拉阿貝判別法的推廣及應用

張文 沈啟 邱淑芳

【摘要】本文對正項級數的拉阿貝判別法進行了推廣，并通過例題說明該方法具有更廣的適用性.

【關鍵詞】級數;斂散性;拉阿貝判別法

【基金項目】國家自然科學基金（11861007， 11761007）， 江西省教育廳科技項目（GJJ160564）， 江西省教學研究項目（JXJG-18-6-4）.

一、引言

級數的學習在理科《數學分析》或工科《高等數學》課程中都占據重要地位，判斷正項級數

∑∞n=1an的斂散性方法則為重中之重.常用的斂散性判別法為比較判別法、比式判別法、根式判別法、積分判別法和拉阿貝（Raabe）判別法等，由于比式判別法、根式判別法和拉阿貝判別法均有在臨界情況下失效的情形，于是我們想到在拉阿貝判別法的基礎上做出一些改進.

二、正項級數的比式判別法、根式判別法和拉阿貝判別法

定理1 （比式判別法和根式判別法）

對于正項級數∑∞n=1an（an>0），若limn→∞an+1an=r或者limn→∞nan=r，則：

（1）當r<1時，級數∑∞n=1an收斂;

（2）當r>1時，級數∑∞n=1an發散.

問題：當r=1時，比式判別法和根式判別法均不能得出確切的斂散性結論，此時應該如何判斷正項級數的斂散性？我們再選用拉阿貝判別法進行判別.

定理2 （拉阿貝判別法）

對于正項級數∑∞n=1an（an>0），若limn→∞ n1-an+1an=p，則：

（1）當p>1時， 級數∑∞n=1an收斂;

（2）當p<1時， 級數∑∞n=1an發散.

我們列舉經典例題進行討論.

例1 討論正項級數∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！s，s∈N的斂散性.

解 由于該級數的斂散性受到參數s∈N的影響，所以我們令an=（2n-1）！！（2n）！！s，試著找出an+1an與s的關系.

易知

an+1an=2n+12n+2s=1-12n+2s，（1）

于是

limn→∞an+1an=limn→∞1-12n+2s=1，（2）

即正項級數的比式判別法失效. 根據拉阿貝判別法有

limn→∞ n1-an+1an=limn→∞ n1-1-12n+2s，（3）

上式為∞·0型的極限形式，轉化為00型后利用洛必達法則有

limn→∞ n1-an+1an=limn→∞1-1-12n+2s1n

=limn→∞-s1-12n+2s-112（n+1）2-1n2=s2，（4）

于是，根據拉阿貝判別法知：

當s=1時，limn→∞ n1-an+1an=s2<1，正項級數∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！s發散;

當s≥3時，limn→∞ n1-an+1an=s2>1，正項級數∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！s收斂.

但是，當s=2時，limn→∞ n1-an+1an=s2=1，拉阿貝判別法也失效了.于是我們尋求推廣的拉阿貝判別法來判斷正項級數∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！2的斂散性.

三、拉阿貝判別法的推廣

我們將拉阿貝判別法的適用范圍由正項級數推廣到一般項情形.

定理3 若limn→∞ n1-an+1an=p（an≠0），則級數∑∞n=1an：

（1）當p>1時絕對收斂;

（2）當0≤p<1時條件收斂或發散;

（3）當p<0時發散.

證明 （1） 當p>1時，N∈N+n>N滿足

n1-an+1an>p+12>1，（5）

即（n-1）|an|-n|an+1|>p+12-1|an|>0，（6）

于是正項數列{n|an+1|}∞n=N嚴格單調遞減，由單調有界定理知數列{n|an+1|}∞n=1收斂，進一步便知正項級數

∑∞n=2（n-1）|an|-n|an+1|=|a2|-limn→∞n|an+1|（7）

也收斂，根據不等式（6）及比較判別法知：當p>1時，級數∑∞n=1an絕對收斂.

（2） 當0≤p<1時，N∈N+，n>N滿足

n1-an+1an

即（n-1）|an|-n|an+1|

于是

|an+1|≥（N-1）|aN|n.（10）

由比較判別法知：當0≤p<1時，級數∑∞n=1an條件收斂或發散.

（3） 當p<0時，N∈N+，n>N滿足

n1-an+1an

即0<|aN|<|an|<|an+1|，（12）

于是limn→∞ an≠0，由收斂級數必要條件知：當p<0時，級數∑∞n=1an發散.

注：針對p=1的情形，定理1、定理2、定理3均不能給出確切的結論，即上述判別法均失效.下面的定理4為Kummer判別法的變形形式，可作為上述判別法的補充，為拉阿貝判別法的另一種推廣.

定理4 設Tn=un-un+1an+1an（an>0，un>0），則有：