柱中，圓錐體積是圓柱體積的1/3.

【設計意圖】通過操作實驗、師生交流得出結論：當圓柱與圓錐等底等高時，圓錐的體積是圓柱體積的三分之一，這一關系不受大小的影響，是普遍存在的.而非等底等高圓柱與圓錐體積的關系卻有多種情況.這是選擇等底等高的圓柱和圓錐進行研究的原因之一.

5.推導圓錐體積公式

（1）思考：選擇哪個實驗結論來推導圓錐的體積公式呢？

（2）推導：如何計算圓錐的體積？

（3）理解：S，h，Sh分別表示什么？

追問：為什么要乘1/3？

（4）質疑：為什么不運用不等底等高的這兩組實驗來推導？

【設計意圖】實驗匯報交流后，通過選擇、推理等活動，學生經歷完整的圓錐體積公式的推導過程.學生通過質疑，一方面加深對圓錐體積計算方法的認知，另一方面更深入地理解選擇等底等高的圓柱與圓錐進行研究的原因，積累相應的數學活動經驗.

（三）回顧過程，積累經驗

提問：誰來回顧一下，剛才我們是怎樣推導出圓錐體積公式的？

預設：觀察猜想—制訂方案—實驗探究—推導公式.

【設計意圖】學生經歷完整的圓錐體積公式的推導過程后，對整個學習過程做一個完整的回顧是很有必要的，一方面加深對本課知識的理解，另一方面對于積累相應的數學活動經驗有很大助力.

（四）運用結論，提升能力

例3及相關習題.

三、教學后記

數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.在教學中，教師要巧妙地喚醒學生的已有經驗，由淺入深、循序漸進地進行引導設疑，讓學生主動融入教學全過程中來.在討論選擇不同的實驗器材時，可能引發不同觀點的爭論，這有利于培養學生的科學探究素養，使學生在質疑中不斷產生再思考、再求證的內在需求.在整個圓錐體積的研究過程中，學生參與數學活動的熱情、探究和發現數學結論的欲望都被有效激發，學生的實踐能力、數學思維能力也得到充分的發展與提升.

“圓錐的體積”一課的邏輯主線顯然不在體積的計算方法，而在于體積公式推導的教學過程.教師應該遵循學生獲取知識的一般路徑，在已有知識的基礎上，引導學生主動發現問題、提出猜想、動手實驗、獲得結論、實踐運用，讓學生在掌握知識的同時，獲得相應的數學活動經驗，感悟數學思想方法，體驗數學的價值，提高分析和解決問題的能力，最后獲得數學情感上的升華.

對于學生來說，合適的才是最好的.對于一節課來說，怎樣才是合適的呢？當教師把結論性的知識通過獨到的教學視角還原成它的本來面貌，讓學生親歷知識的發現和形成過程，體會數學思想，并為以后的學習積累活動經驗時，這樣的課堂才是有生命的，才是最合適的！

【參考文獻】

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