由邊界曲面方程計算空間立體體積一般方法的探討

李亞玲 張新巍

【摘要】簡單的空間幾何體可以通過繪制圖形計算立體體積.但是，對空間想象能力一般或者沒有繪圖基礎的學生來說，借助繪圖計算邊界曲面較為復雜的空間立體體積就不容易了.本文探討了不借助繪制三維立體圖，而是從立體邊界曲面的方程出發利用二重積分計算一般空間立體的體積的一般方法.文中給出了通過方程運用二重積分計算立體體積的三個步驟，并采用方法與例題相結合的形式，針對由方程確定投影區域的四個不同情形，較為全面地討論了計算空間立體體積的一般方法，同時也解決了三重積分計算中積分區域的表示問題.

【關鍵詞】投影區域;邊界曲面方程;空間立體體積;二重積分

一、引言

無論在基礎科學的研究，還是工程技術的應用以及生產生活的方方面面中，我們都需要計算各種空間立體的體積.計算空間立體的體積是一種常見問題.中學數學已經給出了很多規則幾何體的體積計算公式，如長方體、球體、圓錐、圓臺、圓柱等.通過定積分可以計算繞直線旋轉的旋轉體體積以及截面面積已知的立體體積.很多文獻對相關問題也進行了深入的探討.如參考文獻[4]針對同一個立體圖形在繪制出其空間圖形的基礎上討論了多種計算空間立體體積的方法.繪制出空間幾何體，我們就很容易利用二重積分或者三重積分計算出體積了.但是更多的空間立體無法繪制出其幾何形體，尤其是多張曲面所包圍的立體，這給我們求空間立體體積帶來了很大困擾.參考文獻[5]就曲面方程中只含一個z以及含兩個z（不含z=0）的情形給出了不繪制圖形的情況下利用二重積分求空間立體體積的方法，但沒有給出求立體體積的一般方法.

本文從空間立體的邊界曲面方程出發，通過對曲面方程進行分類確定立體的頂底面以及立體的側面，著重分析了根據方程確定立體在坐標面上投影區域（以xOy面為例）的一般方法，然后在投影區域上確定頂面和底面，進而不借助空間圖形就可以利用二重積分計算一般空間立體的體積了.這不僅僅提供了計算空間立體體積的一般方法，為計算空間立體體積帶來了極大便利，同時可以用相同的方法表示出空間區域，解決了復雜積分域下利用坐標面投影法計算三重積分積分限的確定問題，三重積分積分限的確定也是困擾很多人尤其是初學者的一個難題.

二、問題分析

由二重積分的幾何意義可知，如果z=f（x，y），（x，y）∈D是定義在xOy面上區域D內的連續函數，并且z=f（x，y）≥0，則Df（x，y）dxdy表示以區域D為底，以z=f（x，y）為頂，以區域D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面為側面的曲頂柱體的體積.其中，積分區域D就是空間立體在坐標面上的投影區域.若要計算一個頂為z2（x，y），底為z1（x，y），側面是以區域D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面的空間立體體積，可以將該立體看作是兩個以區域D為底的曲頂柱體的體積之差，積分區域D就是空間立體在坐標面上的投影區域.那么，通過以 D為積分區域的二重積分

V=Dz2（x，y）dxdy-Dz1（x，y）dxdy

=D（z2（x，y）-z1（x，y））dxdy（1）

就可以計算該空間立體的體積.

顯然，對于一般的空間立體，只要將其看作是多個曲頂柱體的并或者差，就可以利用二重積分的和或者差得出該立體的體積.

利用二重積分計算空間立體體積的關鍵是確定積分區域和被積函數.積分區域就是立體向坐標面的投影區域，被積函數就由立體的頂面和底面方程確定.如果能畫出該空間立體的圖形，直觀上就可以確定該空間立體的投影區域以及底面和頂面，但是多數情況下空間立體的圖形很難畫出來，甚至也無法想象出，更無法確定其投影區域以及頂底，這給我們計算空間立體體積帶來很大難度.

已知圍成該立體的邊界曲面方程，如何不借助空間立體圖形求出立體體積呢？首先找到空間立體的底面、頂面和側面，然后確定立體在坐標面上的投影區域（也就是積分區域）以及被積函數，進而利用二重積分求出空間立體的體積.其中，投影區域的確定是難點.投影區域一定為頂底曲面投影區域的公共部分，在該公共區域中考慮立體側面對投影區域的限制，也就是曲面相交的交線以及立體的側面（柱面）在坐標面上的投影，就可以找到立體的投影區域.確定被積函數時，只需在投影區域上確定分布在該區域上的曲面哪個是頂面，哪個是底面即可.

