多思維化歸，四方法破解

梁王海

【摘要】含參的不等式恒成立問題一直是各級各類考試中比較常見的題型之一，它創新性強，背景各異，形式多樣，類型眾多，切入點深，且往往難度較大，不可一蹴而就.此類問題能合理綜合函數、不等式、導數等相關知識，滲透化歸與轉化思想、函數與方程思想、分類討論思想，以及其他數學思想等，能有效考查數學知識與數學能力，具有很強的區分度與選拔性.

【關鍵詞】不等式;函數;恒成立;分類討論;導數;極值點

含參的不等式恒成立問題一直是各級各類考試中比較常見的題型之一，它變化多端，題型新穎，可以以小題（選擇題或填空題）的形式出現，也可以是大題（解答題）的一個組成部分.此類問題能合理綜合函數與方程、不等式、導數等相關知識，有效滲透化歸與轉化思想、函數與方程思想、分類討論思想，以及其他數學思想等，也能有效考查數學知識、數學方法與數學能力，具有很強的區分度與選拔性，一直備受各類命題者的青睞.

一、問題呈現

【問題】（2020年1月江蘇省鹽城市、南京市2020屆高三年級第一次模擬考試·14）若對任意實數x∈（-∞，1]，都有不等式exx2-2ax+1≤1恒成立，則實數a的值為.

本題通過給定自變量的定義域，利用含參的絕對值不等式恒成立為問題背景，進而確定對應參數的取值問題.問題題干短小精悍，簡潔易懂，但含參的絕對值不等式中帶有分式，且較為復雜，包括指數函數與二次函數.如何抓住切入點，合理化歸與轉化，去掉絕對值符號，變形為較為熟知的不等式或基本初等函數的復合形式是破解問題的關鍵所在.結合具體問題特征，可以通過分類討論思想與導數性質等思維方式來分析與處理.

二、問題破解

思維視角一：分類討論思想

方法1：（分類討論法1）

解析：原題目等價轉化為：對任意實數x∈（-∞，1]，都有不等式x2-2ax+1ex≥1恒成立.

構造函數f（x）=x2-2ax+1ex，求導可得f′（x）=-x2+（2a+2）x-2a-1ex=-（x-1）[x-（2a+1）]ex.

①當2a+1≥1，即a≥0時，f′（x）≤0，此時函數f（x）在（-∞，1]上單調遞減，

若f（1）≤0，則|f（x）|的最小值為0，與|f（x）|≥1恒成立矛盾;若f（1）>0，要使|f（x）|≥1恒成立，則f（1）=2-2ae≥1，解得a≤1-e2，與a≥0矛盾.

②當2a+1<1，即a<0時，此時函數f（x）在（-∞，2a+1）上單調遞減，在（2a+1，1）上單調遞增，

此時f（x）min=f（2a+1），若f（2a+1）≤0，則|f（x）|的最小值為0，與|f（x）|≥1恒成立矛盾;若f（2a+1）>0，要使|f（x）|≥1恒成立，則f（2a+1）=2a+2e2a+1≥1，

令2a+1=t<1，不等式2a+2e2a+1≥1等價轉化為et-t-1≤0，

構造函數g（t）=et-t-1，求導可得g′（t）=et-1，

則函數g（t）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，1）上單調遞增，故當t=0時，函數g（t）有最小值為g（0）=0，則有g（t）≥g（0）=0.

而以上要解的不等式是g（t）≤0，所以有g（t）=0，可得2a+1=t=0，解得a=-12.

綜上分析，可得a=-12.故答案為：-12.

方法2：（分類討論法2）

解析：依題意可得對任意實數x∈（-∞，1]，都有不等式-1≤exx2-2ax+1≤1恒成立.

構造函數f（x）=exx2-2ax+1，求導可得f′（x）=ex（x-1）（x-2a-1）（x2-2ax+1）2，

若方程x2-2ax+1=0的判別式Δ=4a2-4≥0，則方程x2-2ax+1=0有解，設其中一個解為x1，則當x→x1時，|f（x）|→+∞，不滿足|f（x）|≤1恒成立，則有Δ=4a2-4<0，解得-1

①當2a+1<0，即-11，不滿足題意;

②當2a+1>0，即a>-12時，記1，2a+1中的較小值為x0，則函數f（x）在（-∞，x0）上單調遞增，由f（0）=1可得f（x0）>f（0）=1，不滿足題意;

③當2a+1=0，即a=-12時，f（x）在（-∞，0）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，則f（x）≤f（0）=1，f（x）=exx2-2ax+1>0，則|f（x）|≤1恒成立.

