基于核心素養(yǎng)背景下直觀想象素養(yǎng)之培養(yǎng)

丁春年

【摘要】直觀想象素養(yǎng)是高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一.筆者通過利用直觀想象解決抽象函數(shù)問題、平面向量問題、立體幾何問題等幾個典型案例，對利用直觀想象解決數(shù)學問題進行了分析與思考.在數(shù)學問題的解決中，教師要使學生能夠通過圖像直觀認識數(shù)學問題，能夠利用圖形描述和表達數(shù)學問題，從而培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】直觀想象;函數(shù)圖像;直觀模型

【課題項目】甘肅省教育科學“十三五”2018年度課題立項，立項號：GS[2018]GHB1340

《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》（以下簡稱《課標》）提出了高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)，而直觀想象是其中的素養(yǎng)之一.雖然直觀想象素養(yǎng)在《課標》中被正式提出，但直觀想象的說法由來已久.數(shù)學家希爾伯特曾說：“要幫助學生學會用圖形來描述和刻畫問題，要幫助學生學會用圖形去探索解決問題的思路.”這說明了圖形是解決數(shù)學問題的有力工具.哲學家康德也認為：“缺乏直觀的概念是盲目的.”這說明了直觀是我們認識概念的前提.前人的經(jīng)驗充分說明：直觀想象是我們認識事物的一種基本方式，它有助于我們解決問題.

1 直觀想象的定義

《課標》修訂組從數(shù)學學科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵能力和學科思維品質(zhì)的角度出發(fā)，給出了直觀想象的定義：直觀想象感知事物的形態(tài)與變化，借助的是幾何直觀能力和空間想象能力;解決問題的過程，利用的是對幾何圖形的理解.利用空間形式特別是圖形理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng)主要包括：借助空間形式認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述分析數(shù)學問題;建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

對直觀想象進行定義解讀不難發(fā)現(xiàn)幾何直觀和空間想象是直觀想象的兩個要素，其中幾何直觀包括平面幾何直觀與立體幾何直觀，其內(nèi)涵可以從數(shù)與形的關(guān)系、圖形與數(shù)學問題表征、建構(gòu)問題的直觀模型三個方面理解.對空間想象內(nèi)涵的理解可以從數(shù)學概念中的文字語言、符號語言、圖形語言的轉(zhuǎn)換，圖形的形狀變化與運動的描述，抽象圖形和想象實際物體，想象圖形和實際物體之間的位置關(guān)系和方位等幾個方面理解.由此可見，利用直觀想象認識數(shù)學問題、解決數(shù)學問題完全符合高中階段學生的認知特點.這是因為在一定的問題情境中，學生對數(shù)學問題的認識往往需要在數(shù)學直觀和空間想象的基礎上，通過直觀感知、操作確認、推理論證來獲得結(jié)論和發(fā)展思維能力.

2 直觀想象核心素養(yǎng)的三級水平劃分

《課標》修訂組專家在給出直觀想象素養(yǎng)的基本水平劃分之后，又對直觀想象素養(yǎng)進行了三級水平劃分，這種劃分的理論構(gòu)想是：將知識學習按照理解難度順序依次分為三種形態(tài)，即知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新.三種形態(tài)分別對應三種表現(xiàn)形式.

表現(xiàn)1 直觀想象感知，表現(xiàn)內(nèi)容為：抽象幾何圖形、想象實際物體、圖形運動變化、根據(jù)描述畫圖形.

表現(xiàn)2 直觀想象分析，表現(xiàn)內(nèi)容為：理解數(shù)學概念、描述數(shù)學問題、分析數(shù)學問題、直觀探索問題.

表現(xiàn)3 直觀想象建構(gòu)，表現(xiàn)內(nèi)容為：圖形建構(gòu)、圖形分析、數(shù)形結(jié)合、直觀遷移.

由此可見，《課標》修訂組對直觀想象素養(yǎng)進行三個水平層次的劃分，分別對應實際情境、數(shù)學情境、科學情境.具體描述為：能夠在熟悉的情境中，建立實物的幾何圖形;能夠在數(shù)學的教學情境中，借助圖形的性質(zhì)和變換發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律;能夠通過圖形直觀認識數(shù)學問題;能夠用圖形描述和表達熟悉的數(shù)學問題.