下面以投影區域在xOy面上的空間立體為例，給出不借助空間立體圖形而是通過立體的邊界曲面方程計算空間立體體積的一般方法.

三、計算空間立體體積的一般方法

第一步，對曲面方程分類并初步確定空間立體的頂底面和側面.

把含z的方程寫成顯函數z=z（x，y）的形式，其中含z的方程分為一類，不含z的方程分為一類.

根據曲面方程的特征，不含z的方程表示母線平行于z軸的柱面，所以這類曲面為空間立體的側面.含z的方程表示定義域為xOy面上的區域的曲面，因此這類曲面為空間立體的底面或者頂面，含z的方程的個數大于2時該立體為多頂或者多底的空間立體.

第二步，確定投影區域D.

立體的投影區域一定包含在頂底面投影區域的交集中.因此，首先確定頂面和底面本身的投影區域，也就是頂面和底面的曲面方程定義域（x，y的取值范圍）.然后在頂底面的投影區域范圍內確定立體的投影區域.

立體的側面限制了x，y的取值范圍，由此也就確定了立體的投影區域.因此，通過母線平行于z軸的柱面以及底面和頂面的交線在xOy面的投影曲線就可以確定立體的投影區域.若柱面包圍的區域落在頂底的交線之內，則投影區域為柱面的投影曲線所包圍的區域;若柱面包圍的區域落在頂底的交線之外，投影區域仍為柱面的投影曲線所包圍的區域，但需以頂底交線的投影曲線為界將投影區域分成兩部分，對應將立體分為兩個立體，重新確定頂、底，再來計算;若頂底交線的投影曲線與柱面的投影曲線相交，則投影區域為兩類曲線所圍成的公共的區域.

我們在復雜情況下，常常結合投影區域的平面圖確定投影區域.首先畫出底和頂曲面的投影區域，然后在這個區域內畫出底和頂交線的投影曲線以及母線平行于z軸的柱面的投影曲線，根據以上原則以及具體題目的要求很容易就可以得到投影區域了.

第三步，在投影區域D上確定立體的頂面和底面，并利用二重積分計算立體體積.

若只有兩個含z的曲面方程，則在投影區域D上比較含z方程的z值大小，z值大的曲面為頂，z值小的曲面為底，根據式（1）在投影區域上進行二重積分就可求得立體體積.如果在投影區域的范圍內既有z2≥z1的部分，也有z1≥z2的部分，則利用兩個曲面的交線的投影曲線z2=z1將投影區域D分成兩部分，分別確定投影區域這兩部分上的底面和頂面，并根據式（1）求出對應兩個立體的體積再相加即可.

若有兩個以上含z的曲面方程，則該立體是多頂或者多底的情形，立體投影區域依然按照第二步中的方法確定，但頂底兩兩相交，一定會有交線的投影曲線將立體的投影區域分割，因此只需在每塊投影區域上確定頂底并積分得到對應立體的體積再相加即可.

通過這三個步驟可以確定空間立體的基本形態，同時可以確定以該空間立體區域為積分區域的三重積分的積分限.

利用二重積分求立體體積的難點在于確定投影區域.下面按照以上步驟來討論不同情形下確定投影區域的空間立體體積的求法.

四、舉例說明

4.1 由方程中含z曲面交線的投影確定投影區域的情形

曲面方程中沒有不含z的方程，則立體的側面為頂底面的交線.因此，在頂底面定義域的交集中，立體向xOy坐標面的投影區域就是交線的投影曲線包圍的區域.

例1 求由曲面z=x2+y2和z=2-x2-y2所圍成的立體體積.

解 （1）曲面z=x2+y2，z=2-x2-y2，（x，y）∈R2為立體的底頂，側面為頂底的交線.

（2）在區域R2內，由交線的投影曲線確定投影區域.由z=x2+y2，z=2-x2-y2消掉z可得x2+y2=1，因此立體在xOy面上的投影區域D為x2+y2≤1.

（3）在區域D上，始終有2-x2-y2≥x2+y2，所以立體的底面為z1=x2+y2，頂面為z2=2-x2-y2.

因此，該立體的體積為V=D（z2（x，y）-z1（x，y））dxdy=D[（2-x2-y2）-（x2+y2）]dxdy=π.

4.2 由不含z的柱面方程確定投影區域的情形

曲面方程中有不含z的方程時，立體的側面由方程不含z的曲面以及頂底面的交線確定.因此，在頂底面定義域的交集中，若柱面的投影曲線落在頂底交線的投影曲線包圍的區域內時，立體向xOy坐標面的投影區域就是柱面的投影曲線包圍的區域.