綜上分析，可得a=-12，故答案為：-12.

方法3：（分類討論法3）

解析：依題意可得對任意實數x∈（-∞，1]，都有不等式-1≤exx2-2ax+1≤1恒成立，

構造函數f（x）=exx2-2ax+1，

求導可得f′（x）=ex（x-1）（x-2a-1）（x2-2ax+1）2.

若方程x2-2ax+1=0的判別式Δ=4a2-4≥0，則方程x2-2ax+1=0有解，設其中一個解為x1，則當x→x1時，|f（x）|→+∞，不滿足|f（x）|≤1恒成立，則有Δ=4a2-4<0，解得-1

①當-1

而由-1

而根據重要不等式ex≥x+1（x∈R）轉化可得e2a+1≥2a+2，

則知e2a+1=2a+2，等號成立時有2a+1=0，解得a=-12.

②當0

綜上分析，可得a=-12.故答案為：-12.

點評：通過不同方式構造函數，結合相應的函數進行求導，利用參數a的不同取值范圍進行合理的分類討論，結合含參的不等式恒成立的條件來分析與處理，從而得以確定相應的參數值.不同的函數構造以及不同的參數分類標準，可以產生不同的破解方法與解題過程，從而得到不同思維與視角破解問題的方法.

思維視角二：導數性質

方法4：（極值點判定法）

解析：構造函數f（x）=exx2-2ax+1，求導可得f′（x）=ex（x-1）（x-2a-1）（x2-2ax+1）2.

而當x=0時， f（x）max=f（0）=1，對于任意實數x∈（-∞，1]，x=0不在端點，

則知x=0是函數f（x）的極值點，即在x=0處，f′（0）=e0（0-1）（0-2a-1）（0-0+1）2=0，

解得a=-12.故答案為：-12.

點評：巧妙利用導數的性質，抓住函數的特殊值[f（0）=1]，并利用函數在極值點處的性質來“秒殺”，從而快速有效破解問題.在破解一些與函數的性質有關的問題時，經常借助極值點、最值點的性質特征來分析與處理，從而達到有效破解的目的.這里抓住極值點處的性質的應用來處理，有一定的投機取巧，在選擇題或填空題中可以快速破解問題，在解答題中慎重使用.

三、變式拓展

探究：保留問題的部分條件，改變不等式恒成立中的參數位置，結合不等式在給定區間上恒成立的條件來確定參數的取值問題，難度比原來問題簡單，方便操作，易于求解，得到以下對應的變式問題.

【變式】若對任意實數x∈（-∞，1]，都有不等式exx2+x+1≤a恒成立，則實數a的最小值為.

解析：構造函數f（x）=exx2+x+1，則知f（x）>0恒成立.

求導可得f′（x）=exx（x-1）（x2+x+1）2，令f′（x）=0，解得x=0或x=1.

當x<0時，f′（x）>0，則知函數f（x）在區間（-∞，0）上單調遞增;

當0<x<1時，f′（x）<0，則知函數f（x）在區間（0，1）上單調遞減.

故f（x）max=f（0）=1，則有a≥1，即實數a的最小值為1.故答案為：1.

點評：去掉絕對值符號，轉化為熟悉的函數，直接利用函數的構造與求導，通過確定導函數的零點以及導函數的正負取值情況來確定函數的單調性，進而確定函數在給定區間上的最大值，從而確定參數的最小值.

四、解后反思

含參的不等式恒成立問題創新性強，背景各異，形式多樣，類型眾多，切入點深，且往往難度較大，不可一蹴而就.破解此類問題時，要從恒成立的不等式入手，結合題目條件，等價化歸與轉化為較為熟悉的不等式或基本初等函數問題，再利用相應的不等式或基本初等函數，借助轉化法、分類討論法、不等式性質法、導數法或數形結合法、待定系數法等相應的方法輔助，合理構造，適度切入，巧妙轉化，利用較為熟悉的數學模型來應用，從而破解含參的不等式恒成立問題.