直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數(shù)學推理的思維基礎.筆者結(jié)合幾個利用直觀想象解決數(shù)學問題的典型案例，進行逐一分析與點評，并提出了相應的教學建議.

3 案例分析

3.1 利用直觀想象解決抽象函數(shù)問題

函數(shù)是高中數(shù)學的重要概念，它貫穿了整個高中數(shù)學知識，涵蓋了多個知識點.以函數(shù)為主線“串”起了函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等知識.函數(shù)的性質(zhì)涉及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等.函數(shù)本身具有抽象性，而抽象函數(shù)更加抽象，它既是數(shù)學學習中的難點問題，又是高考的熱點問題.在解決抽象函數(shù)問題時，可以利用函數(shù)的性質(zhì)，描繪出函數(shù)的大致圖像，通過直觀想象感知函數(shù)的圖像，達到解決抽象函數(shù)問題的目的.

例1 設函數(shù)f ′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導函數(shù)，f （-1）=0，當x>0時，xf′（x）-f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是（? ）.

A.（-∞，-1）∪（0，1）? B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（0，1）∪（1，+∞）

解析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）x（x≠0），

則g′（x）=xf′（x）-f（x）x2.

由題意，當x>0時，g′（x）<0，因此函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.又因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以函數(shù) g（x）是偶函數(shù)，且g（1）=f（1）=-f（-1）=0，所以函數(shù)g（x）的

大致圖像如圖1所示.

由函數(shù)g（x）的圖像可知：當x∈（-∞，-1）∪（0，1）時，f（x）>0，故選A.

點評 從函數(shù)的性質(zhì)入手，因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可知函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于坐標原點對稱，因此，僅考慮函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性即可，再結(jié)合不等式xf′（x）-f（x）<0的結(jié)構(gòu)特征，可知函數(shù)g（x）=f（x）x在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，最后，由f （-1）=0，可畫出函數(shù)g（x）的大致圖像，由函數(shù)圖像可求出結(jié)果.由此，體現(xiàn)了在熟悉的情境中建立實物的幾何圖形的直觀想象素養(yǎng).

3.2 利用直觀想象解決平面向量問題

向量是近代數(shù)學中較重要和基本的數(shù)學概念之一，它是溝通代數(shù)與幾何的一種工具，在高中數(shù)學中具有重要的作用和地位.向量作為一種既有大小又有方向的量，既具有形的特征，可以通過構(gòu)造向量來處理代數(shù)問題，使問題簡單化，又具備數(shù)的特征，可以將幾何問題坐標化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運算.向量又是聯(lián)系數(shù)與形的紐帶，正是因為平面向量具有“數(shù)”與“形”的雙重身份，因此，在解決平面向量問題時，可以根據(jù)平面向量的代數(shù)形式，建立實際的幾何圖形，通過對幾何圖形的理解，解決代數(shù)問題，進而培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng).

例2? 已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則PA·（PB+PC）的最小值是（? ）.

A.-2?? B.-32

C.-43?? D.-1

解法1 （代數(shù)直觀）如圖2所示，以A為原點建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（2，0），C（1，3）.設P（x，y），則PA=（-x，-y），PB=（2-x，-y），PC=（1-x，3-y），PA·（PB+PC）=2x-342+2y-342-32.

當且僅當x=34且y=34時，PA·（PB+PC）有最小值-32，故選B.

點評 解法1應用了“數(shù)形結(jié)合”的基本思想，這也是平面解析幾何的核心思想所在，就是通過平面直角坐標系，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運算解決幾何問題.同時，幾何圖形又為代數(shù)運算提供了直觀的模型.

解法2 （幾何直觀）如圖3所示，取BC的中點D，則PB+PC=2PD，

PA·（PB+PC）=2PA·PD.

要使PA·PD最小，則PA與PD方向相反，

即點P在線段AD上，則2PA·PDmin=-2PA·PD，

問題轉(zhuǎn)化為求PA·PD的最大值.

又因為PA+PD=AD=3，

由基本不等式可得，PA·PD的最大值為34，

當且僅當PA=PD=32時取得最大值，

所以PA·（PB+PC）有最小值-32，故選B.

點評 向量既有數(shù)的特征，又有形的特征，利用向量運算的平行四邊形法則化簡所求的向量，再結(jié)合圖形特征，通過基本不等式加以解決，達到了化難為易的效果.