例2 求由曲面x2+y2=1 與x2+z2=1所包圍立體的體積.

解 （1）由x2+z2=1可得z1=-1-x2，z2=1-x2（x2≤1，y∈R）表示立體的頂底，x2+y2=1立體的側面.

（2）兩個曲面的定義域為{（x，y）|x2≤1，y∈R}，同時也是兩個曲面交線的投影曲線所包圍的區域.柱面x2+y2=1的投影曲線包含在{（x，y）|x2≤1，y∈R}內，可得所求立體的投影區域D為x2+y2≤1.

（3）在投影區域D上z1<0，z2>0，

因此z1=-1-x2為立體的底，z2=1-x2為立體的頂.

所以該立體的體積為V=D（z2（x，y）-z1（x，y））dxdy=D[1-x2-（-1-x2）]dxdy=163.

4.3 多頂面或多底面確定投影區域的情形

例3 求曲面z=xy，與平面x+y+z=1，z=0所圍成區域的立體Ω的體積V.

分析 該題屬于一底多頂的空間立體，投影區域被兩個頂面交線的投影曲線劃分成兩部分，需要分別計算每個區域對應的立體體積再求和.

解 （1）曲面z=xy，平面z=1-x-y，（x，y）∈R2為頂，平面y=0為底，曲面的側面為頂底的交線.

（2）由曲面兩兩相交交線的投影曲線確定立體在xOy面上的投影區域.由z=xy，z=0得到投影曲線為x=0，y=0，由x+y+z=1，z=0，得到投影曲線為x+y=1，由x+y+z=1，z=xy，得到投影曲線為x+y+xy=1.投影曲線圍成的區域就是立體Ω在xOy面上的投影區域D，即D={（x，y）|x+y≤1，x≥0，y≥0}.同時，交線x+y+xy=1將區域D分成D1，D2兩部分（如圖1）.

圖1 空間立體向坐標面的投影區域

顯然，平面z=0為底，而曲面z=xy，平面x+y+z=1為頂.

D1對應的頂是曲面z=xy，D2對應的頂為平面x+y+z=1.所以，該立體的體積為：

V=D1xydxdy+D2（1-x-y）dxdy=∫10dx∫1-x1+x0xydy+∫10dx∫1-x1-x1+x（1-x-y）dy（計算略）.

4.4 多邊界曲面的情形

例4 求空間曲面z=y16-x2，x2+y2-4x=0，y2-4x=0與空間平面z=0，x=4在坐標系O-xyz第一卦限所圍立體體積.

解 （1）對方程進行分類，z=0，（x，y）∈R2以及z=y16-x2（-4≤x≤4，y∈R）分別表示立體的底頂;x2+y2-4x=0，y2-4x=0，x=4為立體的側面，同時頂底的交線也有可能是立體的側面.

（2）在區域-4≤x≤4，y∈R內，由z=y16-x2，z=0，得頂底交線的投影曲線為y=0，

x=±4，同時考慮柱面在xOy面的投影曲線方程為x2+y2-4x=0，

y2-4x=0，

x=4.在頂底方程的定義域中，柱面投影曲線包圍的區域落在頂底交線的投影曲線之內，因此該立體的投影區域為柱面的投影曲線所包圍的區域D={（x，y）0≤x≤4，4x-x2≤y≤4x}，如圖2所示.

圖2

底和頂的確定：本題中含有z的曲面方程有兩個：z=y16-x2，z=0.在確定的投影區域上，顯然有z=y16-x2>0，故曲面z=y16-x2為頂，平面z=0為底.

所以，該立體的體積為：Dy16-x2dxdy=∫40dx∫4x4x-x2y16-x2dy（計算略）.

五、結束語

本文針對空間立體圖形難畫并且不容易想象導致計算體積困難的普遍問題，討論了不繪制空間立體圖形，只通過立體的邊界曲面方程就可以利用二重積分計算空間立體體積的一般方法.其中，對方程分類確定立體的頂底和側以及在投影區域確定頂底方程中底面和頂面相對簡單，最困難的是如何確定立體向坐標面的投影區域.文中以投影區域在xOy面為例，給出了計算立體體積的三個步驟，并分別針對確定投影區域的不同情形進行舉例說明.如果投影區域在其他坐標面時，方法一樣適用.實際運用它的過程中，結合方程與投影區域的平面圖形計算空間立體體積會更加簡單.另外，計算空間區域上的三重積分的關鍵也是要把該區域表示出來，通過本文確定立體投影區域以及立體頂底的方法，我們就可以將該立體區域表示出來.

【參考文獻】

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