3.3 利用直觀想象解決立體幾何問題

立體幾何初步的教學重點是幫助學生逐步形成空間觀念，《課標》要求應遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則.因此，教師在教學設計和幫助學生解決問題時，要用學生熟悉的長方體這一直觀模型，讓學生借助長方體模型，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系.對于一些較難的幾何問題，可以將其放在直觀模型長方體中加以解決，達到化難為易的目的.

例3 已知球O的直徑SC=4，A，B兩點在球面上，∠ASC=∠BSC=30°，

則三棱錐S-ABC的體積的最大值是.

解法1 構(gòu)造體積函數(shù)計算

如圖4所示，因為球O的直徑SC=4，

∠ASC=∠BSC=30°，

所以Rt△ASC≌Rt△BSC，AC=BC=2，

SA=SB=23.

取AB的中點D，連接SD，CD，

則AB⊥SD， AB⊥CD，從而AB⊥平面SCD.

設AB=2x，則SD=12-x2，CD=4-x2，

在△SCD中，由余弦定理得：

cos∠SDC=SD2+CD2-SC22SD·CD=-x212-x2·4-x2，

sin∠SDC=1-cos2∠SDC=43-x212-x2·4-x2，

S△SCD=12SC·CDsin∠SDC=23-x2，

三棱錐S-ABC的體積V=13S△SCD

·AB=43x2（3-x2）≤43×32=2.

當且僅當x2=3-x2，即x=62時等號成立，即當AB=6時，三棱錐S-ABC的體積的最大值是2.

點評 將幾何問題代數(shù)化是求解幾何問題中最值問題的常用方法之一.根據(jù)題目中圖形的直觀特征——圓的直徑所對的圓周角是直角，設置適當?shù)淖宰兞?，將三棱錐的體積表示為自變量的函數(shù)，問題就轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題了.

解法2 構(gòu)造長方體模型計算

如圖5所示，將三棱錐S-ABC放在長方體中，

VS-ABC=VB-SAC，當平面SAC⊥平面SBC時，

三棱錐B-SAC的體積最大，此時，

BD⊥平面SAC，在Rt△SBC中，

BD=SB·BCSC=3，

VB-SAC=13S△SAC·BD=13×12×23×2×3=2，

故三棱錐S-ABC的體積的最大值是2.

點評 通過對題目中的數(shù)學問題的分析，構(gòu)建出數(shù)學問題的直觀模型——長方體，將三棱錐放置在長方體中，很容易直觀地看出，當兩個平面垂直時，三棱錐的體積最大.

3.4 利用直觀想象解決函數(shù)、導數(shù)和不等式問題

導數(shù)題常以線性函數(shù)與指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的組合形式出現(xiàn)，考查導數(shù)的運算法則、極（最）值的求法，考查分類討論及數(shù)形結(jié)合思想，考查等價轉(zhuǎn)化能力及邏輯推理能力，難度較大.要想化解導數(shù)題目的難度，只要把函數(shù)的圖像作為切入點，就可以找到題目的突破口，達到化難為易的效果.縱觀近幾年高考數(shù)學中的導數(shù)大題，其題目的呈現(xiàn)往往以我們熟悉的不等式ex≥x+1、ln x≤x-1等為載體，通過變形或適當重組，形成一道新穎的題目.其中不等式ex≥x+1的證明中蘊含著豐富的數(shù)學素養(yǎng)，即代數(shù)構(gòu)造與幾何直觀.

3.4.1 構(gòu)造函數(shù)：證明不等式ex≥x+1

證明 設f（x）=ex-x-1，x∈R，則? f′（x）=ex-1.

當x∈（-∞，0）時，f′（x）<0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，

當x∈（0，+∞）時，f′（x）>0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞） 上單調(diào)遞增.

因此，f（x）≥f（0）=0，即ex≥x+1，當且僅當x=0時等號成立.

點評 “比較法”是證明不等式的常用方法之一，對于上述的不等式，若用“比較法”不易證明.而構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過求函數(shù)的極值證明不等式是又一種證明不等式的重要方法.通過對上述不等式結(jié)構(gòu)特征的分析，可以進行適當?shù)拇鷶?shù)構(gòu)造，這也是直觀想象的一種表現(xiàn).

3.4.2 不等式ex≥x+1的直觀解釋.

如圖6所示，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)y=ex及y=x+1的圖像，通過兩個函數(shù)的圖像可以直觀地看出對任意的實數(shù)x，ex≥x+1，當且僅當x=0時等號成立.事實上，直線y=x+1就是曲線y=ex在x=0處的切線.

點評 通過對不等式結(jié)構(gòu)的觀察，可以直觀地感知兩個熟悉的函數(shù)y=ex與y=x+1，進一步可以發(fā)現(xiàn)直線y=x+1就是曲線y=ex在x=0處的切線.在熟悉的情境中，建立不等式的幾何圖像，通過對幾何圖像的認識，得出了不等式的幾何解釋，體現(xiàn)了直觀想象在證明不等式中的應用.

3.4.3 不等式ln x≤x-1的直觀解釋.

對于熟悉的不等式ex≥x+1，兩邊取自然對數(shù)得x≥ln（x+1），

用x-1代替x可得ln x≤x-1，當且僅當x=1時等號成立.從導數(shù)的幾何意義可得，函數(shù)y=ln x在x=1處的切線方程為y=x-1，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)y=ln x及y=x-1的圖像，通過兩個函數(shù)的圖像可以直觀地看出對任意的實數(shù)x，ln x≤x-1，當且僅當x=1時等號成立.

點評 《課標》中對直觀想象素養(yǎng)進行了不同水平層次的劃分，讓學生能夠通過直觀想象提出數(shù)學問題，能夠用圖形探索并解決問題.通過對函數(shù)y=ln x及y=x-1圖像的觀察，可以提出一個不等式ln x≤x-1的證明問題，當然也可以通過圖像探索不等式的證明思路.這正是直觀想象的魅力所在.

4 教學建議

4.1 關(guān)注直觀想象認知，提升直觀想象素養(yǎng)

在整個高中學習階段，很多學生都會有這樣的錯誤認識，他們認為“直觀想象”只在立體幾何中存在，其實不然，“直觀想象”貫穿整個高中階段的數(shù)學知識.以“集合”的相關(guān)概念為例，其每一個概念都要用文字語言、圖形語言、符號語言表述.再比如在“基本初等函數(shù)”中，每一個函數(shù)都有其對應的圖像，要想學好基本初等函數(shù)，就要熟悉每一個函數(shù)的圖像，通過函數(shù)的圖像才能認識函數(shù)的性質(zhì).因此，教師從高一開始，就應該注重對學生進行直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，提高學生的學習興趣.

4.2 關(guān)注數(shù)形結(jié)合，提高解題效率

著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”這句話形象地說明了數(shù)形結(jié)合的重要性.在平時的學習中，學生將一個數(shù)學問題代數(shù)化和幾何化，一方面可提高自身的代數(shù)素養(yǎng)和幾何素養(yǎng)，另一方面可以提高解決問題的效率.例如案例1中的抽象函數(shù)問題，直接解決顯得困難，但如果根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的大致圖像，通過觀察圖像，問題便迎刃而解.

4.3 注重信息技術(shù)應用，提升學生創(chuàng)新意識

在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代下，信息技術(shù)與數(shù)學學科進行了完美融合.信息技術(shù)承擔了多種角色，它既是學生獲取知識、合作交流的工具，也是學生學習的工具.例如，在函數(shù)圖像的繪制中，學生可以通過描點法畫出一些基本函數(shù)的圖像，對于一些復合函數(shù)的圖像，用描點法不易畫出.而借助幾何畫板，學生就可以很容易畫出圖像.利用幾何畫板，學生也可以提出一些具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學問題，進而培養(yǎng)創(chuàng)新意識.

直觀想象作為高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一，它的培養(yǎng)必然落實在課堂教學中，必然落實在一線教師的教學實踐中.這就需要我們一線教師深刻領(lǐng)會每一個核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、價值、表現(xiàn)和目標.在日常的教學活動中，教師應深入挖掘教學內(nèi)容，合理搭建培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)的平臺，引導學生養(yǎng)成利用直觀想象解決問題的習慣，引導學生利用圖形描述數(shù)學問題，利用圖形解決數(shù)學問題，讓學生學會構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型，最終有效提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平.

【參考文獻】

[1]林崇德.21世紀學生發(fā)展核心素養(yǎng)研究[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2017.